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Resistencia de Materiales. Capítulo III. Equilibrio del Sólido Rígido.
Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ing.. Dpto de Ing. Metalúrgica. Alberto Monsalve G. 3-1
CAPÍTULO III
EQUILIBRIO DEL SÓLIDO RÍGIDO
El equilibrio de un sólido rígido se refiere a las condiciones que debe cumplir un
sólido para estar en reposo de traslación y de rotación, o bien, para moverse en
sentido traslacional o rotacional con velocidad constante.
3.1 Equilibrio en dos dimensiones
En dos dimensiones, las ecuaciones se reducen a las siguientes:
0
0
0
A
y
x
M
F
F
3.1.1 Equilibrio de un sólido sometido a dos fuerzas
Para que un sólido rígido sometido a dos fuerzas esté en equilibrio, necesariamente
las dos fuerzas deben tener la misma recta soporte (línea de acción), módulos
iguales y sentidos opuestos.
BA R2
R1
Fa
Fb
Fc
F1
F2
F3
Figura 3.1. Sólido sometido a dos fuerzas.
Para que se cumpla que 0 AM , la línea de acción de 2R
debe pasar por A.
Para que se cumpla que 0 BM , la línea de acción de 1R
debe pasar por B.
Para que se cumpla 0 xF , las componentes de las dos fuerzas deben tener
módulos iguales y sentidos opuestos.
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3.1.2 Equilibrio de un sólido sometido a tres fuerzas.
Para que un cuerpo sometido a tres fuerzas esté en equilibrio, la condición
necesaria es que éstas deben ser concurrentes a un punto o paralelas.
BA
R2
R1
Figura 3.2. Sólido sometido a dos fuerzas.
F1
F2
F3
D
Figura 3.3. Sólido sometido a más de dos fuerzas.
Además la resultante de las fuerzas también debe ser nula.
Cuando las fuerzas son paralelas también se pueden cumplir las condiciones de
equilibrio cumpliendo ciertas condiciones de sentido de las fuerzas y magnitudes
adecuadas para que se anulen tanto la fuerza resultante como el momento.
F1 d1 = F2 d2
la línea de acción de F1 debe pasar también por D para que ninguna fuerza produzca momento respecto de este punto
0 DM
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Articulación
F1
F2
F3
d1
d2
Figura 3.4. Sólido sometido a más de dos fuerzas paralelas.
3.2 Equilibrio en tres dimensiones
En tres dimensiones, el equilibrio de un sólido rígido queda definido por las
siguientes seis ecuaciones:
000 zyx FFF
000 zyx MMM
Estas seis ecuaciones implica tener seis incógnitas que representan en general
reacciones en apoyos y uniones.
3.3 Consideraciones sobre equilibrio
3.3.1 Dos dimensiones
a) Un sólido rígido está estáticamente determinado si se cumple que el número de
fuerzas de ligaduras o incógnitas no es ni mayor ni menor que tres.
Rodillo
Figura 3.5. Sólido estáticamente determinado.
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b) Si un cuerpo no cumple con las condiciones anteriores se dice que está
estáticamente indeterminado. Esto ocurre cuando las tres ecuaciones de la
estática en 2-D no son suficientes o no son satisfechas todas.
c) En el caso de tener un mayor número de incógnitas, éstas no podrán ser
calculadas todas por falta de ecuaciones.
Figura 3.6. Sólido estáticamente indeterminado.
d) Cuando se tienen menos incógnitas, ocurre que una de las igualdades no se
cumplirá con lo que no se satisface la condición necesaria de equilibrio (2D ó
3D). Existen casos particulares en los cuales se puede cumplir la condición de
equilibrio que es cuando las componentes de la ecuación sean nulas.
Figura 3.7. Sólido estáticamente indeterminado.
e) Hay casos en los cuales se tienen tres incógnitas pero no se cumple la condición
de equilibrio. A estos casos se les conoce como cuerpos impropiamente ligados.
Figura 3.8. Sólido impropiamente ligado.
Un sólido está impropiamente ligado cuando sus apoyos, aunque pueden generar
un número suficiente de reacciones, están dispuestos en tal forma que las
reacciones sean paralelas o concurrentes.
Conclusión: Un sólido bidimensional está completamente ligado y las reacciones
en sus apoyos están estáticamente determinadas si y sólo si introducen tres
incógnitas y éstas no son paralelas ni concurrentes.
Articulación Articulación
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3.3.2 Tres dimensiones
Si se tienen más de seis incógnitas se dice que algunas reacciones están
estáticamente indeterminadas.
Si las reacciones introducen menos de seis incógnitas implica que algunas de las
ecuaciones no se satisface en condiciones generales de carga, es decir, el sólido
rígido está “parcialmente ligado”
Problema 3.1: Sabiendo que el módulo de la fuerza vertical P es de 400 N,
determinar la tensión de cable CD y la reacción en B.
A
250 mm
100 mm
P
T
C250 mm
70º
D
B
0 BM
)(5,183025.0º551.0º70 NTsenTsenP
0xF
NRTR xx 3,1500º35cos
)(2,5050º35 NRsenTPR yy
)(1,527 NRB
55º
250
35º
55º
Figura 3.9. Problema 3.1.
BP
T
xR
yR
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Problema 3.2. La escala AB de longitud L y masa m, puede levantarse mediante el
cable BC.
Determinar la tensión T necesaria para despegar el extremo B del suelo y las
reacciones en A.
Hallar también las reacciones en A.
h
A C
L
B
Problema 3.3. El poste está sostenido mediante una rótula en A y dos cables BD y
BE. Despreciando el peso del poste, determinar la tensión de cada cable y la
reacción en A.
Observación. Se trata de un cuerpo impropiamente ligado ya que, si la fuerza se
dirige hacia otra dirección, los cables no sostienen el poste.
A
T
W
yA
xA
Figura 3.10(a). Problema 3.2.
Figura 3.10(b). Problema 3.2.
2
cos2
cos2cos
02
cos
mgT
Lsen
LWT
LsenTL
WM A
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10 m
7 m
6 m
6 m
8.4 kN
6 m
y
C
B
D
A
E
x
z
Figura 3.11(a). Problema 3.3.
Solución:
BEBEBD
BDBDBD
TT
TT
ˆ
ˆ
Figura 3.11(b). Problema 3.3.
A L C
B
xR
yRzR
8.4 kN
BDT
BET
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11
6,
11
7,
11
6ˆ
11
6,
11
7,
11
6ˆ
BE
BD
011
7
11
70
011
6
11
64,80
BEBDyy
BEBDxx
TTRF
TTRF
011
6
11
60 BEBDzz TTRF
0711
67
11
6BEBDAX TTM
0711
67
116104.8 BEBDAzBDBE TTMTTT
0
14
6.3
11
z
y
x
R
kNR
kNR
kNT
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