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5 – OscilaçõesFísica II
Prof. Roberto Claudino Ferreira
1
Universidade Estadual do
Sudoeste da Bahia
Departamento de Estudos Básicos e Instrumentais
2
ÍNDICE
1. Algumas Oscilações;
2. Movimento Harmônico Simples (MHS);
3. Pendulo Simples;
4. Velocidade MHS;
5. Aceleração MHS;
6. Energia MHS;
7. MHS amortecido;
8. Oscilações Forçadas e Ressonância.
Prof. Roberto Claudino
3
OBJETIVO GERAL
Alcançar um entendimento das leis,
princípios, grandezas e unidades de
medidas que envolvem o estudo da
oscilações, assim como suas aplicações
práticas, através de abordagens
conceituais, históricas e demonstrações
matemáticas.
Prof. Roberto Claudino
4
O que é Oscilação
Efeito exprimível como uma quantidade
que repetidamente e regularmente flutua acima
e abaixo de algum valor médio.
Prof. Roberto Claudino
5
Algumas Oscilações
Prof. Roberto Claudino
Ondas.
Ondas de superfície.
O Pêndulo.
As principais formas de oscilação podem ser reduzidas
a sistemas do tipo.
Massa - Mola.
Generalidade das Oscilações
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Movimento Harmônico Simples (MHS)
Prof. Roberto Claudino
A
BC
h
As oscilações de um corpo se
caracterizam pelo período que apresentam e
pela amplitude que alcançam.
É possível explicar o
(MHS) fazendo uma
analogia com o sistema
de pendulo simples.
8
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Prof. Roberto Claudino
A
BC
h
O seu valor também pode ser medido
pela frequência (f), conhecendo o número
de oscilações por unidade de tempo
O período (T)
corresponde ao intervalo
de tempo de uma
oscilação completa
(vaivém).
9
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Prof. Roberto Claudino
O período (T) tem unidade de medida no SI emsegundos (s). E a frequência (f) em hertz, ondeT = 1/f.
)cos()( txtx m
Deslocamento
Amplitude
Frequência Angular
tempo
Ângulo de Fase
f 2
(1)
(2)
Movimento do Pêndulo Simples
cteEEE MCMBMA
max
0
0
P
C
C
E
E
v
max
0
0
P
C
B
E
E
v
A A
B
A
BC
h
Num sistema conservativo, a energia
mecânica total permanece constante.
0
max
max
P
C
E
E
v
11
Analogia: Pendulo e Oscilador
Massa - Mola
Prof. Roberto Claudino
O movimento executado pelo pêndulo
simples é semelhante ao do sistema
massa-mola.
0 0
0 0
0 0
0 0
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Velocidade do MHS
Derivando (1) obtemos a expressão da
velocidade de uma partícula em movimento harmônico
simples.
(3)
Velocidade (4)
Prof. Roberto Claudino
)]cos([)(
)( txdt
d
dt
tdxtv m
)()( tsenxtv m
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Aceleração do MHS
Derivando (4) obtemos a expressão da
aceleração de uma partícula em movimento harmônico
simples.
(5)
Aceleração (6)
Combinando (1) com (6), temos:
(7)
Prof. Roberto Claudino
)]([)(
)( tsenxdt
d
dt
tdvta m
)cos(²)( txta m
)(²)( txta
14
A lei do MHS
Conhecendo como a aceleração de uma
partícula varia com o tempo, podemos substituí-la na
2ª lei de Newton:
(8)
(9)
(10)
A equação (10) é uma força restauradora proporcional
ao deslocamento, (Que é a Lei de Hooke).
(11)
(12)Prof. Roberto Claudino
xmF
xmF
maF
)(
)(
2
2
2mk
kxF
15
A lei do MHS
A equação (10) pode ser uma definição alternativa
para o MHS:
O (MHS), é um movimento executado por uma
força proporcional ao deslocamento da partícula e de
sinal oposto.
Isolando a frequência angular em (12):
(13)
1º Problema: Mostre que: Combinando (13) com a
frequência, encontramos o período do oscilador linear:
(14)
Prof. Roberto Claudino
m
k
k
mT 2
16
2º Problema: Um bloco cuja massa m é 680gestá preso a uma mola cuja constante elástica ké 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfíciesem atrito por uma distância x = 11cm a partir daposição de equilíbrio em x = 0 e liberado a partirdo repouso no instante t = 0. (a) Quais são afrequência angular, a frequência e o período domovimento resultante?(b) Qual a amplitude das oscilações?(c) Qual a velocidade máxima (vm) do bloco eonde se encontra o bloco quando tem essavelocidade?(d) Qual o módulo (am) da aceleração máxima dobloco?
Prof. Roberto Claudino
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A Energia do MHS
Energia Potencial: (15)
Substituindo (1) em (15):
(16)
Energia Cinética: (17)
Substituindo (4) em (16):
(18)
Prof. Roberto Claudino
²2
1)( kxtU
²2
1)( mvtk
)²(cos2
1²
2
1)( 2 tkxkxtU m
)²(2
1²
2
1)( 22 tsenxmmvtK m
18
A Energia do MHS
Substituindo (13) em (18):
(19)
Energia Mecânica é dado por: E = K + U, substituindo
(16) e (19), temos:
(20)
(21)
(22)Prof. Roberto Claudino
)(2
1)(cos
2
1 2222 senkxkxE mm
)²(2
1)( 2 tsenmx
m
ktK m
)]()([cos2
1 222 senkxE m
2
2
1mkxE
1
19
Pendulo Simples
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T
P
mgP
Eixo horizontalDo movimento
F
S
L
P
x
FP
F
S
Como θ é muito Pequeno h = L
L
xgmF
Sendo: amF
L
xgmam
L
xga
L
g
x
a
2T
g
LT 2
L
gT
2
xa 2 (7)x
a
(22)
Período do Pêndulo Simples
20
MHS Amortecido
Prof. Roberto Claudino
Ocorre quando uma força externa reduz seu
movimento. Ex: Um pendulo tende a perder seu
movimento com o passar do tempo, devido aos
efeitos da força de atrito do ar que “rouba”
energia do pendulo.
Para um sistema massa mola com uma força
amortecedora, como o atrito com a água, temos:
b = Constante de amortecimento.
v = velocidade do bloco.
bvFa Força de amortecimento
KxFm Força exercida pela mola no bloco
(23)
(24)
21
MHS AmortecidoA força resultante no sistema fica:
Substituindo (v) e (a) por suas derivadas:
A solução desta equação fica:
Onde ω’ é a frequência angular que é dada por:
Se b=0 eq.(27) se torna eq. (1).
A energia
makxbv
)cos()( '2/ textx mbt
m
(25)
(26)0²
² kx
dt
dxb
dt
xdm
(27)
²4
²'
m
b
m
k (28)
mbt
mekxtE /2
21)( (29)
22
3º Problema: Para um oscilador amortecido
composto de um sistema massa mola fixado num
teto e amortecido por uma palheta que fixada no
bloco, mergulha em um recipiente de água a qual
causa resistência ao movimento. Sendo m =
250g, k = 85 N/m e b = 70 g/s.
(a) Qual o período do movimento?
(b) Qual é o tempo necessário para que a
amplitude das oscilações amortecidas se reduza
à metade do valor inicial?
(c) Quanto tempo é necessário para que a
energia mecânica se reduza à metade do valor
inicial?Prof. Roberto Claudino
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Oscilações Forçadas e Ressonância
Prof. Roberto Claudino
Ocorre quando uma força externa aumenta seu
movimento. Ex: Uma criança no balanço sem que
ninguém o empurre, constitui uma oscilação livre.
Porém se alguém o empurra temos uma
oscilação forçada.
A ressonância ocorre quando a frequência
angular natural (ω) coincide com a frequência
angular da força externa (ωe). (ω=ωe). Dando
valores máximos para a velocidade e a
amplitude.
Efeitos da ressonância.
)cos()( txtx em (29)
Efeito do vento na estrutura de uma ponte incorretamente projetada.
Ponte de Tacoma (1940)
Simulação computacional do efeito dovento na estrutura de uma ponte.
Resumo das
equações
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