capítulo 3
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Capítulo 3
3.1 Modelo Molecular de um Gás Ideal 3.2 Calor Específico Molar de um Gás Ideal3.3 Processos Adiabáticos para um Gás Ideal
Ludwing Boltzmann
(1844-1906)
2
3.1 Modelo Molecular de um Gás Ideal
Dum ponto de vista macroscópico, a representação matemática do modelo do gás ideal é a lei do gás ideal:
nRTPV As propriedades macroscópicas podem ser compreendidas com base no que está acontecendo na escala atómica
Examinaremos também a lei do gás ideal em termos do comportamento das moléculas individuais que formam o gás
Modelo estrutural de um gás mantido num recipiente
• O número de moléculas no gás é muito grande e a separação média entre as moléculas é grande quando comparada com suas dimensões
• As moléculas obedecem às leis do movimento de Newton, mas como um todo movem-se aleatoriamente
• As moléculas interagem somente por meio de forças de curto alcance durante colisões elásticas
• As moléculas colidem elasticamente com as paredes do recipiente
• O gás é puro, o que significa que todas as suas partículas são idênticas
3
xiv
dt
2
xixixixi mvmvmvp 2)(
d
mv
vd
mv
t
mvF xi
xi
xixii
2
/2
22
d
mv
d
mvFF xixii
22
parede a sobre i,
xip momento linear final – momento linear inicial
Interpretação Molecular da Pressão de um Gás Ideal
A componente pxi do momento da molécula é mvxi antes da colisão, a variação no momento da molécula na direcção x é
O intervalo de tempo entre duas colisões com a mesma parede
Pelo Teorema impulso – momento: xixi mvptF 2i
Uma das moléculas de um gás ideal, de massa m move -se numa caixa cúbica de lado d, com uma velocidade vxi na direcção do eixo x (i refere-se a partícula i)
Onde Fi é a força da parede sobre a molécula
Pela terceira lei de Newton a componente da força que a molécula sobre a parede é
4
N
ixi
N
i
xi vd
m
d
mvF
1
2
1
2
Considerando as N moléculas do gás ideal no recipiente de volume V
A força média total F exercida sobre a parede do recipiente pelo gás
A força constante, F, sobre a parede devido às colisões moleculares tem o valor
N
ixivd
mF
1
2
N
vv
N
ixi
x
1
2
2 2xvNd
mF
Pelo teorema de Pitágoras:2222ziyixii vvvv
22 3 xvv
A força total sobre a parede é
d
vmNvN
d
mF
22
33
Obtemos a pressão exercida sobre a parede, dividindo F pela área da parede (A=d2)
2
3
1vm
V
NP
A pressão é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume e à
energia cinética translacional média das moléculas 2
2
1vm
e
5
Interpretação Molecular da Temperatura de um Gás Ideal
TNkPV B
RTN
NnRTPV
A
2310022.6 ANonde Número de Avogadro
J/K 1038.1 23
AB
N
Rk Constante de Boltzmann
TNkVvmV
NB
2
2
1
3
2
2
3
1vm
V
NP Substituindo obtemos
2
B 2
1
3
2vm
kT
A temperatura de um gás é uma medida directa da energia cinética translacional média das moléculas
6
Rescrevendo a equação anterior de outra forma Tkvm B2
2
3
2
1
é a energia translacional média por molécula TkB2
3
22
3
1vvx como Tkvm x B
2
2
1
2
1
Teorema de equipartição de energia
A energia de um sistema em equilíbrio térmico está igualmente dividida entre todos os graus de liberdade
“Graus de liberdade” refere-se ao número de maneiras independentes pelas quais uma molécula pode ter energia.
No caso do gás ideal cada molécula têm 3 graus de liberdade uma vez que se movimentam na direcção dos eixos x,y e z
TNvmNK B2
totalnaltranslacio 2
3
2
1
A energia cinética translacional total de N moléculas de gás é simplesmente N vezes a energia translacional média por molécula = Energia interna de um gás monoatómico
UnRTK 2
3 totalnaltranslacio
7
3.2 Capacidade Calorífica Molar de um Gás Ideal
A quantidade de gás ideal é medida pelo número de moles n, em vez da massa m
if TTT
O gás é submetido a diversos processos
fi 'fi ''fi
com a mesma variação de temperatura
Umesmo
Pelo primeiro princípio da termodinâmica
WUQ
W para cada trajectória é diferente Q diferente para cada trajectória
Logo a energia necessária para produzir cada variação de temperatura não tem um valor único
(área sob a curva diferente)
8
Essa dificuldade é resolvida definindo-se as capacidades caloríficas para dois processos que ocorrem com mais frequência: o processo isocórico e o processo isobárico
TmcQ Escrevemos em moles
TnCQ VVolume constante
TnCQ PPressão constante
fi Processo isocórico
Processo isobárico 'fi
CV é a capacidade calorífica molar a volume constante
CP é a capacidade calorífica molar a pressão constante
Modificamos a equação
9
No processo isocórico, V = constante 0PdVW
TnRUQ 2
3Do primeiro princípio da termodinâmica
nRnCV 2
3
KJ/mol 5.122
3 RCV para todos os gases monoatómicos
TnCU V
• válida para qualquer processo no qual há variação de temperatura , não apenas para um processo isocórico
• verdade também para gases monoatómicos e poliatómicos
dT
dU
nCV
1Para variações infinitesimais
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