dinâmica · do corpo se movem em um círculo cujo centro está sobre o eixo de ... cilindro...

Dinâmica

Prof.ª Betty Carvalho Rocha Gonçalves do Pradobetty.prado@kroton.com.br

bettycarvalho@ig.com.br

Corpo rígido É um conceito limite ideal, de um corpo indeformável que pode girar comtodas suas partes travadas conjuntamente sem sofrer qualquer mudança. A distânciaentre duas partículas quaisquer do corpo é constante

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O Corpo rígido conserva a sua forma durante o seu movimento

CORPO RÍGIDO

São corpos cuja dimensões não são desprezáveis

Todas as partículas sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmointervalo de tempo, de modo que todas possuem, em qualquerinstante, a mesma velocidade e aceleração.

MOVIMENTOS DE UM CORPO RÍGIDO

1º - O movimento de translação (movimento linear) quandotodos os pontos percorrem trajetórias paralelas. Todos os pontos semovem ao longo de uma linha reta e todos os pontos sofrem omesmo deslocamento linear em um mesmo intervalo de tempo.

3

2º - O movimento de rotação (movimento angular) quandotodos os pontos percorrem trajetórias circulares. Todos os pontosdo corpo se movem em um círculo cujo centro está sobre o eixo derotação e todos os pontos descrevem o mesmo ângulo em ummesmo intervalo de tempo.

Movimento rotacional puro

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MOVIMENTOS DE UM CORPO RÍGIDO

Movimento translacional

+

rotacional

3º - Combinação do movimento de rotação e de translação

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MOVIMENTOS DE UM CORPO RÍGIDO

6

x

z

y

MOVIMENTO DE ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO

Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Significa que arotação ocorre em torno de um eixo que não se move.

O eixo fixo é denominado eixo de rotação

6

é a posição angular do corpo rígido

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Exemplos de movimento de rotação

MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA

• A aceleração angular da massa infinitesimal Δm em torno do eixo AA` devido à aplicação de um momento, é proporcional a r2 Δm.

r2 Δm = momento da inércia da massa Δm relativamente ao eixo AA’

• Raio de giro, k : m

IkmkI 2

• Para um corpo de massa m a resistência à rotação em torno do eixo AA' é:

ae uma mass Inércia dMomento dedmr

mrmrmrI

2

2

3

2

2

2

1

• Momento de inércia relativamente ao eixo coordenado y é:

dmxzdmrI y 222

• Similarmente, para o momento da inércia relativamente aos

eixos x e z:

dmyxI

dmzyI

z

x

22

22

MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA

• Em unidades SI:

]m[kg 22 dmrI

Se um corpo rígido compõe de poucas partículas, podemos

calcular o momento de inércia

No entanto se o corpo rígido constituir de um grande número

de partícula (meio contínuo) para encontrarmos I temos que

integrar

Cálculo do Momento de Inércia

dmrI 2

2

iirmI

haste é uniforme: CM é o seu centro.

Cálculo do Momento de Inércia

Exemplo: Haste fina uniforme de massa M e comprimento L.

Qual o momento de inércia?

dmrI 2

Suponha que queremos encontrar o

momento de inércia I de um corpo de

massa M em torno de um eixo dado.

reformulando

temos o teorema dos eixos paralelos

Teorema dos Eixos Paralelos

Momentos de inércia de alguns corpos homogêneos

Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns

Barra fina

Placa retangular fina

Prisma retangular

Disco delgado

Cilindro circular

Cone circular

Esfera maciça

2 21 1

2 2C G GE m v I

A energia cinética está relacionada com o movimento dos corpos.

ENERGIA CINÉTICA

A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes:

energia cinética de translação (referida á velocidade do seu cento de

massa) e de rotação (determinada a partir do conhecimento do

momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa)

Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na

determinação das variáveis vG e w ou para estabelecer entre

estas duas variáveis.

G

Gv

Gr

G

vvG

Energia cinética: movimentos de translação e de rotação (eixo fixo)

Translação: Sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito

a um movimento de translação retilínea ou curvilínea, a energia

cinética de rotação é nula pois w = 0:

Rotação em torno de um eixo fixo: Quando um corpo rígido roda

em torno de um eixo fixo, o corpo apresenta energia cinética de

translação (em G) e de rotação.

2

1

2C OE I

2 2 21 1

2 2O G G C G GI I m r E m v I

2 2 21 1

2 2C G Gx GyE m v m v v

pois

Trabalho de uma força Introdução

Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar

o movimento plano de corpos rígidos.

O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de

problemas de movimento plano de corpos rígidos que envolvam

forças, deslocamentos e velocidades.

Pontos de análise do trabalho de uma força:

- Uma força realiza trabalho quando se move segundo a sua linha de

ação.

- Graficamente o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento.

- O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos

dos vetores força/momento e deslocamento.

- O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos

que realizam trabalho ao longo da trajetória do corpo rígido.

Forças que atuam em corpos rígidos sem realizar trabalho

Forças aplicadas a pontos fixos ou perpendiculares à direção

do deslocamento:

- Reações em pinos de dimensões desprezíveis, em relação aos

quais o corpo se move.

- Reação normal quando atua sobre um corpo que se move

sobre uma superfície fixa.

- Força gravitacional quando o seu centro de gravidade se move

num plano horizontal.

- Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando

rola sem deslizar sobre uma superfície rugosa (isto porque a

força atua em um ponto do corpo com velocidade nula).

Trabalho realizado Formulação Matemática Observações

Força variável

Força constante

Força gravitacional

Força exercida por uma mola

Binário de momento variável

Binário de momento constante

F ts

W F ds (FC)t representa a componentetangencial da força (segundo a direçãodo movimento).

CF C t

W F s

k1: deformação inicial da mola

k2: deformação final da mola

O sinal para W é definido pelossentidos dos vetores força e

deslocamento.

gF gW F h

2

1

dMWM

M

W M

Trabalho realizado por diferentes forças

(F)t representa a componentetangencial de F.

2

1

2

22

1

2

1kxkxWk

O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de

problemas que envolvam mecanismos constituídos por diversos

elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser aplicado a cada um dos

elementos isoladamente.

2121 CC EWE

Quando vários corpos são interligados por pinos, conectados por cabos

indeformáveis ou interligados entre si sem a utilização de elementos

flexíveis o princípio do trabalho e energia pode ser aplicado a todo o

sistema de corpos interligados.

Princípio do trabalho e energia

Esta equação estabelece que a variação da energia cinética do corpo (de

translação e de rotação), entre os instantes inicial e final, é igual ao

trabalho realizado por todas as forças e momentos externos que nele

atuam.

CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Quando sobre um sistema atuam apenas forças conservativas o princípio

do trabalho e energia pode ser substituído na resolução de problemas

pelo teorema da conservação da energia.

Energia potencial gravitacional GP ygmEg

A convenção de sinais utilizada para a energia potencial gravitacional é a

mesma que a apresentada para o trabalho realizado pela força

gravitacional.

Energia potencial elástica 2 x2

1kE

eP

A energia potencial elástica é considerada positiva quando os vetores

força elástica e deslocamento têm o mesmo sentido. É negativa quando

os sentidos dos vetores referidos é oposto.

CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

ENERGIA MECÂNICA

22. 11 )2( PCFPC EEWEE

consnão

PCm EEE )1( com:RT CCC EEE

eg PPP EEE

O termo da equação 2, WF não cons. representa o trabalho realizado pelas

forças não conservativas como a força de atrito. Se este termo for nulo

então a equação 2, vem:

212211 mmPCPC EEEEEE Teorema da conservação da

energia mecânica

Potência

A potência mecânica (P) de uma máquina quantifica a sua

capacidade de trabalho por unidade de tempo.

Assim, se uma máquina é capaz de aplicar a um corpo

rígido:

• uma força Ft sobre um ponto com velocidade v,

P [w]t

t

F dsdWF v

dt dt

[w] P

Mdt

dM

dt

dW

• um momento M à velocidade angular w,

7000N.m @ 2700rpm

Para realizar o mesmo

trabalho sobre o

comboio, a locomotiva

mais recente precisará de

mais tempo do que o que

a outra máquina porque é

menos potente.

SD80MAC (USA, 1994)

PRR S1 (USA, 1938)

potência disponível p/a tração

Conceito de potência

Relações da Translação e Rotação