cap 3 - torção - exercícios - resmat_atual
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FACULDADE BRASILEIRA Credenciada pela Portaria/MEC N
o 259 de 11.02.1999 – D.O.U. de 17.02.1999
Disciplina: Resistência dos Materiais - 2° Semestre de 2011 - Cap. 3 – Torção - Exercícios Professor Msc. Elicarlos Vionet Scaramussa Correia Página 1 de 6
Capítulo 3 - Torção
3.6. Exercícios Resolvidos
3.6.1 O eixo circular BC é vazado, e tem diâmetros de 90 mm e 120 mm,
respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d.
Determinar, para o carregamento indicado: (a) o valor máximo e mínimo da tensão de
cisalhamento no eixo BC; (b) qual o diâmetro necessário nos eixos AB e CD se a tensão
admissível no material é 65 MPa.
Resolução:
a) Diagrama de corpo livre do trecho AB:
( )
CDAB
ABx
TT
TM
=⋅=
−⋅==∑
mkN6
mkN60
b) Diagrama de corpo livre do trecho BC:
( ) ( )
mkN20
mkN14mkN60
⋅=
−⋅+⋅==∑
BC
BCx
T
TM
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c) Determinação dos valores máximos e mínimos das tensões de cisalhamento no trecho
BC:
Para um eixo vazado, teremos o
seguinte momento polar de inércia (J):
( ) ( ) ( )[ ]
46
4441
42
m1092.13
045.0060.022
−×=
−=−=ππ
ccJ
c.1) Máxima tensão de cisalhamento:
( )( )
MPa2.86
m1092.13
m060.0mkN20
46
22max
=
×
⋅===
−J
cTBCττ
c.2) Mínima tensão de cisalhamento:
MPa7.64
mm60
mm45
MPa2.86
min
min
2
1
max
min
=
==
τ
τ
τ
τ
c
c
d) Determinação do diâmetro necessário para os eixos AB e CD:
Nesses dois trechos podemos verificar que o momento
torsor é T=6 kN.m e ττττadm = 65 MPa. Além disso, sendo
c o raio do eixo circular, podemos escrever:
m109.38
mkN665
3
3
2
4
2
max
−×=
⋅===
c
c
MPa
c
Tc
J
Tc
ππτ
Portanto,
mm8.772 == cd
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3.6.2 Uma barra circular submetida à torção é composta por 2 partes, conforme a figura
abaixo. Sabendo que o ângulo de torção entre as extremidades da barra não deve
exceder 0,02 radianos e que a tensão de cisalhamento em cada parte não deve
exceder 28 MPa, determine o valor máximo permissível para o torque T. Assumir G = 83
GPa.
Resolução:
a) Análise do trecho AB:
a.1) Determinação do torque máximo:
a.2) Determinação do ângulo de torção no trecho AB:
b) Análise do trecho BC:
b.1) Determinação do torque máximo:
.103
N.mm
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b.2) Determinação do ângulo de torção no trecho BC:
c) Determinação do ângulo total de torção entre as extremidades da barra (AC):
Substituindo nessa equação as expressões obtidas nos itens a.2 e b.2, teremos:
c) Conclusão:
O maior valor permissível para o torque é 246.639,5 N.mm, haja vista que o mesmo não
excede a tensão de cisalhamento de 28 MPa em cada porção da peça e não supera o
ângulo de torção de 0,02 radianos entre as extremidades da barra.
3.6.3 No conjunto mostrado abaixo, os dois eixos estão acoplados por duas engrenagens
C e B. Determine o ângulo de rotação da extremidade A do eixo AB onde um torque T =
45 N.m é aplicado. Cada eixo tem diâmetro de 20mm e G = 80 GPa.
.103
T . 5,753.10-8
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Resolução:
a) Análise do eixo AB:
a.1) Determinação do ângulo de torção do eixo AB:
a.2) Determinação da força de contato (tangencial) entre as engrenagens B e C:
Através da condição de equilíbrio do eixo AB:
b) Análise do eixo CD:
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b.1) Determinação do torque no eixo:
Através da condição de equilíbrio do eixo CD:
b.2) Determinação do ângulo de torção do eixo CD:
c) Determinação do ângulo total de torção na extremidade A:
A relação entre os ângulos de rotação ϕϕϕϕB e ϕϕϕϕC (eixo CD) é:
Dessa forma o ângulo total de rotação do ponto A será:
3.7. Relação de Exercícios propostos
Livro: Resistência dos Materiais – Beer & Johnston – 3° Edição
a) Cap. 3 – Torção:
3.8; 3.10; 3.14; 3.24; 3.34; 3.42; 3.47; 3.136; 3.142.
0,075 ,
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