exercícios - princípio da indução finita (pif)
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Dois exercícios de demonstração usando o Princípio da Indução Finita. Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para [email protected]TRANSCRIPT
Demonstrar que a seguinte proposição é válida para todo n inteiro positivo.
∑
[ ( )
]
Resolução
PIF1)
Testando a propriedade para , temos:
( ) [ ( )
]
P(1) é verdadeira.
PIF2)
Hipótese indutiva - ( ) * ( )
+
Tese – ( ) ( ) *( )(( ) )
+
*( )( )
+
Precisamos provar que ( ) ( ).
Assumindo a hipótese indutiva ( ) como verdadeira, temos que
( ) [ ( )
]
( )
Desenvolvendo o lado direito da igualdade:
[ ( )
]
( ) ( )
( )
( )
( )
O polinômio pode ser reescrito como ( ) ( ) .1
Temos, então:
( ) ( )
[( )( )
]
Assim, provamos que ( ) ( ) e concluímos que a propriedade P(n) é
verdadeira e válida para n inteiro positivo maior que 1.
1 Chega-se a esta conclusão fazendo a divisão do polinômio por ( ) e por ( ) e verificando que o resto é o
polinômio nulo. Foi utilizado o algoritmo de Briot-Ruffini.
Demonstrar que a seguinte proposição é válida para todo n inteiro positivo.
∑ ( )
Resolução:
PIF1)
Testando a propriedade para , temos:
( ) (
)
P(1) é verdadeira.
PIF2)
Hipótese indutiva - ( ) (
)
Tese – ( ) (
)
( ) (
)
( )
Precisamos provar que ( ) ( ).
Assumindo a hipótese indutiva ( ) como verdadeira, temos que
(
)
( ) (
)
( ) (
)
Desenvolvendo o lado direito da igualdade:
( )(
)
( )
( )
*
( )+
( )
Assim, provamos que ( ) ( ) e concluímos que a propriedade P(n) é
verdadeira e válida para n inteiro positivo maior que 1.