DERIVAÇÃO DE UM SISTEMA BÔNUS-MALUS

UMA ABORDAGEM USANDO A TEORIA DA DECISÃO

• X é uma var. aleat. Relacionada com um parâmetro w (w e X S)

• D é o conjunto de decisões possíveis

• A distrib. de X quando W=w, é especificada para cada valor de w

• L é a função perda (determina um nº real para perda incorrida quando W=w e tomamos uma decisão (x)

OBJETIVO

• ESCOLHER UMA FUNÇÃO DECISÃO QUE ESPECIFIQUE PARA CADA VALOR DE xS UMA DECISÃO (x)D

: classe de todas as funções decisão :função distribuição de probabilidade de W• A função de risco da decisão quando W=w fica sendo dada por:

S

xdwxfxwLw )()|())(,();(

•A função de risco de fica sendo

)()(),();( wdww

)()()()|()(;);( wdxdwwxfxwLS

• Definindo-se * como sendo a função decisão tal que:

)();(inf);( **

•NESTE CASO * É DEFINIDA COMO FUNÇÃO DECISÃO DE BAYES EM RELAÇÃO A

FUNÇÃO DE DECISÃO DE BAYES

• UMA FUNÇÃO QUE MINIMIZA O RISCO PODE SER OBTIDA MINIMIZANDO A INTEGRAL INTERNA PARA CADA x S

)()()()|()](;[);( xdwdwwxfxwLS

• Uma função de decisão de Bayes * em relação à pode ser construída como:

• Para cada valor de x S, seja *(x)=d* onde d* é qualquer função de decisão em D que minimiza a integral

)()()|()](;[ wdwwxfxwL

• MINIMIZAR A INTEGRAL ACIMA É EQUIVALENTE A MINIMIZAR

)()(

)()|();( wd

xh

wwxfdwL

ONDE

)()()|()( wdwwxfxh

PELO TEOREMA DE BAYES

)(

)()|()|(

xh

wwxfxw

• LOGO A FUNÇÃO DE DECISÃO DE BAYES É AQUELA QUE MINIMIZA A PERDA ESPERADA EM RELAÇÃO À DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE A POSTERIORI DE W, OU SEJA, MINIMIZA

]|))(;([ xXxwLEW

-

j ano no seg.por sinistros de nº jk

);...;( 1 tkk

anopor seguradopor sinistros de esperado nº

OBJETIVO

• NO TEMPO t+1 ENCONTRAR O MELHOR ESTIMADOR PARA

);...;( 1 tkk

),...,( : NOTAÇÃO 11 tt kk

• CONSIDERANDO

O JOGO

111 ;; ttt RD

natureza da sestratégia de Espaço - ;0

1 temdecisor do sestratégia de Espaço 1 tD);...;( vetor cada associa que );...;( funções de classe uma É 111t tt kkkk

1 ponto um com t

);( 111 ttt RR

) );( perda da matemática (esperança 11t tF

1) t tempono risco de função(

);();( 1111 tttt FER

tkk

ttt kkPF,...,

111

1

)|,...,(),(

• A seqüência t (t=1,2,...,) forma o jogo estatístico

),,( RD• Onde:

x...x...xx 21 tDDDD

1

1 ),(),...,,...,(t

ttt RRR

1

),(t

ttFE esperada) totalperda a é ( tR

• Admitindo uma distribuição para • f.d.p u() e com f.d. U()

• OBJETIVO: minimizar o risco esperado do processo

0 11 )(),...,,...,(,...),...,( dURR tt

0

1

)(),(t

tt dUFE

01 ,...,

111

1

)()|,...,(),(t kk

ttt

t

dUkkPF

• Logo),...,(

)()|,...,(),...,|(

temosBayes de Teorema Pelo

1

11

t

tt kkP

dUkkPkkdU

),...,(),...,(),(,...),...,( 110

1 ,...,111

1

ttt kk

ttt kkPkkdUFRt

(*) ),...,(),..., |(),( 111 ,...,

0 11

1

ttt kk

tt kkPkkdUFt

),...,( cada e t cada paraminimizar a eequivalent é (*)Minimizar 1 tkk

0 111 ),...,|(),( ttt kkdUF

• Adotando a perda quadrática:2

111 )(),( tttF

•Temos que será aquele que minimizar:

1t

0 1

211

21 ,...,|)(),...,|()( tttt kkEkkdU

O estimador que minimiza o risco do processo é dado por:

),...,|(),...,|(),...,( 11011 tttt kkEkkdUkk

• Considerando

)Poisson(~| ik

),(~ Gama

•Temos que a distribuição a posteriori para será

1)(1 ),...,|( kt

t ekkdU

t

iik

1

onde k

• Logo

),(~,...,| 1 tGamakk t k

• Com:

tkkkkE ttt

k),...,(),...,|( 111

• Seja pk a probabilidade de k sinistros. Logo

00

)()|(),()( dUkKpdkKpkKPpk

k

k

k

kde

k

1

1

1)()1(

)(

!)( 0

1)1(

][]]|[[][ EKEEKE

][][]]|[[]]|[[][ VEKEVKVEKV

1

12

ESTIMADORES PARA E

• PELO MÉTODO DOS MOMENTOS:

xs

x

2

2

xs

x

2

PROPRIEDADES DE • A longo prazo é perfeitamente

discriminante

),...,( 11 tt kk

0)],...,([ 2

111 limlim

t

kkkV

t

ii

ttt

t

•Atende os pressupostos da Teoria da Credibilidade

)1(),...,( 1

11 zt

kzkk

t

ii

tt

t

tz

APLICAÇÃO

• O FATOR f DETERMINARÁ O AGRAVO/DESAGRAVO NA TAXA DE ACORDO COM O HISTÓRICO DO SEGURADO

t

k

f

t

ii

1

Nº DE SINISTROS

k OBS. EST. POISSON EST. POISSON-GAMA

0 156.695 155.756,26 156.685,71

1 37.320 38.942,96 37.340,26

2 5.332 4.868,36 5.323,90

3 594 405,74 589,18

4 56 25,36 55,80

5 3 1,27 4,75

6 - 0,05 0,37

TOTAL 200.000 200.000 200.000

estimativas

p - value <0,0001 0,9398

2500,0ˆ 0875,5ˆ 3479,20ˆ

NÚMERO DE SINISTROS

0 1 2 3 4 5

t

0 1

1 0,9532 1,1405 1,3279 1,5152 1,7026 1,8899

2 0,9105 1,0895 1,2684 1,4474 1,6264 1,8054

3 0,8715 1,0428 1,2141 1,3854 1,5567 1,7280

4 0,8357 1,0000 1,1643 1,3285 1,4928 1,6571

5 0,8027 0,9605 1,1183 1,2761 1,4339 1,5917