UNIFACS – CURSOS DE ENGENHARIACÁLCULO DIFERENCIALProf. Adelmo R. de Jesus

Derivada de Expressões na Forma Implícita – maio/2012

A forma implícita: Nem toda função (ou expressão matemática) aparece na forma explícita y = f(x). Por exemplo, na expressão x2 y3+ 3xy = 2 dizemos que a variável y está implicitamente dada em função de x, ou seja, y é dependente de x, embora esta relação não se expresse de forma clara, explícita. O problema que se põe é que em alguns casos precisamos obter a derivada de funções dadas na forma implícita F(x, y) = c, sem que explicitemos a variável y. O processo de derivação é feito aplicando a Regra da Cadeia, observando que y é uma função de x .

EXEMPLOS:Expressão Derivada da expressão em relação x

x3+y2 3x2+2y y’

sen(y) + x cos(y) y’ + 1

3 + ey ey y’

x3 y2 3x2 y2 + x3 2y y’

tg x +3y2 = ln(2) sec2x + 6yy’ = 0

x2y = 4 2xy + x2 y’ = 0

1. Complete a tabela abaixo com as derivadas das expressões:

Expressão Derivada da expressão em relação à variável x

2x3 – 3y2 + 2y

x2 + +2y3

sen(y) + cos(xy)

3x + x2ey

3x2 y3 + xtg(y)

= 3

2xsen(y) + ln(x2 ) -2y3 = 1

x2y + y2 = 4x

2. Calcule a expressão para , e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:

a) (Resposta: ;

)

b) (Resposta: ;

)

Exercícios:1. Dadas as expressões implícitas abaixo, calcule o que se pede:

a)

b)

c)

d)

2. Determine a equação da reta tangente:

a) ao círculo x2 + y2 = 5 no ponto P = (1, 2)

b) ao folium de Descartes x3 + y3 = 9xy no ponto P = (2, 4)

3. Considere a curva dada na forma implícita por x2y +xy2 = 6.

a) Calcule a ordenada y do ponto P=(1, y) do 1º quadrante dessa curva,

como mostra a figura.

b) Dê a equação da reta tangente a essa curva, no ponto P

Respostas

1. (a) ; (b) ;

(c) ;

(d) ;

2. a) , ou b)

3. a) Um ponto (x,y) pertence ao gráfico de uma curva quando ele satisfaz a equação da curva.

b) Para achar a reta tangente só falta o coeficiente angular, que é a derivada no ponto x =1

x

y

x

y