formulação matemática do problema inverso

Formulação matemática do Problema Inverso

Estrutura

• Problema Inverso– Otimização

• Problema Inverso linear– Mínimos Quadrados

• Problema Inverso não-linear– Método de Gauss-Newton

• Aspectos geométricos– Problema linear 1D– Problema não-linear 1D

• Exercícios

Problema Inverso(Otimização)

1

1

NNd

dd

1

1

)(

)()(

NN pg

pgpg

dados observados

dados preditos

Problema Inverso(Otimização)

1

1

NNd

dd

1

1

)(

)()(

NN pg

pgpg

dados observados

dados preditos

)]([)]([)( pgdpgdp T

norma L2(função escalar)

N

iii pgdp

1

2)]([)(

Problema Inverso(Otimização)

O Problema Inverso consiste em determinar um vetor de

parâmetros p , M-dimensional, que minimiza a função oooo)( p

*p

)]([)]([)( pgdpgdp T

norma L2(função escalar)

N

iii pgdp

1

2)]([)(

Problema Inverso(Otimização)

)]([)]([)( pgdpgdp T

norma L2(função escalar)

N

iii pgdp

1

2)]([)(

1* 0)( Mp

O Problema Inverso consiste em determinar um vetor de

parâmetros p , M-dimensional, que minimiza a função oooo)( p

*p

Problema Inverso(Otimização)

)]([)(2)( pgdpGp T

matriz N x M transposta vetor N x 1

Problema Inverso linear(Mínimos Quadrados)

bpBpg )(

matriz N x M vetor N x 1vetor M x 1

][1

* bdBBBpTT

bpBpg )(

matriz N x M vetor N x 1vetor M x 1

Estimador de Mínimos Quadrados

Problema Inverso linear(Mínimos Quadrados)

Problema Inverso não-linear(Método de Gauss-Newton)

bpBpg )(

diferente

)]([)()()( 00

1

00 pgdpGpGpGp TT

Método de Gauss-Newton

bpBpg )(

ppp 0

Problema Inverso não-linear(Método de Gauss-Newton)

Aspectos geométricos(Problema linear 1D)

bxaag ii )(

Aspectos geométricos(Problema linear 1D)

-100-80

-60-40

-200

20

4060

80100

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

gi (a)

a

bxaag ii )(

-100-80

-60-40

-200

20

4060

80100

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

gi (a)

a

Aspectos geométricos(Problema linear 1D)

bxaag ii )(

bxabxabxa

agagag

3

2

1

3

2

1

)()()(

3

2

1

ddd

-2000000

200000400000

600000800000

1000000

12000001400000

16000001800000

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

φ (a)

a

Aspectos geométricos(Problema linear 1D)

bxabxabxa

agagag

3

2

1

3

2

1

)()()(

3

2

1

ddd

bxaag ii )(

-2000000

200000400000

600000800000

1000000

12000001400000

16000001800000

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

φ (a)

a

Aspectos geométricos(Problema linear 1D)

bxabxabxa

agagag

3

2

1

3

2

1

)()()(

3

2

1

ddd

bxaag ii )(

*a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

2122 ])()[()( byaxag iii

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

2122 ])()[()( byaxag iii

0

20

40

60

80

100

120

0 500 1000 1500 2000

gi (a)

a

0

20

40

60

80

100

120

0 500 1000 1500 2000

gi (a)

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

3

2

1

ddd

23

23

22

22

21

21

3

2

1

)()(

)()(

)()(

)()()(

byax

byax

byax

agagag

2122 ])()[()( byaxag iii

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 500 1000 1500 2000

φ (a)

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

3

2

1

ddd

2122 ])()[()( byaxag iii

23

23

22

22

21

21

3

2

1

)()(

)()(

)()(

)()()(

byax

byax

byax

agagag

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 500 1000 1500 2000

φ (a)

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

3

2

1

ddd

*0x

2122 ])()[()( byaxag iii

23

23

22

22

21

21

3

2

1

)()(

)()(

)()(

)()()(

byax

byax

byax

agagag

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 500 1000 1500 2000

φ (a)

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

3

2

1

ddd

*0x

_|_0x

2122 ])()[()( byaxag iii

23

23

22

22

21

21

3

2

1

)()(

)()(

)()(

)()()(

byax

byax

byax

agagag

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 500 1000 1500 2000

a

φ (a)

*a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 500 1000 1500 2000

a

φ (a)Ψ (a)

*a

#a

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 500 1000 1500 2000

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

φ (a)Ψ (a)

*a

#a

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 500 1000 1500 2000

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

φ (a)Ψ (a)

*a

#a

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 500 1000 1500 2000

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

φ (a)Ψ (a)

*a

#a

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 500 1000 1500 2000

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

φ (a)Ψ (a)

*a

#a

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 500 1000 1500 2000

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

φ (a)Ψ (a)

*a

#a

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 500 1000 1500 2000

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

φ (a)Ψ (a)

*a

#a

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 500 1000 1500 2000

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

φ (a)Ψ (a)

*a

#a

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 500 1000 1500 2000

a

Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)

φ (a)Ψ (a)

*a

#a

Exercícios

• Formular o Problema Inverso linear 1D

– Equação de Mínimos Quadrados

• Formular o Problema Inverso não-linear 1D

– Equação do método de Gauss-Newton