eletromagnetismo i – bacharelado em física/ufms - prof. paulo rosa1

Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Eletromagnetismo IProf. Paulo Rosa – INFI/UFMS

Para ser aprovado na disciplina o aluno deverá ser capaz de:1. Resolver problemas envolvendo configurações de cargas em repouso no vácuo;2. Resolver problemas envolvendo cargas em movimento no vácuo;3. Utilizar as equações de Maxwell nas formas integral e diferencial para a obtenção de campos e potenciais;4. Descrever o comportamento dos campos elétrico e magnético em meios materiais.

Objetivos

3Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS -

Prof. Paulo Rosa

Problema central da Física

Objeto 1

Objeto 3

Objeto 4

Objeto 2

Objetos em interação

Configuração em um dado instante no tempo

Questão central: é possível prever o que acontecerá com estes objetos em um instante de tempo posterior, em função da interação entre eles?

Determinismo

Um exemplo

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Outro exemplo

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Ainda outro exemplo

8Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof.

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Fator determinante para responder a questão fundamental

Qual a natureza da interação entre os objetos no mundo

natural?

Nosso foco de interesse no Eletromagnetismo

Forças fundamentaisEstruturas em larga escala no Universo

Força Gravitacional(massa)

Estruturas em mesoescala Força eletromagnética

(carga elétrica)

Estrutura nuclear Força Nuclear Forte(carga nuclear)

Interações fracas Força Nuclear Fraca(carga nuclear)

Unidade 1 Campos de partículas em

repouso

Ao final desta aula você deverá ser capaz de:◦ Descrever a natureza da interação entre

partículas com carga elétrica usando o conceito de força;

◦ Calcular a força elétrica experimentada por uma partícula carregada interagindo com outras partículas carregadas;

◦ Calcular a força elétrica sobre uma partícula carregada devido à interação com corpos extensos carregados.

Aula I – Carga elétrica e interação entre partículas carregadas

12Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

O problema básico do eletromagnetismo

Cargas

Distribuição de cargas em condutores

ri ’

(r’)

Dado um conjunto de cargas e campos qual será a configuração de equilíbrio?

Ponto onde o campo é calculado.

Alguns conceitos básicosa) Fonte do campo – propriedade das partículas que cria o campo:

- Carga elétrica é fonte de campo elétrico (E);

- Partículas carregadas em movimento são a fonte de campo magnético (B);

- Campos que variam no tempo podem ser fontes de outros campos.

b) Eletrostática: envolve o cálculo de campos em sistemas de referência nos quais as partículas carregadas estão em repouso relativo. Neste caso o problema básico se reduz ao cálculo do campo elétrico E (ou, alternativamente, do potencial elétrico );

c) Eletrodinâmica: estudo dos campos quando estamos em sistemas de referência nos quais as partículas caregadas estão em movimento. Neste caso, temos os campos E e B.

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Perigo, Confusão!Cuidado

Muitas vezes, o termo carga elétrica é usado indistintamente para designar a propriedade ou a partícula ou a quantidade de carga elétrica

d) Carga elétrica: propriedade que permite às partículas interagirem via campo eletromagnético;

e) Partícula carregada: partícula com carga elétrica não nula;

f) Quantidade de carga elétrica: quantidade da propriedade carga elétrica que uma partícula possui, medida em algum sistema de unidades.

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TerminologiaFenomenologi

Análise da natureza a partir da observação dos fenômenos e da coleta

de observações obtidas em campo (observação em física)

Empirismo

Dedutivismo

Indutivismo

Análise da natureza obtida a partir de derivações de natureza lógica a partir

de princípios gerais

Análise da natureza a partir da construção de dados obtidos pelos sentidos (experimentos em Física)

Generalizações obtidas a partir da observação de alguns casos (leis

físicas)

A carga elétrica apresenta as seguintes propriedades básicas:

Propriedades da carga elétrica

A carga elétrica é conservada (conservação global da quantidade de carga).

A quantidade de carga elétrica é quantizada. Toda quantidade carga elétrica observada é múltiplo da quantidade de carga fundamental, a quantidade de carga do elétron ou do próton.

A carga elétrica apresenta dois tipos (sabores) denominados de positivo (+) e negativo (-).

17Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo

Fenomenologia IFato Básico

Propriedade básica do eletromagnetismo: uma partícula com carga elétrica influencia o comportamento de outra partícula com carga elétrica:

Partículas com cargas de sinais contrários ⇨ atração

Partículas com cargas de sinais iguais ⇨ repulsão

F21 F12q1 q2

F21 F12

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Fenomenologia IIPropriedades da interação entre partículas carregadas (repouso relativo)

1 2;q q

1 22 ;2q q

1 23 ;3q q

O módulo da força elétrica entre duas partículas carregadas depende do valor do produto da quantidade de carga elétrica em cada uma. Matematicamente:

1 2F q q

O módulo da força entre duas partículas carregadas é inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa:

Fenomenologia IIIPropriedades da interação entre partículas carregadas (repouso relativo)

Representando a interação entre duas partículas carregadas

r1 – r2r1

Dado um sistema de referências, representamos as partículas e a força entre elas pelo seguinte diagrama:

Eixos do sistema

Vetor que localiza a

partícula 2

Vetor que localiza a

partícula 1

Vetor que liga as duas

partículas

Força da partícula 1

sobre a partícula II

Força da partícula 1I sobre a partícula I

Na eletrostática, a terceira lei de Newton é válida em sua forma forte:

F12 = - F21

1 2 2 1d r r r r

A distância entre as cargas se escreve:

Lei de Coulomb (análise empírica)

Nesta expressão F21 é a força exercida pela partícula com quantidade de carga q2 sobre a partícula com carga q1.

1 221 12 1 23

1 2| |

F F r r

A constante k depende do sistema de unidades usado!

1; 8,854 10 F/m

Sistema Internacional de

Unidades

Partículas com cargas de sinais opostosF21 F12q1 q2

F21 F12q1

q2 Partículas com cargas de sinais iguais

Princípio da superposição

Quando temos mais de duas partículas interagindo, a força resultante sobre uma delas, devida às demais, é dada pela soma das forças sobre a partícula em análise:

3 301 1

4| | | |

n nj i i

j i j j i ji j i ji i

i j i j

q q qk q

F r r r rr r r r

Fj2Fj3

1 2 3 4j j j j j F F F F F

Para um sistema com n partículas:

No caso de termos distribuições contínuas de matéria, a soma deve ser transposta para uma integral sobre a densidade de quantidade de carga elétrica.

Distribuições contínuas de carga

1 ( ')( ) ' ( ')

4 | ' |q d r

rF r r r

F(r) q

(r’)

r – r’

Cada pequeno elemento de

volume é tratado como uma partícula

carregada.

Fim da Primeira Aula

Ao final desta aula você deverá ser capaz de:◦ Definir o campo elétrico criado por uma partícula

carregada;◦ Calcular o campo elétrico devido a uma partícula na

origem;◦ Calcular o campo elétrico devido a um corpo extenso

carregado;◦ Calcular a força elétrica sobre uma partícula em uma

região na qual temos um campo elétrico;◦ Calcular o fluxo do campo elétrico por uma superfície;◦ Utilizar a Lei de Gauss em sua forma integral no

cálculo do campo elétrico em situações de alta simetria.

Aula II – O Campo Elétrico

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Campo elétrico

Espaço vazio

Pontos do espaço

Espaço com uma partícula carregada

Partícula carregada

Pontos do espaço

Campo Elétrico é um conjunto de propriedades presentes em cada ponto do espaço decorrentes da presença de uma partícula com carga elétrica estar localizada em um determinado ponto.

O Campo Elétrico não é um lugar, mas é em um lugar.

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Detectando o campo elétrico

x Partícula fonte do Campo Elétrico.

Partícula teste

Força sobre a

partícula teste

q é chamada partícula de teste: não pode interferir na distribuição que cria o campo;

A partícula de teste é, por definição, positiva.

O campo tem a direção e o sentido da força elétrica experimentada pela partícula.

Campo EletrostáticoInterpretação do conceito de campo: ao invés de falarmos da força sobre uma partícula podemos falar sobre a força por unidade de carga da partícula ⇒ campo.

Se dividirmos a força sobre a partícula pela quantidade de carga desta partícula, então o campo na região da partícula será dado por (q+ é chamada de partícula de teste):

1 ( ')( ) lim ' ( ')

4 | ' |qd r

F rE r r r

1 ( ')( ) lim ( ') : partícula de teste

4 | ' |q

E r r rr r

Partícula

Distribuição contínua de

matéria

O campo não depende da partícula na posição r. Ele é uma propriedade do espaço na posição r, quer haja ou não uma partícula nesta posição.

x Partícula fonte do Campo Elétrico.

Uma forma de representar o campo elétrico é usando linhas de força. Para traçá-las, devemos desenhar a linha tangente ao campo elétrico em cada ponto do espaço.

Linhas de força

Convenção: as linhas de força são mais próximas nas regiões nas quais o módulo do campo elétrico é maior.

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Exemplos de linhas de força

Cargas isoladas Dipolo

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Fluxo de um fluido

V Av tAv

Em um fluido:

O fluxo de um fluído por uma superfície é o volume de fluído que atravessa esta superfície por unidade de tempo.

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Fluxo de uma campo vetorial A

Linhas que entram e saem no volume limitado por S.

Superfície S

Linhas que somente saem do volume limitado

Linhas que somente entram no volume

limitado por S.

O objetivo é o cálculo do fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada.

Lei de Gauss

Estratégia:

Etapa 1: calcular o fluxo para uma calota recortada sobre uma superfície esférica.

Etapa 2: mostrar que o fluxo é o mesmo entre duas calotas de uma mesma superfície esférica que delimitam o mesmo ângulo sólido.

Etapa 3: mostrar que o resultado que vale para a superfície esférica é válido para qualquer outra superfície.

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Intermezzo: definição de ângulo e ângulo sólido

Circunferência

Esfera

q n da2

Lei de Gauss: superfície esférica, carga fora da superfície

O que acontece com a componente do campo normal à superfície?

Hipótese:

Os elementos de área da são tão pequenos que o campo pode ser considerado constante.

Observe que:

21 1 2 2

E da E dar

Portanto:

Lei de Gauss: superfície esférica carga dentro da superfície

O que acontece com a componente do campo normal à superfície?

q dada

Integrando sobre S:

. 44 4 4

q q qda d d

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Lei e Gauss, caso geral

Como é o mesmo ângulo sólido, o fluxo é o mesmo!

Truque: tomamos uma superfície esférica tão

pequena quanto quisermos em torno da carga!

Então:

se estiver no interior da superfície.

0 se estiver fora da superfícieS

Lei de Gauss

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Lei de Gauss, distribuições de partículas carregadas

( ') '

Para uma distribuição de cargas (pontuais ou uma densidade volumétrica de carga):

Partículas carregadas

Distribuição volumétrica de partículas carregadas

Forma diferencial da Lei de Gauss

Para podermos escrever em forma diferencial a lei de Gauss vamos analisar o teorema da divergência de Gauss para um campo vetorial qualquer: 3. .

da d x An A

Fluxo de A

Aplicando ao campo elétrico:

1. ( ')

1. ( ') 0

da d r

d r d r

Forma diferencial da Lei de Gauss

Fim da Aula II

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:◦ Calcular o rotacional do campo eletrostático;◦ Definir o que é o potencial eletrostático;◦ Calcular o potencial eletrostático devido a uma

partícula carregada na origem;◦ Calcular o potencial eletrostático devido a corpos

extensos carregados.

Aula III

Para que um campo vetorial A fique univocamente determinado, precisamos saber seu divergente e seu rotacional:

Intermezzo

Para o campo eletrostático já sabemos qual é seu divergente:

Mas qual será o seu rotacional?

O campo eletrostático é um campo de rotacional nulo. Isso é facilmente verificável a partir da expressão para E:

O potencial eletrostático I

1 '' ( ')

4 | ' |d r

E rr r

O rotacional atua somente sobre a variável r e não sobre a variável r’, portanto o rotacional atua somente sobre a fração no integrando, a qual pode ser reescrita como:

| ' || ' |

r rr r

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O potencial eletrostático IILogo:

1 1' ( ')

4 | ' |

1 1' ( ')

4 | ' |

E rr r

Potencial eletrostático

1 1( ) ' ( ')

4 | ' |d r

r rr r

( ) 0 r

Chamando o termo entre colchetes por :

O potencial eletrostático IIIPortanto, o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar:

( ) E r

Observações:

• Na definição do potencial eletrostático a integração é sobre todas as cargas no universo;

• O potencial é definido a menos de uma constante arbitrária.

Esta expressão é geral!

Uma consequência: somente diferenças de potencial são importantes!

O potencial eletrostático IV

Partícula fonte do Campo Elétrico.

(r1)+k

(r2)+ k

Como o potencial é definido a menos de uma constante, temos liberdade de escolher o ponto no qual o potencial é nulo!

O potencial escalar V

Escolha padrão: potencial nulo no infinito!

Partícula fonte do Campo Elétrico.

(r) =0

Última galáxia do universo!

Vamos calcular o trabalho que devemos executar contra o campo eletrostático E, para levarmos uma partícula com carga elétrica q de um ponto a até um ponto b com velocidade constante. Observe-se que esse trabalho é executado contra a força elétrica F = q E:

Interpretação física do potencial escalar

. .b b

W d q d F l E la

Usando que E = - :

W q d q d q l

O campo eletrostático é um campo conservativo:

. . 0b

d d E l E l

Vamos ver alguns exemplos do Grifitths.

Exemplos

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Descontinuidades do campo e do potencial

Teríamos um mundo perfeito se não tivéssemos limites! O que fazer em um contorno?

Vamos aplicar a lei de Gauss a um disco cujas bases estão uma na parte superior da superfície e outra na base inferior. As faces laterais possuem áreas desprezíveis.

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Descontinuidades no campo e no potencial II

1 2 2 20

ds ds ds

E n E n

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Descontinuidades no campo e no potencial III

1 2 2 2 2 1

ds ds ds

1 1E n E n E E n

2 1 2Como e 1:S S 1n n

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Descontinuidades no campo e no potencial IV

Esta equação expressa o fato de que há uma descontinuidade nas componentes normais do campo elétrico . As componentes tangenciais, no entanto, são contínuas.

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Descontinuidades no campo e no potencial V

Potencial devido a uma distribuição de dipolos sobre uma superfície S

Consideremos uma camada formada por duas superfícies muito próximas:

O potencial pode ser escrito como:

1 ( ') 1 ( ')( ) ' ''

4 | ' | 4 | ' |S S

da dad

rr r r r n

Para d << |r - r’|, podemos expandir o denominador na segunda integral usando a identidade:

1 1 1 . 1 11 ... . ...

| | 2 . x x xxx a

x a a x

Descontinuidades no campo e no potencial VI

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Descontinuidades no campo e no potencial VII

Logo, após substituir esta expressão na integral do potencial e tomar o limite:

( ) 0lim ( ) ( ) ( )

d xd D

Obtemos:

1 1( ) ( ') . ' '

4 | ' |S

Densidade de carga

Momento de dipolo

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Observando que:

1 cos '. ' '

| ' | | ' |

dada d

r r r r

Então:

1( ) ( ')

r r2 1

Há uma descontinuidade no potencial ao cruzar a dupla camada !!!

Descontinuidades no campo e no potencial VIII

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Fim da Aula III

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:◦ Identificar as equações de Poisson e Laplace;◦ Definir o que são condições de contorno;◦ Identificar as condições de contorno presentes em

problemas envolvendo cargas, corpos carregados e superfícies condutoras;

◦ Solucionar problemas de cálculo de campo eletrostático que envolvam condições de contorno.

Aula IV

O campo eletrostático é descrito a partir das duas equações:

A equação de Poisson

Lembrando que o campo eletrostático pode ser escrito em termos de um potencial escalar (devido à segunda das igualdades acima):

Equação de Poisson

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Equação de Poisson II

Importante: nessa equação a quantidade (r) indica a densidade de carga na posição onde estamos calculando o potencial.

q1 ,r1

q2 , r2

32 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) 0V

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Equação de Laplace

Se na região de interesse não existem fontes do campo, então temos a equação de Laplace:

2 0 Equação de Laplace

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Intermezzo – algoritmo básico para obtenção do potencial quando há superfícies de contorno

Região II Superfície de

contorno

Região III

Superfície de

contorno

Região I

1. Solucionamos a equação de Poisson em cada região;

2. Aplicamos as condições de contorno às soluções obtidas.

Paulo Rosa

Teorema de Green

Motivação

Temos, normalmente, condições de contorno a serem satisfeitas. Isto torna as integrais mais difíceis de serem calculadas.

Solução de uma equação diferencial passa pela obtenção da solução geral (classe de soluções) e da aplicação das condições de contorno relevantes

ao problema

Vamos começar pelo teorema da divergência de Gauss:

3. .S V

da d x An AS

Fluxo de A

Volume limitado por

Vamos fazer:

A Então:

2.( ) .

Derivada normal à superfície S dirigida de dentro para fora

Substituindo essa expressão no Teorema da Divergência de Gauss:

2 3.V S

d x dan

Primeira identidade de Green

Teorema de Green II

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Teorema de Green IIIVamos agora trocar por (e vice-versa) e subtrairmos da identidade a nova identidade, obteremos o que chamamos de segunda identidade de Green:

d x dan

d x dan n

Se agora tomarmos as seguintes identidades:

2 21 1 14 ( ')

| ' | R R

r rr r

Então quando r está no interior da superfície S:

1 1 14 ( ') ( ') ( ') ' '

1 ( ') 1 1 1( ) ' '

4 4 ' '

d r daR n R R n

d r daR R n n R

r r r r

Se r estiver fora do volume de integração a integral sobre o volume é nula.

Teorema de Green IV

Unicidade de soluções: condições de Dirichlet e Newmann

Problema: unicidade da solução para o potencial. Quais são as condições de contorno apropriadas ao problema?

f(x,y,z) conhecida sobre a superfície S -> Condições de Dirichlet

Ou, alternativamente, f’(x,y,z) conhecida sobre a superfície S -> Condições de Newmann.

Suponhamos que existam duas soluções para a equação de Poisson em um volume V limitado por uma superfície S ( 1 e 2) as quais satisfazem as mesmas condições de contorno. Seja U = 2 - 1 . Então, no interior de S:

Portanto, ou U é nulo (igual a zero) ou U/n = 0 sobre S, conforme sejam dadas condições de contorno de Dirichlet ou Newmann.

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Vamos usar agora a primeira identidade de Green, com:

U 2 3.

uU U U U d x U da

Em qualquer caso (U=0 ou U/n = 0 no contorno) temos que:2 3| | 0

Portanto, temos que U=0 o que implica que a função U é constante no interior do volume V.

Caso 1: condições de Dirichlet no contorno -> US = 0. Nesse caso temos que:

1 2 A solução é única

Caso 2: condições de Newmann no contorno -> U/n = 0 . Nesse caso temos que:

1 2 constante

Observações:

• S imposição das duas condições ao mesmo tempo não é possível;

• As duas soluções são, em geral, diferentes.

Unicidade de soluções: condições de Dirichlet e Newmann II

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Solução geral de problemas eletrostáticos de contorno: função de GreenObtivemos anteriormente a solução para a equação de Poisson:

1 ( ') 1 1 1( ) ' '

4 4 ' 'V S

d r daR R n n R

Na obtenção dessa equação usamos, nas identidades de Green:

r - r'

Potencial da carga puntiform

2 14 ( ')

Condição de Newmann

Condição de Dirichlet

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Este é um exemplo de um a classe de funções que satisfazem à equação mais geral:

' ( , ') 4 ( ')

1( , ') ( , ')

com F satisfazendo: ( , ') 0

r r r r

r r r rr r

Equação de Laplace dentro do

volume V.

Se usarmos na expressão para o potencial G ( r , r’ ) = e escolhermos F( r , r’ ) tal que consigamos eliminar ou sua derivada da expressão para o potencial obteremos apenas uma das condições de contorno dentro da integral para :

1 1( ) ( ') ' '

4 4 ' 'V S

GG d r G da

Caso 1: condições de contorno de Dirichlet – GD = 0 para todo r’ sobre S

1 1( ) ( ') ' '

4 4 'V S

GG d r da

Solução geral de problemas eletrostáticos de contorno: função de Green II

Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 72

Solução geral de problemas eletrostáticos de contorno: função de Green III

Interpretação da função F – Essa função satisfaz a equação de Laplace dentro do volume V. Portanto representa uma solução do potencial criado por cargas externas a V.

2 ( , ') 0F r r

1 1 4( ) ( ') ' '

1 1 1( ) ( ') ' ' '

1Mas: '

G d r G dan S

G d r G da dan S

Valor médio do potencial sobre a superfície S. Vale zero se a superfície S vai ao infinito.

Caso 2: condições de contorno de Newmann – GN/ n’= - 4/S para todo r’ sobre S

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Fim da aula IV

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:◦ Solucionar problemas envolvendo a equação de

Laplace nos casos unidimensional e bidimensional◦ Solucionar problemas envolvendo a equação de

Laplace utilizando o método das imagens.

Aula V – Técnicas de Solução da equação de Laplace

Seja um intervalo (a,b) e um conjunto de funções {Un (x)} definidas neste intervalo. As funções são ditas ortogonais se:

( ) ( ) 0 ;

( ) ( ) .

U x U x dx m n

U x U x dx A A

Funções ortogonais

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Funções ortonormais

( ) ( ) 0 ;

( ) ( ) .

n m mn

U x U x dx m n

U x U x dx

Delta de Kronecker

1 se mn

Expansões

No intervalo (a,b) uma função qualquer f() pode ser expandida em termos destas funções:

( ) ( ) onde ( ) ( )b

n n n nn a

f x a U x a U x f x dx

Conjunto completo

É aquele conjunto de funções para o qual existe um número N0 tal que o erro cometido, ao aproximarmos a função f por N0 termos da expansão, é arbitrariamente pequeno.Se o intervalo no qual as funções U são definidas é infinito, então a soma se transforma em uma integral.

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Exemplo de conjunto completo

1( ) ( )

f k e f x dk

inversamente

f x e f k dk

Estas funções satisfazem à condição de ortogonalidade:

( ')1( ')

2i k k xe dx k k

E completeza:

( ')1( ')

2ik x xe dk x x

Delta de Dirac

Transformada de Fourier (funções periódicas)

1. Solução da equação de Laplace em uma dimensão

A equação de Laplace em uma dimensão é dada por:

( )0 ( )

d xx ax b

dxA, b são constantes a serem

determinadas das condições de contorno.

Algumas características da solução que são também válidas em duas e três dimensões:

• O potencial em uma dada posição é a média em duas posições simétricas:

• As soluções da equação de Laplace não tem mínimos ou máximos locais 1

( ) ( ) ( )2

2. Solução da equação de Laplace em duas dimensões

( , ) ( , )0

x y x y

• O potencial em uma dada posição é a média da posições em torno do ponto. Em particular, se tomarmos um circulo de raio R em torno do ponto:

• As soluções da equação de Laplace não tem mínimos ou máximos locais. Os extremos acontecem no contorno.

( , ) ( , )2

circulo

x y x y dlR

Teoremas de unicidade:

1) A solução da equação de Laplace em um volume V é unicamente determinada se o potencial for especificado na superfície de contorno da região V .

2) Em um volume V cercado por condutores e contendo uma densidade de carga dada o campo elétrico é unicamente determinado se a carga total em cada um dos condutores for especificada.Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS -

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O método das imagens

Idéia central: usar simetrias e os teoremas de unicidade para obter o potencial.

Qual o potencial na região acima do plano? Observe que existe, além da carga q, uma carga induzida no plano (desconhecida). O potencial no plano é mantido constante.x

Neste problema temos as seguintes condições de contorno:• = 0 quando z = 0;• 0 quando r .

Vamos “trocar” nosso problema real por um outro: imagine que temos outra carga, -q, colocada na posição –d e esqueçamos o plano!

1/ 2 1/ 22 2 2 2 2 20

1( , , )

4 ( ) ( )

q qx y z

x y z d x y z d

Expressão válida na região z > 0.

A carga induzida no plano condutor será dada por:

3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 20

0 3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 20

3/ 22 2 2

( ) ( )14 ( ) ( )

(0 ) (0 )14 (0 ) (0 )

q z d q z d

z x y z d x y z d

q d q d

x y d x y d

A carga total induzida no plano, será dada por:

3/ 2 2 22 20 0

( , ) ( , )

Q x y da r rdrd

qd qdQ rdrd q

r dr d

Observe que a carga q será atraída em direção ao plano pela presença da carga induzida –q. Qual a força de atração?

14 (2 )

A energia pode ser calculada a partir do trabalho para trazer a carga q do infinito até a posição d:

2 20 0

4 44 4

W dzz d

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Fim da Aula V

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando a técnica de separação de variáveis.

Aula VI

Separação de variáveis, equação de Laplace em coordenadas cartesianas.2 2 2

22 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) 0

x y z x y z x y zx y z

Vamos supor que o potencial possa ser escrito como um produto de três funções que dependem, cada uma delas de apenas uma das três variáveis x, y, z:Substituindo na expressão da eq. de Laplace:

( , , ) ( ) ( ) ( )x y z X x Y y Z z

22 2 2 2

1 1 10

d X d Y d Z

X Y Zdx dy dz

Vamos supor 2, 2 > 0. Então as soluções das equações diferenciais serão dadas por: 1/ 22 2

( ) ; ( ) e zi x i yX x e Y y e e

E o potencial será escrito como: 1/ 22 2

( , , ) ( ) ( ) ( )zi x i yx y z X x Y y Z z e e e

a e constantes arbitrárias. Vamos considerar o exemplo de uma caixa retangular na qual o potencial é nulo em todas as superfícies externas exceto uma, mantida em um certo potencial V(x,y).

= V(x,y)z = c

x = ay = b

Qual o potencial em pontos dentro da caixa?

Nos pontos x = y = z = 0 o potencial é nulo vemos que:

( 0) sin( )

( 0) sinh

Para que o potencial seja nulo em x = a e y = b devemos ter que: e .a n b m

Definindo:2 2

2 2 ; e

Podemos escrever o potencial como:

sin( )sin( )sinh( )

n m nm

mn n m nm

n m n m

a b a b

A solução geral será escrita como:

( , , ) sin( )sin( )sinh( )mn n m nmn m

x y z A x y z

Vamos usar agora a última das condições de contorno: (x,y,z=c) = V(x,y)

( , ) sin( )sin( )sinh( )mn n m mnm n

V x y A x y c

Dupla série de Fourier para a função V(x,y)

Podemos inverter para obter os coeficientes Amn:

( , ) sin( )sin( )sinh( )mn n m mnA V x y x y c

Um problema bi-dimensional: cálculo do potencial

Vamos supor que estamos em uma situação onde o potencial depende apenas da coordenada z. Neste caso, a solução será do tipo eix, e iy. Considere a situação mostrada na figura abaixo:

= 0 = 0

0 x a0 y

(x,y=0) = V(x=0,y) = (x=a,y) = 0(x,y ) = 0

Vamos aplicar as condições de contorno à solução que já temos:

( , ) exp sinnn

n y n xx y A

A condição de contorno em y = 0 : (x,y=0) = V determina a constante An:

2( ,0)sin

1 n impar4

0 n par

n xA x dx

Logo:1

4 1( , ) exp sin

nimpar

V n y n xx y

Obs.:• Para y/a << 1 temos que tomar muitos termos da série;• Para y/a >> 1 apenas os primeiros termos são necessários. Para y a/p podemos aproximar o potencial apenas pelo primeiro termo da série (n = 1): 4

( , ) exp sinV y x

x ya a

Neste caso particular a série pode ser somada. Usando a fórmula de Moivre para exponencial de números complexos, podemos escrever o seno que aparece na expressão para o potencial na forma de uma exponencial:

4 1( , ) exp

4( , ) ; exp

nimpar

V nx y i x iy

V z nx y z i x iy

Observando que a expansão da função logaritmo:2 3 4

ln(1 ) ... ( 1)2 3 4

z z z zz z

Temos que:

1 1ln(1 ) ln(1 )

n n nimpar par impar

z z zz z

E o potencial pode ser escrito como:2 1

( , ) ln1

V zx y

A parte imaginário do logaritmo é a fase do argumento. Então:2

1 (1 )(1 *) 1 | | 2

1 |1 | |1 | |1 |

z z z z zi

z z z z

Portanto:

2( , ) tan

A equação de Laplace em Coordenadas cilíndricas – Funções de Bessel

Vamos analisar agora situações onde temos uma simetria cilíndrica. Primeiro vamos relembrar o sistema de coordenadas cilíndricas:

Em coordenadas cilíndricas o Laplaciano se escreve:2 2 2

22 2 2 2

1 1( , , ) 0r z

r rr r z

Método de solução: separação de variáveis: ( , , ) ( ) ( ) ( )r z R r Z z

Após substituir na equação de Laplace somos levados a três equações, uma para cada uma das variáveis independentes:

d Zk Z Z z e

d R dRk R

r drdr r

Temos que analisar as condições de contorno do problema para determinar a natureza das constantes k, qe n.Condição de contorno : o potencial deve ser univocamente determinado Þ n deve

ser um inteiroImposição: vamos tomar a hipótese de que k seja uma constante real e positiva.

A equação de Bessel

Vamos agora analisar a equação para a parte radial. Primeiro vamos fazer a seguinte mudança de variáveis: x = kr. Com esta mudança de variável a equação para r se escreve:

d R dRR

x dxdx x

Equação de Bessel

Para solucionar esta equação vamos utilizar o método de Frobenius: supomos que a solução possa ser escrita como um a série de potências da variável x:

( ) jj

R x x a x

A substituição da expressão acima na equação diferencial nos leva a:

2 2 21

4 ( )j ja aj j

Os termos com j ímpar são todos nulos. Em função do termo a0 o termo geral da série pode ser escrito como:

( 1) ( 1)

2 ! ( 1)

j ja a

Escolhendo o valor de a0 = [ 2aG( +1) ]a -1 então as duas soluções, com ±n serão dadas por:

( 1)( )

2 ! ( 1) 2

( 1)( )

2 ! ( 1) 2

x xJ x

Função de Bessel de primeiro tipo

No entanto, para n = m , um inteiro, as soluções não são Linearmente independentes: ( 1) ( )m

m mJ J x

Para n > 0 as funções de Bessel formam um conjunto ortogonal de funções ® podemos expandir uma função f(x) n intervalo 0 < x < a em termos das funções de Bessel:

2 21 0

( ) (0 )

xf x A J x a

xA xf x J dx

Esta forma é adequada para funções que se anulam em x = a.ExemploConsidere o cilindro da figura. Qual o potencial no interior do cilindro?

( , ) ( , )r V r

Nas demais superfícies o potencial é nulo

Para que o potencial seja unívoco e se anule em z = 0 devemos ter:

( ) sin cos ( inteiro)

( ) sinh ( constante a determinar)

A m B m m

Z z kz k

A parte radial será dada por:( ) ( ) ( )m mR r CJ kr DN kr

i) Para que o potencial seja finito em r = 0 devemos fazer D = 0;

ii) Para que o potencial seja nulo em r = a, a constante k pode somente tomar os valores:

1, 2,3,...mnmnk n

Raízes das funções de Bessel

Combinando esses resultados:0 1

( , , ) ( )sinh( ) sin( ) cos( )m mn mn mn mnm n

r z J r z A m B m

Vamos agora usar a condição de contorno em z = L.

( , ) sinh( ) ( ) sin( ) cos( )mn m mn mn mnm n

V r L J r A m B m

Temos aqui uma série de Fourier na variável q e uma série de Fourier – Bessel em r cujos coeficientes são dados por: 2

2 21 0 0

2cosh( )( , ) ( )sin( )

2cosh( )( , ) ( ) cos( )

mn m mnm mn

LA d dr r V r J r m

LB d dr r V r J r m

A equação de Laplace em coordenadas esféricasPolinômios de Legendre

2 2 2 2 2

1 1 1( ) sin 0

sin sinr

r r r r

Como antes vamos admitir que o potencial possa ser escrito como o produto de três funções que dependem somente de uma das variáveis:

( )( , , ) ( ) ( )

U rr P Q

Após substituir na equação de Laplace somos levados a:2

1( ) ( )

1sin _ ( 1) 0 ( )

sin sin

( 1)0 ( )

d Qm Q e m

d dP ml l P l

d U l lU U r Ar Br

Para solucionar a equação para q vamos fazer a mudança de variáveis: o que nos leva a:

cos( )x 2

(1 ) ( 1) 01

d dP mx l l P

dx dx x

Equação generalizada de

Legendre

Se m = 0 então temos um problema com simetria axial, e a solução serão os Polinômios de Legendre de ordem l [Pl(x)].As funções Q() serão escritas como: 0

( ) 1im

E a solução para o potencial será dada por:( 1)

( , ) (cos )l ll l l

r a r b r P

Dependem das condições de contorno

ExemploConsidere uma esfera de raio a na qual temos um potencial especificado por V() na superfície. Determine o potencial no interior (livre de cargas) da esfera.

V = V()( 1)

( , ) (cos )l ll l l

r a r b r P

A solução geral será dada por:

Queremos uma solução para pontos interiores da esfera, incluindo o ponto r = 0. Portanto, deveremos fazer bl = 0.

Os coeficientes al serão determinados pelas condições de contorno:

( , ) ( ) (cos )ll l

a V a a P

Esta é uma série de Legendre e os coeficientes al serão dados por:

2 1( ) (cos )sin

la V P d

Vamos considerar o seguinte caso particular:0 / 2( )

Neste caso, o potencial será dado por:

( , ) (cos )

3 7 11( , ) (cos ) (cos ) (cos ) ...

2 8 16

r a r P

r r rr V P P P

Fim da Aula VI

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando a técnica de expansão em multipolos.

Aula VII

Expansão em multipolos

Motivação: para pontos longe da distribuição de cargas, esta aparece aproximadamente como uma carga pontual.Consideremos um dipolo físico, composto por duas cargas de sinais opostos separadas por uma distância d.

Queremos calcular o campo na posição P, distante das duas cargas.

Usando que: 2 22 2 2

2cos 1 cos2 4

d d dr r rd r

d Prr+

Estamos interessados em pontos distantes das duas cargas, de modo que r >> d e o terceiro termo pode ser desprezado:

1 1 1 1 11 cos 1 cos cos

d d d dr r r r r r rr r

Usando esse resultado, o potencial pode ser escrito como:

1 cos( )

r O potencial do dipolo cai

com 1/r2

Termos tipo pólo:

Vamos agora desenvolver uma expansão em multipolos para uma distribuição arbitrária de cargas. Nesse caso o potencial é dado por:

( ')1( )

Como antes, vamos fazer uma expansão do denominador, usando a lei dos co-senos:

222 2 2

1/ 2 2 3

' '' - 2 'cos ' 1 2 cos '

' ' 1 1 1 1 3 51 ; 2cos ' 1 1 1 ...

2 8 16r r

r rx r r rr r

r rx r

r r x r r

Reagrupando os termos, podemos reescrever a equação acima como:

1/ 21 1 1 ' ' 3cos ' 1 ' 5cos ' 3cos '1 1 cos ' ...

2 2r r r

x r r r r r

Polinômios de Legendre

Logo:3

1 1 ' 1 1(cos ') ( ) ' ( ') (cos ') '

n nnn n

rP r P d r

x r r r

Expansão em multipolos

n = 0 : termo de monopólo (termo dominante para grande r):0

3 300 1 1

1 1 1 1( ) ' ( ') (cos ') ' ( ') '

r P d r d rr rQr

r Potencial exato para uma carga pontual na origem.

n =1 : termo de dipolo (termo dominante se a carga total é nula)1 3 3

11 1 20 0

1 1 1 1( ) ' ( ') (cos ') ' ' ( ')cos ' '

1 1'cos ' . ' ( ) . ' ( ') '

r P d r r d rr r

r d rr

e r r e r r

A integral que aparece é o momento de dipolo p da distribuição de cargas.3

1 1' ( ') ' ( ) .

4dd rr

rp r r r e p

O momento de dipolo depende de fatores geométricos.

Para uma distribuição de cargas pontuais, o momento de dipolo se escreve:

dipolo fisico1

qr q q

p p r r dDipolo físico

Dipolo puro: q ao mesmo tempo que d 0: valor exato.Quando calculamos o potencial a partir de uma expansão em multipolos, a origem do sistema de referências é fundamental:

• Termo de monopólo: não muda com a mudança da origem, pois depende da carga total;

• Termo de dipolo: muda com a mudança da origem. Porém, se a carga total for nula é invariante.

Campo elétrico de um dipoloVamos supor um dipolo com momento de dipolo na origem e apontando na direção do eixo z. Nesse caso:

2 2 30 0 0

cos sin1( , )

( , ) 2cos sin4

p pr E

rr r r

Dipolo puro Dipolo físico

Fim da aula VII

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:◦ Definir o que é a Energia Potencial Eletrostática;◦ Calcular a Energia Potencial eletrostática para

distribuições de partículas carregadas◦ Calcular a Energia Potencial Eletrostática devido a

corpos extensos carregados.

Aula VIII – Energia Potencial Eletrostática

Energia potencial eletrostáticaQuestão: qual o trabalho para trazer uma carga do infinito até um ponto do espaço?

trajetória

( )i i i iW q r

Energia potencial eletrostática II

Se as cargas geradoras do campo estiverem localizadas nas posições rj então o potencial sobre a i-ésima carga será dado por:

0 01 1

4 | | 4 | |

n nj ji

i ii j i jj j

j i j i

r r r r

A energia potencial total do sistema de n cargas será dada então por:

0 01 1 1 1

4 | | 8 | |

j in n ni j i j

i j i ji j i ji j

q q q qW

r r r r

Energia potencial eletrostática IIISe a distribuição de cargas for contínua, a soma é substituída por uma integral:

1 ( ) ( ')'

1( ) ( )

W d r d r

Vamos resolver o problema agora olhando, alternativamente para o campo elétrico. Vamos reescrever a equação acima, usando a equação de Poisson, como:

3 20 ( ) ( )2

Energia potencial eletrostática IV

Esta expressão não contém mais

referência alguma às cargas !!!

Densidade de energia (w)

Esta é uma quantidade positiva !!!

Integrando por partes essa expressão:

Para um sistema de condutores mantidos a potenciais Vi e cargas qi, no vácuo, podemos escrever o potencial em função das cargas e de certas grandezas geométricas chamadas de coeficiente de capacidade. O potencial no enésimo condutor pode ser escrito como:

i ij jj

Termos que contém a geometria do problema

Podemos, ao menos formalmente, inverter a equação acima para obter as cargas nos condutores:

; ( 1,.., )n

i ij jj

Q C V i n

Se i =j (Cii) temos as capacitâncias dos condutores.

Para i j falamos em coeficientes de capacitânciaInterpretação: a capacitância de um condutor é a carga total no condutor quando o mesmo

é mantido a um potencial unitário, com os potenciais de todos os outros condutores mantidos no zero.

Para um sistema de condutores:

i i ij i ji i j

W Q V C V V

Energia potencial eletrostática V

Fim da Aula VIII

Fim da Unidade I

Exemplo 2.1

Exemplo 2.1 - Continuação

Exemplo 2.2

Exemplo 2.3

Exemplo 2.4

Exemplo 2.5

Exemplo 2.6

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