dinâmica estocástica aula 3 agosto de...
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Dinâmica Estocástica
Aula 3
Agosto de 2015
. Função Geratriz. Densidade de probabilidade conjunta,
condicional e marginal. Variáveis aleatórias independentes:
SomaVariância
Função característicaFunção geratriz
Cumulantes
Passeio aleatório em uma dimensão
Variáveis aleatórias discretas
2
0np
As derivadas da função geratriz estão relacionadas com os momentos da distribuição.
0,1,2,...n
Tânia Tomé IFUSP 2015
Função geratriz
Função Geratriz
0
)(n
n
nzpzG
3
1
0
' ( ) n
n
n
G z n p z
0
' (1) n
n
G n p n
Tânia Tomé IFUSP 2015
Derivadas da função geratriz
0
)(n
n
nzpzGFunção geratriz
Primeira derivada da função geratriz
Em especial, para z=1, temos um resultado importante:
4
2'' (1)G n n
Tânia Tomé IFUSP 2015
2
2
)()1()(''
n
n
n
ztpnnzG
)()1()1(''2
tpnnG n
n
Derivadas da função geratriz
0
)(n
n
nzpzGFunção geratriz
Segunda derivada da função geratriz
Em particular para z=1 temos: )()( 2
2
tpnn n
n
)()(2
2
tpntpn nn
n
1
0
' ( ) n
n
n
G z n p z
Primeira derivada da função geratriz
5
3 2'''(1) 3 2G n n n
4 3 2'''' (1) 6 11 6G n n n n
Tânia Tomé IFUSP 2015
2
2
)()1()(''
n
n
n
ztpnnzG
Derivadas da função geratriz
0
)(n
n
nzpzGFunção geratriz
3)()2)(1()(''' n
n
n
ztpnnnzG3223 )()22( n
n
n
ztpnnnn
323 )()23()(''' n
n
n
ztpnnnzG
Seguindo o mesmo procedimento podemos obter:
Tânia Tomé IFUSP 2015 6
Solução de equações mestras
Muitas vezes é mais conveniente obter a função geratriz
e em seguida
a distribuição de probabilidades (solução da equação mestra).
Função Geratriz: aplicação importante
7
Exemplo mais simples entre os processos de nascimento e morte:
Equação mestra para o
Processo de decaimento radioativo
ou
Processo de morte pura em dinâmica de populações biológicas
oua reação química
X Y
Processos de “nascimento e morte”
Equação mestra para processos em que o número de elementos envolvidos determina o estado
Tânia Tomé IFUSP
Estudaremos isso em detalhe no tópico equação mestra
Função Geratriz - Exemplo
8
1) Imaginemos uma população de indivíduos que vive em um ambiente isolado
2) Imaginemos também que o ambiente esteja altamente poluído e que istoresulte na não reprodução dos indivíduos.
3) Os indivíduos não interagem entre si.
Processos de “Morte pura”
Tânia Tomé IFUSP
Estudaremos isso em detalhe no tópico equação mestra
Processo de morte pura
Número de pássaros sobreviventes versus tempoDados: Kraak et al (1940 ) in Hutchinson, 1978.
Exemplo
Tânia- Dinâmica estocástica - 2015 9
10
= Probabilidade de indivíduos estarem vivos em t
),()( tnPtPn
n
Tânia Tomé IFUSP
Probabilidade de indivíduos estarem vivos em n t
n é uma variável estocástica
Processo de morte pura
ouDecaimento radioativo
11
Condição inicial:
número de indivíduos no instante é 0n0t
0(0) 1nP 0t 0n n em
Tânia Tomé IFUSP 2015
Equação mestra para o processo de morte pura
)()()1()( 1 tPntPntPdt
dnnn
Vamos deduzir no tópico equação mestra
12
Encontrar ( )nP t),( tzG
)(),( tPztzG n
n
n
)(tPt
zGt
n
n
n
ntnnnt
n
zeen
ntzG
)(0 0)1(),(
Tânia Tomé IFUSP 2015
)()()1()( 1 tPntPntPdt
dnnn
Equação mestra para o processo de morte pura
Solução
Equação para a evolução temporal de ),( tzG
)(tPn
com
)(),( tPztzG n
n
n
Vamos deduzir no tópico equação mestra
Vamos deduzir no tópico equação mestra
Distribuição de probabilidades (solução da equação mestra)
Distribuição de probabilidades conjunta
Sejam variáveis aleatórias:1 2 3, , ,..., Nx x x x
1 2( , ,..., )Nx x x
1 2 1 2( , ,..., ) ... 1N Nx x x dx dx dx
Densidade de probabilidade conjunta de
Propriedades
14
1 2( , ,..., ) 0Nx x x
1 2 3, , ,..., Nx x x x
N
Tânia Tomé IFUSP 2015
15
Densidade de probabilidade marginal
1 1 1 2 2( ) ( , ,..., ) ...N Nx x x x dx dx É uma possível densidadede probabilidademarginal
É uma outra possível densidade de probabilidademarginal
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NN dxdxxxxxx ...)...,,,(),( 32121
16
zyzyxx dpdpmpppmp )2/)(exp()2/()(2223
Densidade de probabilidade marginal
3
2 2 2( , , ) exp( ( ) / 2 )2
x y z x y zp p p p p p mm
Exemplo: Distribuição de velocidades de Maxwell
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Essa é uma possível densidade de probabilidade
marginal de ),,( zyx ppp
17
)()()(),,( zyxzyx pppppp
zxzyxy dpdpmpppmp )2/)(exp()2/()(2223
Da mesma maneira também são densidades de probabilidade marginais:
As variáveis zyx ppp ,, são independentes. Portanto, temos:
)2/exp()2/()(2
mpmp zz
)2/exp()2/()(2
mpmp yy
Exemplo: Distribuição de velocidades de Maxwell
Tânia Tomé IFUSP 2015
e
yxzyxz dpdpmpppmp )2/)(exp()2/()(2223
18
Densidade de Probabilidade Condicional
),..,...,,,()...,|()...,,,( 3232121 MsMM xxxxxxxxxxx
)...,|( 321 Mxxxx
Probabilidade de que assuma um determinado valor dado que as
variáveis restantes assumiram certos valores
1x
Mxxx ...,,, 32
1 21 2 3
2 3
( , ,..., )( | , ... )
( , ,.., )
MM
M
x x xx x x x
x x x
Densidade de probabilidade conjunta e densidade de probabilidade condicional
Densidade deprobabilidade condicional
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Notação:
19
Variáveis aleatórias independentes
1 2 3, ,x x x
)()()(),,( 321321 xxxxxx
2x
3x1x
3x
1x
Se Nxxxx ,...,,, 321 são variáveis aleatórias independentes então:
Se são variáveis aleatórias mutuamente independentes entre si de modo que
2x
é estatisticamente independente de é estatisticamente independente deé estatisticamente independente de
Então
)(...)()()()...,,,,( 321321 NN xxxxxxxx
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20
Soma de variáveis aleatórias X
NxxxxX ....321
Conjunto de variáveis aleatórias:
MxxxxX ....321
também é uma variável aleatória.
Nxxxx ....,,,, 321
Propriedade válida para qualquer conjunto de variáveis aleatórias!
Valor médio de X
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Nxxx ...21
21
Se
Variância da distribuição associada à
variáveis aleatórias independentes
NxxxxX ....321
X
= soma de variáveis aleatórias independentes
Então
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Variância da soma de variáveis aleatórias
Nxxxx ....,,,, 321
É igual à soma das variâncias de cada variável aleatória
22
222 XX
N2
22
122 ....
222 jjj xx
Nj ....,,2,1
Tânia Tomé IFUSP 2015
Variância da soma de variáveis aleatórias
variância da soma de variáveis aleatórias independentes
soma das variâncias de cadavariável aleatória
variância de variável aleatória jx
NxxxxX ....321
23
)....)(....( 2121
2
MM xxxxxxX
Demonstração
........ 22
121122 xxxxxxX M
Pois, 2121 xxxx são variáveis aleatórias independentes)
M2
22
122 ....
........ 22
121122 xxxxxxX M
1x 2xe(
(1)
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Variância da soma de variáveis aleatórias
A variância da soma de variáveis aleatórias independentes X
Soma das variâncias de cadavariável aleatória
24
Por outro lado 2
21
2 )....( MxxxX
.......... 121
22
2
2
1
2 MM xxxxxxxX
pois são variáveis aleatória independentes
Portanto, subtraindo membro a membro as Eqs. (1) e (2) obtemos:
...}{}{ 2
2222
112222 xxxxXX
2121 xxxx21, xx
(2)
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Variância da soma de variáveis aleatórias
........ 22
121122 xxxxxxX M
(1)
12 2
2
25
( ) exp( ) ( )G k ikX X dX
21 xxX
Vamos tomar apenas duas variáveis aleatórias independentes e .
)()()( 21 kgkgkG
Função característica – soma de variáveis independentes
são variáveis aleatórias independentes então podemos mostrar que:1x 2xe
1x 2x
Função característica associada à soma devariáveis independentes X
Soma:
1 1 1 1 1( ) exp( ) ( )g k ikx x dx 2 2 2 2 2( ) exp( ) ( )g k ikx x dx
em que
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26
Exercício
Mostrar que a função característica associada à soma
de N variáveis aleatórias mutuamente independentes
pode ser escrita como:1 2 3( ) ( ) ( ) ( )... ( )NG k g k g k g k g k
( ) exp( ) ( )j j j j jg k ikx x dx
em que
1 2 ... NX x x x
1 2, ,...., Nx x x
1 2 1 2 1 2( ) ( ( ... )) ( , ,..., ) ....N N NX X x x x x x x dx dx dx
( ) exp( ) ( )G k ikX X dX 1,2,...,j N
Sugestão. Utilizar a transformação de variáveis:
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Exercício 3 da primeira lista
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Cumulantes de: variáveis aleatórias independentes
21 xxX 21, xx
)()()( 21 kgkgkG
Pois:
(2))!
)(exp()(
)1(
11
1 11
1
nn
n
n
ikkg
)!
)(exp()(
)2(
122
22
2
nn
n
n
ikkg
1
( )( ) exp( )
!
n
nn
ikG k
n
Comparando termo a termo em k do produto das expressões (2) e (3) com a expressão (4) obtemos o resultado :
(1)
(3)
(4)
nnn
)2()1(
nnn
)2()1(
Cumulantes da soma de variáveis independentes
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28
Função característica da soma de variáveis aleatoriamente independentes gaussianas
2 2
1( ) exp( / 2)g k k
2 2
1 1 12
1( ) exp( /2 )
2x x
21 xxX
2 2
2 2 22
1( ) exp( /2 )
2x x
2 2 2 2 2 2
1 2( ) ( ) ( ) exp( / 2).exp( / 2) exp( )G k g k g k k k k
2 2
2( ) exp( / 2)g k k
)(exp()exp()()exp()( 21 xxikikXdXXikXkG
A função característica associada à soma é uma gaussiana também!
1 2( ) ( ) ( )G k g k g k
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)exp()( 22kkG
são variáveis aleatórias independentese gaussianas
Funções características associadasàs variáveis gaussianas
21, xx
Função característica associada à soma X das variáveis gaussianas independentes
21, xx
21, xx
1 0 3 4 5 ... 0
29
1
( )( ) exp{ }
!
n
n
n
ikG k
n
2 2
1 2( ) ( ) ( ) exp( )G k g k g k k
2 3
1 2 3
( ) ( ) ( )( ) exp{ ... ....}
1 2 3!
ik ik ikG k
Comparando as expressões (2) e (3) temos:
Definição da função característica em termos dos cumulantes
2 2
2
1( ) exp( /4 )
2 2X X
Função característica da soma de duas variáveis gaussianas independentes
Tânia Tomé IFUSP 2015
Distribuição da soma de variáveis aleatoriamente independentes gaussianas
A partir da Eq. (1) temos,
n(1)
(2)
(3)
2
2 2
A distribuição da soma de duas variáveis gaussianas independentes de variância é uma gaussiana cuja variância é
22
2
30
2
22
1( ) exp( )
2(2 )2 2
XX
ResumindoSe:
2 2
1 1 12
1( ) exp( /2 )
2x x
2 2
2 2 22
1( ) exp( /2 )
2x x
Então à soma 21 xxX
1x 2xe são variáveis aleatórias independentes com distribuições gaussianas:
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é associada a distribuição gaussiana:
31
GenericamenteSe:
2 2
2
1( ) exp( /2 ) ,
2j j jx x
Nxxx ...,,, 21 são N variáveis aleatórias mutuamente independentes com distribuições gaussianas,
2
22
1( ) exp( )
22
XX
NN
Então a distribuição associada à soma1 2 ... NX x x x
2 2X N
é dada por:
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Distribuição da soma de variáveis aleatoriamente independentes gaussianas
Nj ...,,2,1
Variância de
22 jx
)(X
Variância de )( jj x
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1) Imaginemos uma população de indivíduos que vive em um ambiente isolado
2) Imaginemos também que o ambiente esteja altamente poluído e que istoresulte na não reprodução dos indivíduos.
3) Os indivíduos não interagem entre si.
Processo de “Morte pura” – mais detalhes
Tânia Tomé IFUSP
Tânia Tomé IFUSP 34
Processo de decaimento radioativo
Descrever o processo de decaimento radioativo em termos de um processo markoviano a tempo contínuo (equação mestra)
Exemplo mais simples:
Objetivo: caracterizar a evolução temporal de um conjunto de núcleos radioativos
Obter a distribuição de probabilidades de termos n núcleos “sobreviventes” em um instante de tempo t
Processo de decaimento
35
= Probabilidade de indivíduos estarem vivos em t
),()( tnPtPn
n
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Probabilidade de indivíduos estarem vivos em n t
n é uma variável estocástica
Processo de morte pura
ouDecaimento radioativo
36
Formulação do problema
Probabilidade de transição de um estado m para um estado n em um certointervalo de tempo curto : t
( , ) 0T n m
( , )T n m m t
para
para
n m
1n m
( , )m t
W n mt
( , ) ( , 1)W n m m n m
Ou seja,
n m
Delta de Kronecker
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taxa de morte
nm
taxa de transição
37
Condição inicial:
número de indivíduos no instante é 0n0t
0(0) 1nP 0t 0n n em
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Equação mestra para o processo de morte pura
)()()1()( 1 tPntPntPdt
dnnn
Vamos deduzir no tópico equação mestra
38
1( ) ( 1) ( ) ( )n n n
dP t n P t n P t
dt
Utilizar a função geratriz
Função geratriz
Encontrar ( )nP t
Tânia Tomé IFUSP 2015
)(),( tPztzG n
n
n
)()(1
tntpnGz
n
nz
)(2
1
tnGz
zz
z
Equação mestra para o processo de morte pura
39
Encontrar ( )nP t),( tzG
)(),( tPztzG n
n
n
)(tPt
zGt
n
n
n
)()1(1
tPznzz
Gt
n
n
n
)(1 tPznGz
n
n
n
)(tPznG
zz n
n
n
ntnnnt
n
zeen
ntzG
)(0 0)1(),(00
( ) (1 )1
nt
n nt
n t
n eP t e
en
Gz
zGt
)1( 0})1{(),(
ntt ezetzG
Tânia Tomé IFUSP 2015
)()()1()( 1 tPntPntPdt
dnnn
40
Função geratriz – exemplo – processo de morte pura
2 2
0 0 0( ) ( 1) t tn t n n e n e
0})1{(),(ntt ezetzG
)(),( tPztzG n
n
n
t
z
entnGz
0
1
)(
)(2
1
tnGz
zz
z
Variância
2 2( )n t n 2
0 0
t tn e n e
Para grande t 2 2
0( ) tn t n n e n
2 2( )n t n n
Tânia Tomé IFUSP 2015
Processo de morte pura
//
//
n n
n n
n
0n
0
t0
///
Tânia Tomé IFUSP 2015 41
Valor médio <n> do número de indivíduos sobreviventesversus tempo t
FIM
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