conjuntos exercícios resolvidos
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8/13/2019 Conjuntos Exerccios Resolvidos
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Semi-Extensivo Matemtica A1
1
A
ab
cd
e
AULA 01
CONJUNTOS: DEFINIES,PROPRIEDADES e OPERAES
CONCEITOS PRIMITIVOS
O conceito de conjunto PRIMITIVO, ou seja, NODEFINIDO. Tudo que nos d a idia de coleo ouagrupamentos pode ser exemplificado como um conjunto.Todo conjunto tem elementos: uma coleo de CDs umconjunto, um CD qualquer dessa coleo um elementodesse conjunto.
NOTAO DE CONJUNTOS:
Pela designao de seus elementos:
A = { 1,2,3,4,5}B = { a,b,c,d,}
Observe que para designar um conjunto, normalmenteutilizamos uma letra maiscula de nosso alfabeto, j quandoa letra representar um elemento, esta dever ser minscula.
Por uma propriedade caracterstica de seus elementos:
A = { x / x vogal } = { a , e , i , o , u }B = { x / x nmero primo} = { 2, 3, 5, 7, 11, ... }
Por um diagrama:
Relaes de Pertinncia:
Considere o conjunto A e um elemento x:
Se x um elemento de um conjunto A, ento:x A (l-se: x pertence ao conjunto A).
Se x no um elemento do conjunto A, ento:x A (l-se: x no pertence ao conjunto A).
Subconjunto e relao de incluso:
Sejam A e B dois conjuntos tais que o nmero deelementos do conjunto A menor que o nmero deelementos do conjunto B. Se todo elemento de A tambmelemento de B, dizemos que A um subconjunto de B eindicamos por:
A B (l-se: A est contido em B) ouB A (l-se: B contm A).
Caso existir pelo menos um elemento de A que no elemento de B dizemos que A no subconjunto de B, eindicamos por:
A B (l-se: A no est contido em B) ouB A (l-se: B no contm A)
Quando um conjunto no possuir elemento algum conhecido como conjunto vazio e representado por:
{A = =
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. O conjuntovazio subconjunto de A, de B e de qualquer outro conjunto.
A; B
Todo e qualquer conjunto est contido (ou contm) elemesmo:
A A A A ou B B B B
Conjunto das partes de um conjunto:
Seja um conjunto A com k elementos, o conjunto daspartes de A o conjunto formado por todos os subconjuntosde A, ou seja:
P(A) = { X / X A }
Igualdade de Conjuntos:
Sejam dois conjuntos A e B. Podemos afirmar que A igual a B (A = B) se, e somente se, A subconjunto de B e B subconjunto de A, ou seja:
A = B A B e B A
OPERAES COM CONJUNTOS:
Reunio ou Unio:Dados dois conjuntos A e B, define-se a unio de A e B
(A B) como sendo o conjunto formado pelos elementos deA ou de B, ou seja:
A B = { x / x A ou x B }
Pelo mtodo dos diagramas:
Interseco:Dados dois conjuntos A e B, define-se a interseco de
A e B (A B) como sendo o conjunto formado peloselementos de A e de B,ou seja :
A B = { x / x A e x B }
Pelo mtodo dos diagramas:
Observao: Quando A B = dizemos que os conjuntosA e B so disjuntos.
Subtrao de conjuntos:Dados dois conjuntos A e B, define-se a diferena de A
e B (A B), como o conjunto formado pelos elementos de Aque no pertencem a B, ou seja:
A B = { x / x A e x B }
Pelo mtodo dos diagramas:
Observao: Se B A, a diferena A B denomina-se
complementar de B em relao a A e indica-se por BAC ou B .
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8/13/2019 Conjuntos Exerccios Resolvidos
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Semi-Extensivo Matemtica A1
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A B
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5
4 6
2
3
1
8
20
30
10130
140
140220
M
P
F
Nmero De Elementos De Um Conjunto Fini to
Seja A um conjunto com um nmero finito deelementos, indica-se por ( )An o nmero de elementos deA .
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Valem asseguintes propriedades:
( ) ( ) ( )BAnAnBAn = ( ) ( ) ( ) ( )BAnBnAnBAn +=
( ) ( )[ ] k2APnkAn == Lembre-se de que P(A), o conjunto das partes de A.
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1) Considerando cada uma das seguin tes sentenas:
1) {2, 3} {2, 3}2) {2, 5}3) 3 {3, 4, 5}4) {2, 4, 6}
5) {4} { }6) 0
podemos afirmar que:a) 2, 3, 5 e 6 so verdadeiras.b) 1, 3, 4 e 5 so verdadeiras.c) 3, 4, 5 e 6 so verdadeiras.d) todas so verdadeiras.e) todas so falsas.
Resoluo:
Analisando as proposies:1) {2, 3} {2, 3} (verdadeira). Todo conjunto est contido
nele mesmo.
2) {2, 5} (falsa). Como est sendo utilizada umarelao de pertinncia ento o smbolo considerado um elemento.
3) 3 {3, 4, 5} (verdadeira). O nmero 3 elemento doconjunto dado.
4) {2, 4, 6} (verdadeira). O conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto.
5) {4} { } (verdadeira). Mesma justificativa daproposio anterior.
6) 0 (falsa). O conjunto vazio no tem nenhumelemento
R: Alternativa b
2) (ACAFE) Suponho que:A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A B = {4, 5}A B = {1, 2, 3},ento o conjunto B :
a) {6, 7, 8}b) {4, 5, 6, 7, 8}c) {1, 2, 3, 4}d) {4, 5}e)
Resoluo:Pelos diagramas:
R: Alternativa b
3) (UDESC) Numa pesquisa de preferncia pelasdisciplinas de: matemtica (M), fsica (F) eportugus (P), feitas aos alunos de um colgio,foram colhidos os seguintes resultados:
Disciplina M F P M eF P e M F e P M,F e P
Alunos 400 300 200 150 50 30 20
Considerando que todos responderam que gostamde pelo menos uma disciplina, podemos dizer queo total de alunos consultados foi de:
a) 900b) 500c) 690d) 140e) 650
Resoluo:Pelos diagramas:
N = 220 + 140 + 140 + 130 + 30 + 20 + 10 = 690
R: Alternativa C
EXERCCIOS DE SALA
1) Sendo { }5,4,3,2,1A = , assinale (V) ou (F) conformeas sentenas sejam VERDADEIRAS ou FALSAS:
a) ( V) A1 b) ( V) A0 c) ( F) A
d) ( F) { } A2 e) ( V) { } A3 f) ( V) { } A4,3,2 g) ( V) { } A6,3,2 / h) ( V) { } A5,4,3,2,1,1,1 =
2) Sejam os conjuntos: { }A 1,0,1,2= ,{ }2B y / y x e x A= = e { }3C w / w y e y B= = .
Determine:a) A B Cb) A B Cc) (A B) (C A)d) n [P(B)] que representa o nmero de elementos das
partes de B.
Resoluo:Determinando os conjuntos:
A = {-1,0,1,2}B = {1,0,4}
C = {1,0,64}Realizando as operaes:A B C = {0,1}
A B C= {-1,0,1,2,4,64}(A - B) (C - A) = {-1,2} {64} =
n [P(B)] = 23= 8
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Semi-Extensivo Matemtica A1
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S = 64 1S = 63.
R: Alternativa d
17) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} eC = {a, c, d, e}, ento o conjunto definido por(A C) (C B) (A B C) :a) { a, b, c, e }
b) { a, b, c, }c) { b, c, d, e }d) { a, b, c, d, e }e)
Resoluo:
{ } { } { }
{ }
Efetuando a operao:
(A - C) ( C - B) (A B C)
b a, e c
a,b,c,e
R: Alternativa a
18) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 6, 9} e B = {3, 6, 9},ento o conjunto complementar de B em A :a) {1, 2, 3}b) {1, 3}c) {1, 2}d) {3, 6, 9}e) {1, 2, 3, 6, 9}
Resoluo:
Pelo diagrama de Venn Euler
Ento: { }ABC A B 1, 2= = R: Alternativa c
19) Um levantamento socioeconmico entre os habitantesde uma cidade revelou que, exatamente:
17% tm casa prpria; 8% tm casa prpria e automvel; 22% tm automvel.
Dessa maneira podemos dizer que o percentual doshabitantes que no tm casa prpria nem automvel de:a) 31%b) 49%c) 57%d) 69%e) 73%
Resoluo:Pelo diagrama de Venn Euler:
O percentual de habitantes que no possui casa prpria nemautomvel de: 100 ( 9 + 8 +14) = 69%
R: Alternativa d.
20) Com o objetivo de analisar o consumo de trs marcasA, B, e C de um mesmo produto, fezse umapesquisa em que foram consultadas 1000 pessoas. Oresultado da pesquisa encontrase na tabela abaixo:
Marca A B C A e B A e C B e C A,B e Cnmerode
estudantes
400
450
520 100 200 300 60
Analisando estes resultados, qual o nmero depessoas que NO consomem nenhuma das marcas?
Resoluo:Pelo diagrama de Venn Euler:
O total de pessoas que consome pelo menos uma das trsmarcas : 160+40+60+140+240+80+110 = 830, logo, onmero de pessoas que no consome nenhum dos trs
produtos de: 1000 830 = 170
R: 170 pessoas no consomem nenhuma das trsmarcas
21) Em uma pesquisa de mercado sobre uso de novosartigos de consumo, obteve-se a seguinte
amostragem de dados:Artigo deconsumo
A B C A e B B e CNenhum
dos artigosNmero derespostaspositivas
400 1200 900 200 500 200
Foram consultadas m pessoas, verificando-se que npessoas NO utilizam o artigo A e p pessoas.SOMENTE utilizam artigo B. sabendo que os usuriosde A no so usurios de C, os valores para m, n e pso, respectivamente:a) 2000, 1800 e 1200b) 2000, 1600 e 500c) 2700, 1600 e 500d) 2700, 1800 e 1200
e) 3400, 1600 e 1200Resoluo:
Pelo diagrama de Venn Euler:
Encontrando os valores de m, n e p:m = 200+200+500+500+400+200 = 2000
n = 500+500+400+200= 1600p = 500
R: Alternativa b
200
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Semi-Extensivo Matemtica A1
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22) Numa turma de alunos, existem 35 rapazes (queusam cala jeans ou no), 18 pessoas que usamcala jeans, 15 moas que no usam cala jeans e 7rapazes que usam cala jeans. O nmero deestudantes que so rapazes ou usam cala jeans :
a) 42b) 46c) 50
d) 54e) 61
Resoluo:
Esse estilo de problema pode ser facilmente resolvido com oauxlio de uma tabela:
Rapazes moas Totalusam jeans 7 11 18
no usam jeans 28 15 43Total 35 26 61
O nmero de estudantes que so rapazes ou usam calas
jeans de: 35 + 11 = 46R: Alternativa b
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