disciplina: cálculo i · 3.2 função do 1º grau: É toda função definida por: obs.: ... se a...

Curso: Engenharia Mecânica

Disciplina: Cálculo I

Prof.: Ailton Durigonailton.durigon@ifsc.edu.br

3. Funções

3.1 Definição de função e propriedades: Definição: Toda vez que temos dois conjuntos e

algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo conjunto, ocorre uma função.

Em símbolos:

( )f é função de A em B x A,

!y B : x; y f

Û" Î

$ Î Î

f : A B ou x f (x) ou x y f (x)® ® ® =

3. Funções

Exemplos

Contra-exemplos

3. Funções

Definição: O conjunto A, da variável x é chamado o domínio da função. Se o conjunto B for definido de tal forma que todos os elementos de B estejam associados aos elementos de A, então B é chamado a imagem da função.

O domínio da função é o conjunto dos números reais para os quais a função está definida. Generalizando as situações, conforme segue:

3. Funções

Domínio de uma função: Seja A uma expressão algébrica em x, neste caso temos:

Exemplos – Domínio e imagem(no quadro, em sala)

{ }

{ }

{ }

(i) f (x) A D

1(ii) f (x) D x / A 0

A

(iii) f (x) A D x / A 0

1(iv) f (x) D x / A 0

A

= Þ =

= Þ = Î ¹

= Þ = Î ³

= Þ = Î >

¡

¡

¡

¡

3. Funções

Gráficos: A curva ou linha que representa a função no plano cartesiano é chamada gráfico. Na figura a seguir, o gráfico está limitado pelos pontos ( )( ) ( )( )A a;f a e B b;f b

3. Funções

Exemplos:

1. f (x )=x2−2 2. f (x)=−x+1

3. Funções

Exemplos:

3. f (x )=

1x

4. f (x)=|x2−4|

3. Funções

2, se x 2

5. x 1, se 2 x 2

1, se x 2

< -ìï- + - £ <íï ³î

3. Funções

Operações: Dadas duas funções f e g, definem-se as operações:

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )0

(i) f g x f x g x

(ii) f g x f x g x

(iii) f g x f x g x

f x(iv) f / g x

g x

(v) g f x g f x

+ = +

- = -

× = ×

=

=

3. Funções

Exemplos:

Dadas as funções determine:

( )f (x) 3x 1 e g x x= - =

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

o

0

a) f g x d) g / f x

b) g f x e) g f x

c) g f x f ) f g x

+

-

×

3. Funções

Exercícios(Livro Cálculo A, pg. 20)

Número 1, letras a, c, e.Número 2, letras a, c, eNúmeros 3, 7, 8, 10, 12Número 13, letras a, b, c, e, h, j, kNúmero 15, letras a, b, c.Número 22Número 27Número 29(todas)Número 33Número 35.

3. Funções

3.2 Função do 1º Grau: É toda função definida por:OBS.:

● se a = 0 a função é constante.● a é o coeficiente angular e b o coef. linear.● A constante a pode representar: taxa de

crescimento, de variação, de reação, de absorção, de mutação, detre outras.

● Se a > 0, a função é crescente e se a < 0 a função é decrescente.

● O gráfico é uma reta não paralela aos eixos coordenados.

● O domínio e a imagem é os reais.

f : ®¡ ¡*f (x) ax b, a , b= + ΠΡ ¡

3. Funções

Exemplos

1) Construa o gráfico das funções:

2) Um vendedor recebe R$ 800,00 de salário fixo mais uma comissão de 2% sobre o total das vendas que ele faz durante um mês. Dê a função que representa o salário do vendedor. Faça o gráfico, discuta o domínio e a imagem.

a) y 3x 3

xb) y 1, 2 x 2

2

= +

= - + - £ £

3. Funções

3.3 Função Quadrática: É toda função definida por:

OBS.: ● O gráfico desta função é uma parábola,

voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a < 0

● O domínio é os reais e a imagem é:

f : ®¡ ¡2 *f (x) ax bx c, a= + + Ρ

a 0 y : y4aIm(f )

a 0 y : y4a

Dì > Þ Î ³ -ïï= í Dï < Þ Î £ -ïî

¡

¡

3. Funções

3.3 Função Quadrática:

Pontos notáveis da Parábola:● Intercepta o eixo das ordenadas em c.● Intercepta o eixo das abscissas em x' e x'' que

são as raízes da equação, dadas por:

● O vértice da parábola, é dado por:

bx

2a

- ± D=

2, onde b 4acD = -

bV ;

2a 4a

Dæ ö- -ç ÷è ø

1. Funções

1.5 Função Quadrática:

1. Funções

Exemplos

1) Construa o gráfico das funções, dê o domínio e a imagem:

2) Determinar as coordenadas dos pontos de intersecção:a) da parábola com a reta b) da parábola com a parábola

2

2

a) y x 5x 6

b) y x 3x 10

= - +

= - + -

2y x= y x 2= +2y x 4= +

2y x 9= - +

3. Funções

Função polinomial: É toda função definida por:

Neste tipo de função estão a do 1º e do 2º grau. O gráfico é uma curva que pode apresentar máximos e mínimos.

Exemplo

f : ®¡ ¡n n 1

0 1 nf (x) a x a x a-= + + +L

5 3f (x) x 5x 4x= - +

3. Funções

Função par: É uma função onde

O gráfico é simétrico em relação ao eixo dos y.

Função ímpar: É uma função onde

O gráfico é simétrico em relação à origem.

Exemplos – Verifique que:2

3

3

1) f (x) x é par

2) f (x) x x é ímpar

3) f (x) x 2 não é par nem ímpar

=

= -

= +

f ( x) f (x)- =

f ( x) f (x)- = -

3. Funções

Exercícios(Livro Cálculo A, pg. 53)Números 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6(letras a, b, c, d, e), 12, 19, 40 a 44, 47, 48, 49, 52, 53, 54 e 57.(Livro "PRÉ-CÁLCULO")Página 88 - números 9, 10, 12, 14, 16, 17, 19, 22, 24, 27, 28, 47, 49 e 54Página 101 - 7, 9, 11, 13 a 18, 23, 25, 27 e 30(sem forma canônica)Página 133 - 13, 17, 29 a 34, 61, 63, 65, 68 e 70.