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CircuitosCircuitos em Corrente em Corrente AlternadaAlternada

Cursos de Engenharia Mecânica Energia Cursos de Engenharia Mecânica Energia e Automóvel e Automóvel

2003/20042003/2004

Dulce Costa dcosta@est.ips.ptGabinete D311-B

2

PorquePorque é é queque se se utilizautilizaCorrenteCorrente AlternadaAlternada (CA) (CA) emem vezvez de de CorrenteCorrenteContínuaContínua (CC)?(CC)?

Corrente Alternada

3

Algumas Vantagens1.1. A energia eléctrica é mais fácil de gerar, A energia eléctrica é mais fácil de gerar, com tensões elevadas em grandes geradores com tensões elevadas em grandes geradores de c.a., porque não há colector e as espiras de c.a., porque não há colector e as espiras do induzido podem estar fixas, deslocandodo induzido podem estar fixas, deslocando--se apenas os pólos magnéticos suportes do se apenas os pólos magnéticos suportes do campo magnético indutor.campo magnético indutor.2.2. Há maior facilidade de transmitir à Há maior facilidade de transmitir à distância e fazer a distribuição local da EE, distância e fazer a distribuição local da EE, porque graças aos transformadores, obtêmporque graças aos transformadores, obtêm--se em qualquer ponto da rede as tensões se em qualquer ponto da rede as tensões mais convenientes.mais convenientes.

4

Algumas Vantagens3.3. As máquinas eléctricas em c.a. são mais As máquinas eléctricas em c.a. são mais fiáveis e duradouras, para potências iguais, fiáveis e duradouras, para potências iguais, devido à ausência de colectores e devido à ausência de colectores e enrolamentos em movimento.enrolamentos em movimento.4.4. Os motores de c.a. são mais notavelmente Os motores de c.a. são mais notavelmente mais robustos, simples e baratos. Estes mais robustos, simples e baratos. Estes motores são adequados para a grande parte motores são adequados para a grande parte dos accionamentos industriais.dos accionamentos industriais.

5

Gerador de C.A.

Na figura temos:• um campo

magnético uniforme• uma espira em

rotação, velocidade angular ω (rad/s)

6

Gerador de C.A.

tmm ωφαφφ coscos ==

O fluxo magnético φabraçado em cada instante pela espira é:

7

f.e.m. Sinusoidal

α (rad) – ângulo descrito a partir do plano (y, z)t (s) – tempo contado a partir do instante α=0

8

f.e.m. Sinusoidal

tsendt

tddtdte m

m ωωφωφφ=−=−=

)cos()(

Pela Lei de Faraday a força electromotrizinduzida em cada instante na bobine é:

tsenEte m ω=)(

Em cresce linearmente com o fluxo φm e com a velocidade angular ω: Em = ω φm (Volts)

9

Geração de uma f.e.m. Sinusoidal

10

Geração de uma f.e.m. Sinusoidal

11

Geração de uma f.e.m. Sinusoidal

• 0º os condutores laterais movem-se em paralelo com as linhas de força; não cortam as linhas de força do campo magnético. Não existe uma tensão induzida na espira.

• a espira roda (no sentido anti-horário), os condutores laterais irão cortar as linhas de força. Induz-se uma tensão nos condutores laterais. A tensão aumenta.

• 90° a espira está horizontal com as linhas de força do campo magnético. Os condutores laterais movem-se perpendicularmente com as linhas de força (cortando assim o maior número possível das linhas de força do campo magnético). A tensão atinge o valor máximo.

12

Geração de uma f.e.m. Sinusoidal• a espira continua a rodar, a tensão induzida

diminui.

• 180° a espira encontra-se novamente na posição vertical. A tensão atinge o valor zero.

• 180º-360° Continuando a rotação da espira, verifica-se que novamente é induzida uma tensão na espira, mas de sentido contrário. Em 270º atinge o valor negativo máximo.

13

Geração de uma f.e.m. Sinusoidal

14

Tensão Sinusoidal

tsenUtu m ω=)(Entre os terminais da espira aparece uma tensão sinusoidal:

A rotação da espira num campo magnético uniforme origina uma f.e.m. sinusoidal: tsenE mm ωωφ=

15

Tensão Sinusoidal

tsenVtv m ω=)(

tsenUtu m ω=)(

Notação:A tensão tanto aparece com a notação v como u. Podem escolher a que vos for mais familiar.

16

Corrente Sinusoidal

tsenIti m ω=)(

Se os terminais estiverem ligados a uma resistência R, esta será percorrida por uma corrente cuja intensidade será em cada instante dada pela lei de Ohm:

tsenR

URtuti m ω==)()(

17

Circuito Resistivo CAAplicando a lei de Kirchhoff’s à

malha fechada:0)()( =− Rtitu

Um sin ωttUtu m ωsin)( =

tItR

URtuti m

m ωω sinsin)()( ===

A tensão e a correnteestão em fase, anulam-se e atingem os valoresmáximos e mínimossimultaneamente

18

Amplitude, período e pulsação dasgrandezas sinusoidais

tsenXtx m ω=)(

Xm – amplitude da funçãoT – período (s)

Uma função sinusoidal tem valores iguais periodicamente com o período T(s): x(t) = x(t+T)Diz-se que durante o período T se descreveu um ciclo completo.

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Amplitude, período e pulsação dasgrandezas sinusoidais

tsenXtx m ω=)( O número de ciclos descritos em cada segundo mede a frequência das grandezas sinusoidais.

)( 1 HzT

f =

O ciclo magnético da f.e.m. corresponde a uma rotação completa da espira num campo magnético criado por dois pólos. Durante um ciclo a espira descreve um ângulo de 2πradianos. A velocidade angular a que a espira roda serádada por:

fπω 2=

20

Valor eficaz das grandezas sinusoidais

tsenXtx m ω=)( Designa-se por valor eficaz de uma grandeza periodica x(t), a raiz quadrada do valor médio, num intervalo de tempo t1, do quadrado dos valores instantâneos da grandeza periódica.

[ ]2/1

0

2

1

1 )(1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ∫t

ef dttxt

X

No caso das grandezas eléctricas periódicas toma-se como t1, o período T.É habitual omitir-se o índice “ef”: Xef=X.

21

Valor eficaz de uma corrente sinusoidal

[ ]

[ ]

[ ]

2

2sin21

21

21

22cos1

21

sin1

sin1

)(1

22

0

222

0

22

0

222

0

22

2/1

0

2

m

mm

m

m

II

tI

TT

IT

I

dttIT

I

dttIT

I

dttIT

I

dttiT

I

ef

Tef

T

ef

T

ef

T

mef

T

ef

=⇔

×+×=⇔

−=⇔

=⇔

=⇔

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

∫

∫

∫

∫

ωω

ω

ω

ω

22

Valor eficaz de uma corrente sinusoidal

tsenIti m ω=)( O valor eficaz da corrente eléctrica i(t), mede a intensidade de uma corrente contínua que durante o mesmo tempo T, dissiparia em calor numa resistência R a mesma energia eléctrica que é degradada pela corrente peródica i(t)

2m

efII =

i(t)= Im sin ωtIm - amplitude da tensão (V)ω - frequencia angular (rad/s)f = ω/2π - frequencia (Hz)T = 1/f = 2π/ω periodo (s)

23

Valor eficaz de uma tensão sinusoidal

u(t)= Um sin ωt

Um - amplitude da tensão (V)ω - frequencia angular (rad/s)f = ω/2π - frequência (Hz)T = 1/f = 2π/ω periodo (s)

2m

efUU =

24

Circuito Indutivo PuroUma corrente eléctrica de intensidade i, que

percorre um condutor (A, B na figura) criaum fluxo magnético φ que envolve o condutor.

O fluxo é proporcional à intensidade da corrente φ=L∗i.L aparece como um coeficiente de proporcionalidade.Pela Lei de Faraday:

dtdiL

dtde −=−=φ

dtdieL −=

A grandeza L designa-se por coeficiente de auto-indução e é a medida do fluxomagnético induzido pela corrente quepercorre o circuito. Mede-se em henry (H).

25

Circuito Indutivo PuroA figura representa um circuito em que uma

tensão sinusoidal, com valor instantâneo u(t) é aplicado a uma bobine, L, de resistência nula. A bobine é percorrida por uma corrente de intensidade variável.

Io sin ωt

)2

()(

cos)()()(

)()()()(

πωω

ωωω

+=

⇔=⇔=

⇔=⇔−

tsenLItu

tLItudt

tsenIdLtu

dttdiLtu

dttdiLtu

m

mm

A corrente que percorre a bobine cria um fluxo variável φ e a variação deste fluxo induz na própria bobine uma f.e.m., e(t). Pela Lei de Kirchoff, percorrendo a malha fechada: u(t)+e(t)=0.

26

Circuito Indutivo Puro

Verifica-se que a tensão u(t) está em avanço em relação à corrente, um ângulo de π/2 rad (90º).

Diz-se que u(t) e i(t) não estão em fase, e estão desfasados de π/2 rad.

Im sin ωt)

2()( πω += tsenUtu m

(A)

)( (V)

L

mmm

L

Lmmm

XU

LUI

LXXILIU

==

Ω===

ω

ωω

27

Circuito Capacitivo PuroA carga eléctrica q de um condensador é,

em cada instante directamenteproporcional à tensão entre oscondutores que constituem o condensador: q=Cu(t)

C aparece como um coeficiente de proporcionalidade.Designa-se por capacidade e mede-se em farad (F)

A intensidade de corrente i(t) em qualquer secção do condutor, define-se pela quantidade de electricidadeque em cada instante atravessa a secção.

dtdqti =)(

28

Circuito Capacitivo Puro

)cos()(

)()(1)(

)()()(

tC

Itu

dttsenCIdtti

Ctu

dtudC

dtCud

dtdqti

m

m

ωω

ω

−=

⇔==

⇔===

∫∫

)2

()( πωω

−= tsenC

Itu m

29

Circuito Capacitivo Puro

)2

()( πω −= tsenUtu m

(A)

)( 1

(V)

C

mmm

c

cmm

m

XUCUI

CX

XIC

IU

==

Ω=

==

ω

ω

ω

Verifica-se que a tensão u(t) está em atraso em relação à corrente, um ângulo de π/2 rad (90º).

Diz-se que u(t) e i(t) não estão em fase, e estão desfasados de π/2 rad.

30

O comportamento das bobines e condensadores emcircuitos eléctricos de C.A. pode ser descritoatravés das suas reactâncias, que são dependentesda frequência e medidas em ohms (Ω).

Reactância Indutiva:

CX C ω

1=Reactancia Capacitiva :

LX L ω=

A Lei de Ohm pode ser utilizada com as reactâncias substitutindo-a por R nas expressões que relacionam osvalores da tensão e corrente

IXV =

XVI =

Reactâncias Indutivas e Capacitivas

IVX =

31

Representação Vectorial de Grandezas Sinusoidais

Na figura:OM- segmento que faz o ângulo ϕ

com o eixo Ox, na origem dos tempos

ϕ - fase na origem dos tempos

a(t)=Amsin (ωt+ϕ)

A sinusoide pode ser obtida fazendo rodar o segmento OM e tomando as posições do segmento sobre o eixo Oy.

Decorrido o tempo t o segmento roda o tempo ωt, sendo ω=2πf a pulsação da função.

Admitindo essa convenção, o segmento OM, contém a mesma informaçãoque a expressão analítica a(t)=Amsin (ωt+ϕ).

32

Representação Vectorial de Grandezas Sinusoidais

Explicitamente o segmento OM dá-nos a amplitude máximada função, Am, e a fase, ϕ, na origem dos tempos. Implicitamente contém os valores instantâneos da mesmafunção.

Ao segmento OM corresponde o vector A que contém duasinformações, a amplitude e a fase.

Pode simbolizar-se este vector da seguinte forma: A=A,m∠ϕ.

a(t)=Amsin (ωt+ϕ)

33

Circuito RLC Serie - Exemplo

I

L=63,7 mHC=634 µFR=10 Ωf = 50 Hz

Obtenha as expressões para as tensões em cada um dos elementos docircuito, assim como para a tensão total.Represente vectorialmente as tensões.

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Circuito RLC Serie

I0=−−− CLR VVVV

V = Vo sin ωttVtIRIRV RR ωω sinsin ===

)2/sin()2/sin( πωπω +=+== tVtIXIXV LLLL

)2/sin()2/sin( πωπω −=−== tVtIXIXV CCCC

RVIR = LL VIX =CC VIX =Em que:

35

Números complexos

jbaA +=

Equações algébricas do tipo x2=-3, não possuem solução no campo dos números reais.

Podem apenas ser resolvidas com a introdução de umaunidade imaginária, ou operador imaginário: j.

Por definição: j=√-1.A soma de um número real com um número imaginário é

chamado de número complexo.

aAe = R

bA = Im

Qualquer número complexo é completamente caracterizado porum par de números reais.

36

Números complexosRepresentação de números complexos num sistema de

coordenadas cartesianas:

37

Números complexos

Existem quatro formas de representarnúmeros complexos:

1. Forma rectangular ou cartesiana

2. Forma exponencial

3. Forma polar

4. Forma trignométrica

38

Números complexosForma rectangular ou cartesiana: jbaA +=

θθθ jsene j += cosPara representar na forma exponencial utiliza-se a

identidade de Euleur:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+=

==

+=

abarctg

coscos

22 θ

θθ

θθθ

baA

bAsenaA

jAsenAAe j

39

Números complexos

Forma polar:

Forma trignométrica:

θ∠= AA

θθ jAsenAA += cos

40

Fasores

Forma polar:

Forma trignométrica:

θ∠= AA

θθ jAsenAA += cos

41

FasoresSejam: a tensão e correntenum circuito indutivo.

)( e ϕωω −== tsenIitsenVv mm

A tensão e a corrente podem ser escritas de outra forma:

ϕϕ −∠==== − IeIIVeVV jmef

jm

2 e

20

42

Fasores

ϕϕ −∠==== − IeIIVeVV jmef

jm

2 e

20

43

Fasores

! Notar que:

O método fasorial só é aplicável a funções sinusoidais

Os módulos dos fasores, são valores eficazes

Todas as propriedades dos vectores são aplicáveis nosfasores

44

Diagramas FasoriaisAs relações entre as diversas grandezas presentes

num circuito podem ser representadsconvenientemente num diagrama vectorial

Em t = 0: Em t:

45

FasoresResitência Bobine condensador

I

VR

VL

VC

I I

VR

VL – VCV

Adicionando vectores:22 )( CLR VVVV −+=

22 )( CL XXRIV −+=φ

fase de ângulo =ϕ

46

ImpedânciaA resistência e a reactância dos circuitos eléctricos,

podem ser combinadas, de forma a definirem umaimpedancia Z (medida em ohms):

22 )( que em CL XXRZZIV −+==

XL-XC

R

Z

φ

RXX CL −=ϕtan

Se XL = XC , φ = 0and Z = R(Condição de Ressonância)

47

ImpedânciaReparar que a impedância, Z, não depende da tensão

nem da corrente, fica completamente definidadesde que sejam conhecidos R, L, C e ω.

22 )( CL XXRZ −+=

XL-XC

R

Z

φ

RXX CL −=ϕtan

ϕ∠= ZZ

48

Impedância num circuito resistivo puroNum circuito resistivo:

RRZI

UI

UZ

VIIeI

VUUeU

tsenItitsenUtu

j

j

mm

====

∠==

∠==

==

2

0

0

e

)(º0

)(º0

)( e )( ωω

UI

49

Impedância num circuito indutivo puro

Num circuito indutivo:

2 e

2

)(º0

)(2

)( e )2

()(

0

2

πωπ

π

ωπω

π

∠===∠==

∠==

∠==

=+=

LL

j

j

mm

XLjjXZI

UI

UZ

VIIeI

VUUeU

tsenItitsenUtu

U=jIωL

I

50

Impedância num circuito capacitivo puro

Num circuito capacitivo:

21 e

2

)(º0

)(2

)( e )2

()(

0

2

πω

π

π

ωπω

π

−∠==−=−∠==

∠==

−∠==

=−=

−

cc

j

j

mm

XLj

jXZI

UI

UZ

VIIeI

VUUeU

tsenItitsenUtu

U=-jI/ωC

I

51

Impedância num circuito RLC série

Num circuito RLC:

RC

L

CLRZZ

CLjR

IUZ

CLjRIU

CIjILjIRUUUU CLR

ωω

ϕω

ω

ωω

ωω

ωω

ϕ

1

arctg e 1

Ze 1

1

22

j

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⇔−+=++=

I

U

52

Impedância num circuito RLC série

Num circuito RLC:

RC

L

CLRZZ

CLjR

IUZ

CLjRIU

CIjILjIRUUUU CLR

ωω

ϕω

ω

ωω

ωω

ωω

ϕ

1

arctg e 1

Ze 1

1

22

j

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⇔−+=++=

I

U

53

Potência em circuitos CA

Num circuito em corrente alternada os valores da tensão e corrente variam periodicamente com o tempo.

As energias armazenadas nos campos eléctricos e magnéticos associados aos condutores estãoperiodicamente a variar.

As trocas de energia correspondentes não correspondema “consumo” nos receptores.

54

Energia no Campo Eléctrico

Quando se aplica a um condensador de capacidade C uma tensão é-lhe fornecidauma energia We, dada por:

2

21 CuWe =

A energia entregue ao sistema fica armazenadano campo eléctrico.

55

Energia no Campo Magnético

Quando uma corrente eléctricacom intensidade i percorre um condutor origina-se, no espaçoque o envolve, um campo magnético. Nesse campo magnético é armazenada a energia Wm:

2

21 LiWm =

56

Potência Activa e Potência ReactivaNos circuitos em corrente alternada é possível distinguir em cada

instante:

1 - a potência dita “activa”, que corresponde à conversão que se efectuano receptor, da energia eléctrica noutra forma de energia;

2 - a potência, Pc, que corresponde à variação da energia armazenadanos campos eléctricos existentes no receptor e nos dispositivos que o alimentam.

3 - A potência, Pm, que corresponde à variação da energia armazenadanos campos magnéticos existentes no receptor e nos dispositivos queo alimentam

dtduCu

dtdWP e

c ==

dtdiLi

dtdWP m

m ==

2RIPr =

57

Potência Activa e Potência Reactiva

)(2)()(

U2)(

ϕωϕω

ωω

−=−=

==

tIsentsenIti

tsentsenUtu

m

m

44 344 21444 3444 21)()(

2

2 )2cos1(cos)()cos22cos)(

)sincoscos(2)()(2)()()(

tPtP ra

tsenUIsentUItpttsenUIsentsenUItp

ttsentsenUItptsentsenUItitutp

ωϕωϕωωϕωϕ

ϕωϕωωϕωω

−−=⇔−=

⇔−×=⇔−××=×=

58

Potência Activa e Potência Reactiva

A componente Pa oscila emtorno do valor VIcosϕcom frequência angular 2ω, nunca mudando de sinal.

A componente Pr oscila com idêntica frequência, possui um valor médio nuloe um valor máximo e um valor máximo VIsinϕ.

44 344 21444 3444 21)()(

2)2cos1(cos)(tPtP ra

tsenUIsentUItp ωϕωϕ −−=

59

Potência Activa e Potência Reactiva

Podem definir-se as grandezas:

(watts) cos:Activa Potência ϕUIP =

(VAr) sin:Reactiva Potência ϕUIQ =

60

Factor de potência

A grandeza designa-se por factor de potência

cosϕ

A potência activa, P, é o valor médio da potência instantâneae, por conseguinte, corresponde à potência que é efectivamente transferida.

A potência reactiva, Q, é o valor máximo da componenteda potência que oscila entre o gerador e a carga, cujovalor médio é nulo, resultante da variação da energiamagnética ou eléctrica armazenada nos elementosindutivos ou capacitivos, da impedância de carga.

61

Variação da potência com o tipo de cargaO ângulo ϕ pode variar entre -π/2 (carga capacitiva pura) e

π/2 (carga indutiva pura).

A potência activa é sempre positiva, ou nula para circuitoscapacitivos ou indutivos puros.

A potência reactiva pode ser positiva ou negativa. Serápositiva quando a carga for indutiva, ϕ> 0; negativa se a carga for capacitiva ϕ<0; nula se a carga for resistivaϕ=0.

Em linguagem corrente costuma dizer-se que uma cargaindutiva “absorve” potência reactiva e uma cargacapacitiva “gera” potência reactiva.

62

Potência Complexa Aparente

A potência complexa S é definida pelo produto do fasortensão pelo conjugado do fasor corrente:

ϕϕ

ϕβδβδ

UIsenUISUIeUIeIeUeIUS jjjj

j cos

)(

+=

⇔==×== −−∗

QPS j +=

63

Potência Complexa Aparente

O módulo da potência complexa é a potência aparente:

22 QPS +=

QPS j +=

A potência aparente é medida em VA (volt-ampére)

64

Trânsito de Potência Reactiva nas Linhas

As perdas de Joule num circuito são dadas por:

( )2

222

UQPRRIP +

==

Se R for a resistência de uma linha de transmissão quetransmite a potência activa P, sob a tensão U, as perdasna transmissão são fortemente influenciadas pelapotência reactiva, Q.

65

Trânsito de Potência Reactiva nas Linhas

( )2

222

UQPRRIP +

==

Se Q=0; senϕ=0; cosϕ=1 as perdas por efeito de Joule têm o valor mínimo possível.

Qaundo o factor de potência é unitário, o trânsito de energia reactiva é nulo e a transmissão de energia faz-se com perdas mínimas, reduzindo-se também as quedas de tensão.

66

Trânsito de Potência Reactiva nas Linhas

Tendo em conta a figura: tgϕ=Q/P, ou, de outra forma Q=P∗tgϕ. Vemos que a potência reactiva, para umadada potência activa transmitida, cresce linearmentecom tgϕ.

67

Compensação do Factor de Potência

P é proporcional a OA e Q é proporcional a AB.

Se junto da carga se ligar um condensador com capacidadeC, este é percorrido por uma corrente Ic, em avanço 90º relativamente a U.

Neste caso a corrente que percorre o circuito passa a ser I’

68

Compensação do Factor de Potência

No ponto D somam-se as duas correntes

A intensidade I’ que percorre o sistema de transmissão atéà carga, reduziu-se, reduzindo-se assim também a potência reactiva veiculada pelo sistema de transmissão.

cIII +='

69

Circuitos Ressonantes Série

À frequência para a qual XL=XC chama-se frequência de ressonância:

Para esta frequência o circuito comporta-se como um circuito puramente resistivo