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03-11-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa

Engenharia e Gestão da Produção

Teoria de Sistemas de

Controlo LinearResolução do 2º teste

Ano lectivo 1999/2000

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Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear

IIDada a função de transferência em anel aberto:

45

5)(

2

ssssG

a) Determine a função de transferência em malha fechada, sabendo que a realimentação é unitária negativa.

45

5)(

2

ssssHsG

Dado a realimentação ser unitária, a função de transferência em malha aberta é:

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Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear

545

5

455

1

455

)(1)(

2

2

2

sss

sss

sss

sHsG

sGsF

Dado a realimentação ser negativa, a função de transferência em malha fechada é:

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b) Se quisesse aproximar este sistema através dos pólos dominantes a um sistema equivalente do segundo grau, que função de transferência utilizaria. Justifique.

jsjsssG

9,15,09,15,05

5)(

Os pólos preponderantes são os que poderão causar instabilidade mais cedo, logo os que se encontrem mais perto do eixo imaginário.

4

5

9,15,09,15,0

5)('

2

ssjsjssG

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IIIIA função de transferência de malha aberta de um sistema é a seguinte:

421)(

ssss

KsG

a) Seguindo os procedimentos esboce o gráfico do L.G.R. para K>0.

1 Número de ramos, zeros e pólos

nº de zeros m=0

nº de pólos n=4 (s=0; s=-1; s=-2; s=-4)

n>m n=4 ramos

3 Número de ramos para infinito

nº de ramos para infinito n-m=4-0=4

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4 Assimptotas dos ramos para infinito

k>0 k<0

l=0

l=1

l=2

l=3

454

180

1354

1803

904

360

1804

3602

2254

1805

3154

1807

0

2704

3603

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5 Origem das assimptotas

6 Pontos de convergência/divergência

Há três pontos de convergência/divergência em -3,326, -1,531 e -0,393.

7 Não há pólos, nem zeros complexos

75,14

7

4

4210

421 sssssHsG

Ksw

0

ds

sdw

0393,0531,1326,3 sss

421 ssssds

d

ds

sdw

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b) Esboce o gráfico do L.G.R. para K<0.

0k 0k

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Real Axis

Ima

g A

xis

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Real AxisIm

ag

Axi

s

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c) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel fechado é estável.

08147

0421

0421

1

01

234

kssss

kssss

ssss

k

sG

A equação característica, para o anel fechado, é:

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679,14545,0

80545,08 kkk

0

0

8

14

545,08

857,12

7

1

0

1

2

3

4 k

k

k

k

s

s

s

s

s

0k 679,140 k

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d) Determine a razão de amortecimento dos pólos complexos para K=5.

js

s

s

ssssk

650,0233,0

825,2

709,3

0581475 234

337,0279,70cosξ

279,7079,279,2233,0

65,0 1

tgtg

Para os pólos complexos:

Ou ainda através de:

337,0233,065,0

233,0cosξ

22

233,0

65,0

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e) Indique de que outra forma poderia calcular os limites de K calculados na alínea c).

Pode-se obter através do L.G.R.. Como a transição se dá sobre o eixo imaginário, então s=jw. Substituindo na equação característica e resolvendo obtém-se os valores limites de K. Para ver como o K varia, deve-se interpretar a evolução do K no L.G.R.

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Demonstrando:

08147 234 kssss

08147 234 kjwjwjwjwjws

697,14069,114069,114

069,1087

00087

014

08147

2424

782

3

24

234

wwk

ww

kwjwjw

kww

kjwwjww

São os valores de k sobre o eixo imaginário. Da observação do LGR, verifica-se que se inicia em k=0 e cresce até k=14,694. A partir deste valor entra na zona de instabilidade.

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IIIIIIDada a função de transferência em anel aberto:

64

215)(

2

sss

ssHsG

393,0531,1326,38147421 234 sssssssds

dssss

ds

d

jsjsss 9,15,09,15,042

jsjsssssss 650,0233,0650,0233,0825,1709,358147 234

Algumas indicações úteis:

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a) Determine o ganho de Bode e coloque a função de transferência na forma de Bode.

25,124

30

641

215

i

iB p

zKK

6141

2125,1

2 jwjwjw

jw

jwHjwG

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b) Construa o esboço do diagrama de Bode.

Ganho:

0

938,125,1log20 10

G

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Zero em 2:

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Pólo duplo na origem:

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Pólo em 4:

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Pólo em 6:

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Adicionando todos os sinais:Obs.: frequência de cruza-mento de ganho é cerca de:

1,25 rad/sec. margem de fase é aproximadamente:

-180-(-170) = -10 a frequência de cruzamento de fase é cerca de:

2 rad/sec. margem de ganho é aproximadamente:

10 db.