exercícios - princípio da indução finita (pif)

Demonstrar que a seguinte proposição é válida para todo n inteiro positivo.

∑

[ ( )

]

Resolução

PIF1)

Testando a propriedade para , temos:

( ) [ ( )

]

P(1) é verdadeira.

PIF2)

Hipótese indutiva - ( ) * ( )

+

Tese – ( ) ( ) *( )(( ) )

+

*( )( )

+

Precisamos provar que ( ) ( ).

Assumindo a hipótese indutiva ( ) como verdadeira, temos que

( ) [ ( )

]

( )

Desenvolvendo o lado direito da igualdade:

[ ( )

]

( ) ( )

( )

( )

( )

O polinômio pode ser reescrito como ( ) ( ) .1

Temos, então:

( ) ( )

[( )( )

]

Assim, provamos que ( ) ( ) e concluímos que a propriedade P(n) é

verdadeira e válida para n inteiro positivo maior que 1.

1 Chega-se a esta conclusão fazendo a divisão do polinômio por ( ) e por ( ) e verificando que o resto é o

polinômio nulo. Foi utilizado o algoritmo de Briot-Ruffini.

Demonstrar que a seguinte proposição é válida para todo n inteiro positivo.

∑ ( )

Resolução:

PIF1)

Testando a propriedade para , temos:

( ) (

)

P(1) é verdadeira.

PIF2)

Hipótese indutiva - ( ) (

)

Tese – ( ) (

)

( ) (

)

( )

Precisamos provar que ( ) ( ).

Assumindo a hipótese indutiva ( ) como verdadeira, temos que

(

)

( ) (

)

( ) (

)

Desenvolvendo o lado direito da igualdade:

( )(

)

( )

( )

*

( )+

( )

Assim, provamos que ( ) ( ) e concluímos que a propriedade P(n) é

verdadeira e válida para n inteiro positivo maior que 1.