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Cap. 39 – Mais ondas de matéria

•Ondas em cordas e ondas de matéria;•Energia de um elétron confinado (1D);

•Mudanças de energia;•Função de onda de um elétron confinado (1D);•Elétron em poço finito;

•Outras armadilhas;•Elétron confinado (2D e 3D);

•O átomo de hidrogênio;•Átomo de Bohr;•Eq. de Schrödinger.

Problema

• Início de séc. XX:– Estrutura dos átomos?

– Como átomos emitiam ou absorviam luz?

– Por que os átomos são estáveis?

– Ligações químicas?

• 1926: Física Quântica– Partículas que formam o átomo se comportam como onda eq.

Schrödinger

Ondas em cordas e ondas de matéria

• Ondas em cordas de comprimento “infinito”– Onda progressiva de qualquer

comprimento de onda / frequência

• Ondas em cordas de comprimento limitado e extremidades fixas– Ondas estacionárias de

comprimentos de onda quantizados

“O confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos com energias discretas. A onda pode ter apenas uma destas energias.”

Energia de um elétron confinado

• Armadilha unidimensional– Energia potencial: U = – e.V– O potencial associado à esta armadilha:

poço de energia potencial infinitamente profundo

– A partícula fica confinada entre x = 0 e x = L

n = 1 estado fundamentaln > 1 estados excitados

Applet

Mudanças de energia

• Mudanças de energia– O elétron só passará para outro estado se

receber ou liberar a diferença de energia entre os níveis

• Transição para maiores energias– Absorção de fóton

– O elétron só executará um salto quântico se o fóton possuir a energia E

• Transição para menores energias– Emissão de fótons

Funções de onda de um elétron confinado

• Resolvendo eq. de Schrödinger para 0 < x < L:

• Probabilidade de detecção:

Applet

Princípio da correspondência: “Para grandes valores dos números quânticos, os resultados da física quântica tendem para os resultados da física clássica.”

Funções de onda de um elétron confinado

• NORMALIZAÇÃO:• A partícula deve estar em algum lugar do espaço. Logo:

• Energia de ponto zero:– Menor valor de energia é para n = 1. Assim:

“Em sistemas confinados não existem estados de energia zero.”

Um elétron em um poço finito

• Poço infinito: idealização• Poço finito: mais realista

• Equação de Schrödinger:

Applet

Exemplo

• Um elétron no estado n = 2 do poço de potencial finito da Figura absorve uma energia de 400 eV de uma fonte externa. Qual é a energia cinética do elétron após esta absorção, supondo que o elétron seja transferido para uma posição onde x > L?

Outras armadilhas para elétrons

• Nanocristalitos (d ~ 1 nm): poço de potencial

• Menor tamanho → maior diferença de energia → menor comprimento de onda

• Solução de CdSe:

CdSe

Tamanho

Outras armadilhas para elétrons• Pontos quânticos:• metal / isolante / semi-condutor / isolante / metal• Isolante: poço de potencial• Diferença de potencial ou laser: controle do tunelamento através da

camada semicondutora

elétron

buraco

Outras armadilhas para elétrons

• Ponto quântico fotodetector de infravermelho• (QDIP - Quantum dot infrared photodetector) InGaAs/InGaP/GaAs

256x256 pixels.

Armadilhas bidimensionais e tridimensionais

• Elétron em 1D (fio):

M. Lagos, V. Rodrigues, and D. Ugarte, JESRP 156, 20 (2007)

Um número quântico!!!

Outras armadilhas para elétrons

• Currais quânticos:• Átomos de ferro sobre cobre

Ondas de matérias → elétrons do cobre confinados na barreira de potencial dos átomos de ferro

Armadilhas bidimensionais e tridimensionais

• Elétron em 2D (placa):

Dois números quânticos!!!

Exemplo

• Na notação da equação abaixo, a energia do estado fundamental do elétron em um curral retangular é E0,0 ; E1,0 ; E0,1 ou E1,1?

nx, ny = 1, 2, 3, …

Armadilhas bidimensionais e tridimensionais

• Elétron em 3D (volume):

Três números quânticos!!!

Exemplo

• Um curral retangular de larguras Lx=L e Ly=2L contém um elétron. Determine, em múltiplos de h2/8mL2, onde m é a massa do elétron, (a) a energia do estado fundamental do elétron, (b) a energia do primeiro estado excitado, (c) a energia dos primeiros estados degenerados e (d) a diferença entre as energias do segundo e do terceiro estado excitado.

O átomo de hidrogênio

e-

p+

O átomo de hidrogênio

• Johann Balmer (1885)• Série de Balmer: hidrogênio só emite / absorve quatro

comprimentos de onda no visível.

UV Visível

O átomo de hidrogênio

• Hipóteses do modelo de Bohr:

1. Elétron gira em torno do núcleo em órbita circular;

2. Módulo do momento angular do elétron só pode assumir valores quantizados:

Raio de Bohr:

Força de Coulomb:

Mas:

O átomo de hidrogênio

Energia:

O átomo de hidrogênio

• Mudanças de energia

nbaixo = 1, Série de Lymannbaixo = 2, Série de Balmernbaixo = 3, Série de Paschennbaixo = 4, Série de Brackett

constante de Rydberg

O átomo de hidrogênio

O átomo de hidrogênio e a eq. de Schrödinger

• Potencial Coulombiano

3D: 3 números quânticos

Elétron confinado: Energia discreta

Símbolo Nome Valores permitidos

n nº quântico principal 1, 2, 3, 4, ...

l nº quântico orbital 0, 1, 2, ..., n – 1

ml nº quântico orbital magnético – l, – l + 1, ..., l – 1, l

O átomo de hidrogênio e a eq. de Schrödinger

n l ml

1 0 0 1s

2

0 0 2s

1

-1

2p0

1

3

0 0 3s

1

-1

3p0

1

2

-2

3d

-1

0

1

2

O átomo de hidrogênio e a eq. de Schrödinger

• Energia / Funções de onda:

• Função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio

• Densidade de probabilidade radial

• Raio mais provável para n = 1: raio de Bohr.

• Porém, há probabilidade de o elétron estar em qualquer raio.

• A noção de o elétron orbitar o núcleo em órbitas definidas é INCORRETA!!!

Raio de Bohr