conjuntos númericos & intervalos reais
Post on 14-Jun-2015
15.033 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Conjuntos Numéricos
Colégio Ideia
Professor: Francisco Carlos
1º Ano do Ensino Médio
Os conjuntos numéricos estão diretamente associados ao desenvolvimento científico da historia da humanidade. Com o tempo, novos conjuntos tiveram que ser criados para resolver os problemas que gradativamente surgindo na historia do homem.
Quando comparamos uma grandeza e uma unidade obtemos um número. Se a grandeza é discreta, a comparação é uma contagem e o resultado, um número natural. Se a grandeza é continua, a comparação é uma medição e o resultado é um número real.
Conjuntos Numéricos
I. Exemplos.: 1. Sobe para 15 o número de homicídios em Jequié nesses
três primeiros meses. 2. A maior velocidade média já alcançada por um carro de
Fórmula 1, foi alcançada pelo piloto brasileiro Rubens Barrichello, nos treinos para o GP de Monza de 2004. A velocidade alcançada foi de 260,395 km/h.
Números NaturaisDeus criou os números naturais. O resto é obra dos homens. Leopold Kronecker (matemático alemão)
Entre os primeiros problemas matemáticos da raça humana estavam os problemas de contagem. Como contar (e administrar ) o número de animais?.
(Associava um animal a cada pedra)
Chama-se conjunto dos números naturais (N) o conjunto formado pelos números 0, 1,2, 3... .
Características:1. Qualquer número natural possui um único sucessor. temos ;2. Sequências e subconjuntos dos números naturais; (Polêmica)3. Todo numero natural pode associado a um ponto na reta numérica; 4. O zero é o único número natural que não possui antecessor;
Cálculo significa pedra
Propriedades
[A.1] Associativa da (+)
[A.2] Comutativa da (+)
[A.3] Elemento Neutro da (+)
[A.f] Fechamento da ()
As propriedades da matemática precisam ser
estudadas com o objetivo de facilitar o cálculo.
Sejam são validas as seguintes propriedades:
[M.1] Associativa da ()
[M.2] Comutativa da ()
[M.3] Elemento Neutro da ()
[M.f] Fechamento da ()
[D] Distributiva da multiplicação relativamente a adição:
Reflexão:
Números Inteiros Os número inteiros (simbolizado por Z de Zahl - número em alemão) representam uma outra evolução na matemática. Como trabalhar com conceitos como dividas e prejuízos? Como representar as temperaturas a baixo de zero? Tais questões só são possíveis dentro do campo dos inteiros.
Subconjuntos de (Não negativos) (Não positivos) (Inteiros não nulos)
Caracteristicas dos 1. Todo numero natural pode associado a um ponto na reta numérica;
2. Há uma relação de simetria em relação ao zero. (Oposto & Módulo)
Ainda temos:
ℕ⊂ℤ
Operações em • Em são definidas também as operações de adição e
multiplicação que apresentam, além de [A.1], [A.2], [A.3], [M.1], [M.2], [M.3] e [D], a propriedade:
[A.4] simétrico ou oposto para a adição existe tal que
Devido a esta propriedade, podemos definir em a operação de subtração, estabelecendo que
Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro. Daí a necessidade de ampliar .
Exercitando...
Números Racionais
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escrito na forma da razão com e , que indicamos por:
• Subconjuntos de
ℕ⊂ℤ⊂ℚ
Também o conjunto apresenta alguns subconjuntos notáveis:
• A reta numérica dos racionais
Multiplicação e Divisão por 10, 100, 1000...
Na prática, para multiplicar um número na forma decimal por 10, 100, 1000, ... ou vice-versa, deslocamos a vírgula para a direita, respectivamente, uma, duas, três, ... casas decimais.
Na prática, para dividir um número na forma decimal por 10, 100, 1000, ..., deslocamos a vírgulapara a esquerda, respectivamente, uma, duas, três, ... casas decimais.
Operações em • No conjunto são definidas três operações: a adição: a subtração: a multiplicação: • E em temos: a divisão:
Números Racionais na forma decimal
𝑎𝑏
Dizima Periódica
Simples Composta
Decimal Exato
• Dizima Periódica SimplesÉ quando analisamos a parte decimal (parte depois da vírgula) e observamos que antes do período não aparece nenhum número diferente dele. Veja os exemplos:
a) 0,4444... b) C) -1,333...
Equação x método prático
Mas 0,999... = 1 !?
• Dizima Periódica CompostaÉ quando analisamos a parte decimal (parte depois da vírgula) e observamos que antes do período aparece um número que é diferente dele. Veja os exemplos: a) 4,27777 b) 0,25323232... C) -1,
Equação Método Prático
Exercitando.....1º) (PUC – MG) O valor exato de é:
a) b) c) d) e) 1
2º) (UFPE) Seja com inteiros primos entre si, a fração geratriz da dizima periódica Indique a soma dos algarismos de
b) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
3º) (Cesgranrio – RJ) Se é a fração irredutível equivalente à dizima periódica 0,3232..., então vale:
Observações
1. Entre dois números racionais diferentes, sempre existe outro número racional.
2. Mas mesmo possuindo uma infinidade de números racionais entre dois números consecutivos ainda não completamos a reta numérica.
Qual o valor de d?
Números IrracionaisExistem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Por exemplo, o numeral decimal 0,1010010001... (em que o número de algarismos “0” intercalados entre os algarismos 1 vai crescendo) é não periódico. Ele representa um número não racional. Ele representa um número irracional. E estes números não podem ser representados através de uma razão entre dois inteiros e, exatamente por isso, formam um conjunto a parte. Os irracionais possuem uma parte decimal não periódica. Exemplos:
Obs.: Qualquer raiz não exata é um número irracional.
Un regalo de Dios (A razão Aurea e a historia)
Imaginação e a Matemática• De quantas maneiras você pode dividir o segmento
abaixo?
Há muitas formas mais apenas uma posição que o ponto M pode ocupar e dividir o segmento em dois pontos proporcionais tal que:
𝑎 𝑏
DemonstraçõesSegundo o dicionário temos:
Prove que
1. Suponhamos que a fração irredutível seja tal que ;
2. é par é par;
3. Fazendo com , temos: é par é par, mas isso é um absurdo, pois pela hipótese são primos entre si, ou seja,
Números Reais
I
Desigualdade em R
Uma vez definida essa relação de ordem dos números reais , dizemos que eles estão ordenados.
O que significa ?
!???????
Números Complexos
Tudo começou quando o matemático Geronimo Cardano, publica o seguinte problema:
“Dividir o numero 10 em duas partes, de modo que seu produto seja 40”.
Mas eles não conheciam estes números e estes eram chamados de números: sem significado, místicos, imaginários, complexos. E Cardano ficou por ai, não dando significado a estas expressões, pondo de lado a “tortura mental” envolvida, mas, teve o mérito de ter sido o primeiro a considerá-las, até por que neste tempo os números negativos eram evitados.
• A partir disso é possível derrubar a ideia errada de os números complexos surgiram com as equações de 2º grau. Informação esta que muitos livros didáticos traz como verdade. Só com Rafael Bombelli que volta-se a discutir sobre esses números aplicado a fórmula de Cardano para resolução de equações de 3º grau do tipo .
Contudo, apenas em 1801 quando Friederich Gauss (1777-1855) utiliza o símbolo , criado por Euler e, após seu uso, esse símbolo se tornou amplamente aceito. Em 1831, Gauss fez um estudo sobre representação geométrica dos números complexos e em 1832 introduziu a expressão número complexo. Contudo, o maior desenvolvimento dos números complexos se dá em outras áreas.E assim todo número da forma será e escrito como onde De forma geral, um número complexo é um número que pode ser escrito na forma:.
Parte real x Parte Imaginaria
Gauss e uma representação geométricaOs números reais estão
associados a pontos de uma reta, já os números complexos estão associados a pontos do
plano cartesiano. E em virtude disso não podemos comparar números complexos, podemos
apenas localizá-los.
Operações com números complexos
• AdiçãoDados os números complexos e então , com .
• SubtraçãoDados os números complexos e então , com .
• MultiplicaçãoDados os números complexos e então , com .
• Conjugado de um número complexoSeja então o conjugado de será o numero complexo .
• Divisão O quociente entre dois números complexos, com é dado por.
As potências de
Intervalos Reais
Obs.: Como intervalos são subconjuntos de é possível fazer as operações de intersecção, união, diferença e complementar com eles.
Exercitando....
Nota: A classificação do zero como um número natural é polêmica.
Classificaremos o zero como Natural por três motivos:
1. É a classificação mais utilizada nos vestibulares e concursos públicos
2. Ser o elemento neutro da Adição no conjunto dos naturais
3. Em teoria dos conjuntos já estudamos que o Vazio esta contido em
qualquer conjunto. O zero estaria associado ao conjunto vazio dentro do
conjunto dos naturais.
Geratriz da dizima periódica composta
Referências BibliográficasLivrosDante, Luiz Roberto. Projeto Voaz Matemática. 1. ed – São Paulo; Ática.Giovanni, José Ruy. Matemática: uma nova abordagem – nova edição, vol 1 – São Paulo: FTD, 2010.Iezzi, Gelson [et.al]. Matemática: vol único – 4. ed – São Paulo: Atual.
Siteshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_recordes_da_F%C3%B3rmula_1 www.youtube.com/watch?v=FL6WQG6Z5tQ www.juniormascote.com.br/2013/03/13/assassinato-em-jequie-e-apuarema/ www.monalisa.revelado.com.br/2008/07/retngulo-aureo.htmlwww.matematicamuitofacil.com/dizimasperiodicas.html
top related