filas m/m/1

Filas M/M/1Filas M/M/1

Chegadasde Poisson k

Serviçoexponencial

M/M/1M/M/1 É o exemplo mais simple de um PNM. Servidor único Processos de chegada Poisson Tempo de serviço com distribuição

exponencial. Política de serviço FIFO

Sistema

servidorfila

Chegadas

M/M/1M/M/1

Chegadas

Sistema

servidorfila

M/M/1M/M/1

Chegadas

Sistema

servidorfila

M/M/1M/M/1

Chegadas

Sistema

servidorfila

M/M/1M/M/1

Chegadas

Sistema

servidorfila

M/M/1M/M/1

Chegadas

Sistema

servidorfila

M/M/1M/M/1

Chegadas

Sistema

servidorfila

M/M/1M/M/1

Chegadas

Sistema

servidorfila

M/M/1M/M/1

Chegadas

Sistema

servidorfila

M/M/1M/M/1

Chegadas

Sistema

servidorfila

M/M/1M/M/1

k

k

M/M/1M/M/1 Exemplo 1: seja a seguinte representação de uma

rede de comutação de pacotes

k = : taxa de chegada dos pacotes ao nó k = : taxa de saída dos pacotes para o canal

M/M/1M/M/1

Segundo a solução de PNM se tem que:

Por outro lado, a condição de normalização estabelece que:

Portanto, se :

k

k

k

i

k

0 0 00

1

,

kk 1

1 0 1

M/M/1M/M/1

Segundo a solução de PNM se tem que:

Por outro lado, a condição de normalização estabelece que:

Portanto, se :

k

k

k

i

k

0 0 00

1

,

kk 1

1 0 1

kk 1 1,

L E k k kk

[ ] ,

0 11

T E sE k

[ ][ ]

,

1

11

M/M/1M/M/1

De onde:

O tempo médio de permanência no sistema, igual ao tempo de espera mais o tempo de serviço, se obtém pela fórmula de Little:

M/M/1M/M/1

Exemplo 2: considera-se agora o mesmo sistema de filas M/M/1 do exemplo anterior, porém a taxa de serviço é 2.

E k[ ] ,

12 1

E sE k

[ ][ ]

,

1

2

12 1

M/M/1M/M/1

O valor médio do número de pacotes no sistema é:

O tempo médio de permanência no sistema é:

0

1

2

3

4

5

6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

E[s]

/2

M/M/1 ()

M/M/1 (2

E[s]= tempo de resposta normalizado

Gráfico comparativoGráfico comparativo

A ocupação média de um buffer de um concentrador de dados pode ser calculada para diferentes casos. Neste tipo de equipamento, os pacotes que entram de terminais a ele conectados são armazenados por ordem de chegada em um buffer, e são então lidos em FIFO sobre um enlace de saída de transmissão.

TERMINAL

TERMINAL

TERMINAL

TERMINAL

CONCENTRADORBUFFER

Análise de um concentradorAnálise de um concentrador

10 terminais estão conectados ao concentrador Cada um gera um pacote a cada 8 segundos

(distribuição exponencial) Pacotes têm 960 bits de comprimento em

média (distribuição exponencial) Linha de saída com capacidade de 2400 b/s

Ocupação média do buffer = E [n] = ? Atraso médio no sistema = E [T] = ? Tempo médio de espera na fila = E [W] = ?

Análise de um concentradorAnálise de um concentrador

Modelo: para modelar o buffer será usada uma

fila M/M/1

Ocupação média do buffer

Portanto:

5.0

seg4.024009601

segpacotes

25.181

10

E n( )

11

Análise de um concentradorAnálise de um concentrador

Atraso médio, usando a Lei de Little:

Tempo médio de espera:

)(

)(nE

TE

seg8.0251

)( TE

1

)()( TEWE

seg4.0)( WE

Análise de um concentradorAnálise de um concentrador

Cada terminal gera pacotes a cada 5 seg em média. Encontre a ocupação média do buffer E[n], o atraso médio E[T] e a média do tempo de espera E[W].

Para modelar o buffer será usada uma fila M/M/1. Ocupação média do buffer:

4)(

8.0

seg4.01

segpacotes

nE

Análise de um concentradorAnálise de um concentrador

Atraso médio, usando a Lei de Little:

Tempo médio de espera:

E TE n

( )( )

seg2)( TE

E W E T( ) ( ) 1

seg6.1)( WE

Análise de um concentradorAnálise de um concentrador

Filas M/M/CFilas M/M/C

M/M/CM/M/C

E[t] = 1/ =: tempo médio entre chegadas ao sistema

E[x] = 1/: tempo médio dos clientes em serviço

u = E[x]/E[t] = /: intensidade de tráfego C: número de servidores A utilização de um servidor é então:

M/M/CM/M/C

E[t] = 1/ =: tempo médio entre chegadas ao sistema

E[x] = 1/: tempo médio dos clientes em serviço

u = E[x]/E[t] = /: intensidade de tráfego C: número de servidores A utilização de um servidor é então:

u

C C

M/M/2M/M/2

Exemplo 3: adiciona-se outra saída, formando um sistema de filas M/M/2

k

k

k k

22 1 2 1

1

0 0 ,

01

12 1

,

M/M/2M/M/2

Para k a taxa de serviço efetiva é 2 .Logo, segundo a solução geral de um PNM :

Junto com a equação de normalização, obtém-se:

kk k

2 1

11 2 1,

E k

E s

[ ] ,

[ ] ,

2

12 1

12 1

2

1

2

M/M/2M/M/2

Então,

Finalmente, a ocupação média do sistema e o tempo médio de permanência no sistema são:

0

1

2

3

4

5

6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

E[s]

/2

M/M/1 M/M/2

M/M/12

E[s]= tempo de resposta normalizado

Gráfico comparativoGráfico comparativo

C

10

20 105.

M/M/1M/M/1

Exemplo 4: Fila M/M/1 Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/ Tempo de serviço = 10 [s] = 1/ Número de servidores = 1 = C

O servidor está ocupado na metade do tempo

C

30

20 115.

M/M/1M/M/1

Exemplo 5: Fila M/M/1 Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/ Tempo de serviço = 30 [s] = 1/ Número de servidores = 1 = C

O sistema é inundado com chegadas (sistema instável): pode ser resolvido com outro servidor.

C

30

20 20 75.

M/M/2M/M/2

Exemplo anterior com dois servidores: Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/ Tempo de serviço = 30 [s] = 1/ Número de servidores = 2 = C

Os servidores estarão ocupados durante 75% do tempo

Modelos de filas aplicavéis a Modelos de filas aplicavéis a

centrais telefônicascentrais telefônicas

Fila MFila M//MM//

Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp () Tempo de serviço ~ Exp () Infinitos servidores não existem filas

Exp ()1

2

Exp ()Exp ()

Cadeia de Markov M/M/

Equações:

Neste caso:

<i 0 ,

<i 0 ,

i i

i

0 1 m + 1mm – 1

(m–1) m (m+1) (m+2)

1

0 10

n

i i

in PP

De onde obtém-se que:

P

nn

n

e , n 0

!

0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Probabilidade de que existam n pessoasem um sistema M/M/, com A=15 Erlangs

n

Pn

Observação:

Em uma fila M/M/: Pn ~ P (

Por definição: L = /

Aplicando a Lei de Little : L = ·W

LQ = ·WQ = L – m · = L – , com:

m: número médio de servidores em uso

r: uso médio destes servidores

Então: LQ = WQ = 0,

o que está de acordo com o modelo de infinitos servidores.

Fila MFila M//MM//mm

Parâmetros

Tempo entre chegadas ~ Exp ()

Tempo de serviço ~ Exp ()

Número de servidores : m

Fator de Utilização: /m

Exp ()

Exp ()1

2

m

Exp ()

Exp ()

Cadeia de Markov M/M/m

0 1 mm – 1 m + 1

(m–1) m m m

Equações:

Neste caso: i , i 0

i

i i m

m

,

, m i

1

P Pni

ii

n

010

1

P

Pm

n

Pm

n

n

n

0

0

!

!

, n m

m , n m

m

Substituindo e manipulando:

Pm

n

m

m

n

n

m m

00

11

1

! !

Observação:

Probabilidade de que ao chegar um pacote espere por algum servidor livre, P(Fila):

Como o tempo entre chegadas é distribuído exponencialmente:

Logo, a probabilidade de existir fila é dada por:o que corresponde à fórmula Erlang – C :

P Fila P

mm

mk

mm

nn m

m

k

k

m m( )

( )!( )

( )!

( )!( )

1

10

1

P Fila ann m

( )

a Pn n

P Fila Pnn m

( )

Exemplo m = 8 linhas de saída. A = 4,5 Erlangs Problema: calcular a probabilidade de espera Solução:

!84375,05,4

!

5,4

!84375,05,4

)(87

0

8

8

k

kn

n

k

PFilaP

% 4,10104,0)( FilaP

1 1 0 4375 A

m,

ExemploPBX com 40 ramaisCada ramal realiza diariamente, em média, 54

ligaçõesA duração de cada ligação é, em média, de 3

minutos.

Problema 1: qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade 5% de que exista fila máxima?

Solução = 40·542460 = 1,5 ligaçõesmin1 = 3 minligaçãoA = 1.5 · 3 = 4.5 ErlangsNúmero mínimo de troncos de saída:

m = 9 PFila = 4.61 %

8 9 10 110

2

4

6

8

10

12

Número de troncos (servidores)

P(F

ila)

%

Probabilidade de fila com A=4,5 Erlangs

Problema 2: qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade de 0,1% de que exista fila máxima?

Solução: os parâmetros do problema se mantém. Número mínimo de troncos de saída:m = 13 PFila = 0.08 %

11 12 13 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Número de troncos (servidores)

P(F

ila)

%

Probabilidade de fila com A=4,5 Erlangs

Comparação:Número mínimo de troncais de saída para :

PF 5 % m = 9 PF 4,61 %PF 0,1 % m = 13 PF 0,08 %

Agregaram-se 4 troncos (isto é, aumento de 44,44 %).

Diminui-se a probabilidade de haver fila em 57,625 vezes (é dizer, diminuiu-se de 98,26 %).

Fila MFila M//MM//11//NN

Parâmetros

Tempo entre chegadas ~ Exp ()

Tempo de serviço ~ Exp ()

Número de servidores : 1

Fator de utilização: /

Exp ()Exp ()

23N N-1

Cadeia de Markov M/M/1/N

Equações:

Neste caso:

1-Ni 0 , i

P Pni

ii

n

010

1

0 1 NN – 1

2

, 1 i Ni

P n Nn Nn

1

10

1

,

Substituindo e manipulando :

P Pnn 0

P n

n

N

N00

1

1

1

1

Conclusão:

Probabilidade de bloqueio M/M/1/N

PB: probabilidade de que uma ligação que chega encontre a fila cheia e se perca.

Da figura:

= ·(1-PB)

Fila

·PB

Exp ()

Juntando ambas equações e manipulando:

Aplicando a Lei de Little :

Além do mais, é a velocidade de processamento multiplicada pela fração de tempo que o servidor trabalha o servidor, isto é:

011 PPB

W

L

PN

1

= ·(1-P0)

PB Nn

11 1

P PB N

Exemplo: em um PBX foram obtidas as seguintes estatísticas:

= 15 ligaçõeshr = 0,25 ligaçõesmin

1 = 3 minligação

Qual deve ser o tamanho do buffer para que a probabilidade de se perder uma ligação seja no máximo 0,1% ?

Solução:

0 75,

PB

N

N

1

10 0011

,

N PB 20 0 08 , %

14 16 18 20 22 240

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

N

Pb

%

Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada

buffer = 19 ligações

Fila MFila M//MM//NN//NN

Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp () Tempo de serviço ~ Exp () Número de servidores : N Fator de Utilização: /N

Exp ()

Exp ()1

2

N

Exp ()

Exp ()

Cadeia de Markov de M/M/N/N

Equações:

EBG:

, 0 i N - 1i

0 1 NN – 1

2

, 1 i Ni i

V. Saída

·P0

(+i)·Pi

N·PN

Estado

00 < i < N

N

=

==

V. Entrada

·P1

(i+1)·Pi+1+ ·Pi-1

·PN-1

P i

k

i Ni

i

k

k

N

!

!

,

0

0

Manipulando obtém-se:

Pi

Pi

P i Ni i

i

, 1 0 1!

Se obtém que:

Usando: Pii

N

1

0

Observação: a probabilidade PN de que o sistema se encontre cheio e que ao chegar uma ligação esta se perca é dada pela fórmula de perda da distribuição de Erlang:

PN

k

N

N

k

k

N

!

! 0

Dada a máxima intensidade de tráfego, movimenta-se por uma curva, avaliando a probabilidade de que um cliente não possa se comunicar, para distintas quantidades de troncos de entrada.

0 5 10 15 20 25 3001020304050

607080

90100Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada

N

Pb

%

A=30Erl

2520

15105

As seguintes curvas são usadas para o dimensionamento de centrais PBX:

Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entradapara A = 10 Erlangs

17 18 19 20 21 22 23 24 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

N

Pb %

Supondo-se intensidade de tráfego máxima de 10 Erlangs, avalia-se as grandes diferenças entre as probabilidades de bloqueio, usando diferentes números de troncos de entrada.

As seguintes curvas são usadas para verificar o dimensionamento de PBX já instaladas:

0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego

A [Erlangs]

Pb %

N = 5 9 13 17 21 25 29

Dada uma PBX com certo número de troncos, a probabilidade de bloqueio é dada pela curva correspondente, conforme seja a intensidade de tráfego em cada momento.

6 7 8 9 10 11 12 130

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfegopara N = 21 troncos

A [Erlangs]

Pb %

Observa-se que para um pequeno aumento na intensidade de tráfego, a probabilidade de bloqueio pode aumentar de maneira significativa.

Exemplo:PB 0,4%N = 100 linhas1 = 5 minligação

Problemas:Determinar a máxima intensidade de tráfego

admissível.Determinar a máxima taxa de chegada de

ligações para que não ocorra bloqueio.

Solução:

Determinar a máxima intensidade de tráfego

admissível PA

A

k

k

k

100

100

0

100

100 0 004

!

!

,

A = 80 Erl PB = 0,399%

78 79 80 81 820

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

A [Erlangs]

Pb %

Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego

Determinar a máxima taxa de chegada de

ligações para que não ocorra bloqueio.

A

Amax Erl80

max 80 0 2,

max 16

0 2, chamadas/min

chamadas/min

chamadas/min

Exemplo:PB 0,5%A = 93,0 Erlangs

Problema:Determinar o mínimo número de troncos

necessários.

Solução:P N

k

N

N

k

k

N

93

930 005

0

!

!

,

111 112 113 114 115 116 1170

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

N

Pb %

Probabilidade de bloqueio v/s troncos

N = 114 Troncais PB = 0,42%

Bibliografia básicaBibliografia básica

Bibliografia básicaBibliografia básica S.M. Ross, Introduction to probability models, Academic

Press,1997. R. Jain, The art of computer systems performance evaluation,

Wiley, 1991. K. Trivedi, Probability and statistics with reliability,

queuing, and computer science applications, Prentice Hall, 1982.

V. Kulkarni, Modeling and analysis of stochastic systems, Chapman and Hall,1995.

L. Kleinrock, Queueing systems, Volume 1: Theory, Wiley, 1975

FimFim