derivação implicita_maio 2012
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UNIFACS – CURSOS DE ENGENHARIACÁLCULO DIFERENCIALProf. Adelmo R. de Jesus
Derivada de Expressões na Forma Implícita – maio/2012
A forma implícita: Nem toda função (ou expressão matemática) aparece na forma explícita y = f(x). Por exemplo, na expressão x2 y3+ 3xy = 2 dizemos que a variável y está implicitamente dada em função de x, ou seja, y é dependente de x, embora esta relação não se expresse de forma clara, explícita. O problema que se põe é que em alguns casos precisamos obter a derivada de funções dadas na forma implícita F(x, y) = c, sem que explicitemos a variável y. O processo de derivação é feito aplicando a Regra da Cadeia, observando que y é uma função de x .
EXEMPLOS:Expressão Derivada da expressão em relação x
x3+y2 3x2+2y y’
sen(y) + x cos(y) y’ + 1
3 + ey ey y’
x3 y2 3x2 y2 + x3 2y y’
tg x +3y2 = ln(2) sec2x + 6yy’ = 0
x2y = 4 2xy + x2 y’ = 0
1. Complete a tabela abaixo com as derivadas das expressões:
Expressão Derivada da expressão em relação à variável x
2x3 – 3y2 + 2y
x2 + +2y3
sen(y) + cos(xy)
3x + x2ey
3x2 y3 + xtg(y)
= 3
2xsen(y) + ln(x2 ) -2y3 = 1
x2y + y2 = 4x
2. Calcule a expressão para , e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
a) (Resposta: ;
)
b) (Resposta: ;
)
Exercícios:1. Dadas as expressões implícitas abaixo, calcule o que se pede:
a)
b)
c)
d)
2. Determine a equação da reta tangente:
a) ao círculo x2 + y2 = 5 no ponto P = (1, 2)
b) ao folium de Descartes x3 + y3 = 9xy no ponto P = (2, 4)
3. Considere a curva dada na forma implícita por x2y +xy2 = 6.
a) Calcule a ordenada y do ponto P=(1, y) do 1º quadrante dessa curva,
como mostra a figura.
b) Dê a equação da reta tangente a essa curva, no ponto P
Respostas
1. (a) ; (b) ;
(c) ;
(d) ;
2. a) , ou b)
3. a) Um ponto (x,y) pertence ao gráfico de uma curva quando ele satisfaz a equação da curva.
b) Para achar a reta tangente só falta o coeficiente angular, que é a derivada no ponto x =1
x
y
x
y
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