cap 3 - torção - exercícios - resmat_atual

FACULDADE BRASILEIRA Credenciada pela Portaria/MEC N

o 259 de 11.02.1999 – D.O.U. de 17.02.1999

Disciplina: Resistência dos Materiais - 2° Semestre de 2011 - Cap. 3 – Torção - Exercícios Professor Msc. Elicarlos Vionet Scaramussa Correia Página 1 de 6

Capítulo 3 - Torção

3.6. Exercícios Resolvidos

3.6.1 O eixo circular BC é vazado, e tem diâmetros de 90 mm e 120 mm,

respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d.

Determinar, para o carregamento indicado: (a) o valor máximo e mínimo da tensão de

cisalhamento no eixo BC; (b) qual o diâmetro necessário nos eixos AB e CD se a tensão

admissível no material é 65 MPa.

Resolução:

a) Diagrama de corpo livre do trecho AB:

( )

CDAB

ABx

TT

TM

=⋅=

−⋅==∑

mkN6

mkN60

b) Diagrama de corpo livre do trecho BC:

( ) ( )

mkN20

mkN14mkN60

⋅=

−⋅+⋅==∑

BC

BCx

T

TM


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c) Determinação dos valores máximos e mínimos das tensões de cisalhamento no trecho

BC:

Para um eixo vazado, teremos o

seguinte momento polar de inércia (J):

( ) ( ) ( )[ ]

46

4441

42

m1092.13

045.0060.022

−×=

−=−=ππ

ccJ

c.1) Máxima tensão de cisalhamento:

( )( )

MPa2.86

m1092.13

m060.0mkN20

46

22max

=

×

⋅===

−J

cTBCττ

c.2) Mínima tensão de cisalhamento:

MPa7.64

mm60

mm45

MPa2.86

min

min

2

1

max

min

=

==

τ

τ

τ

τ

c

c

d) Determinação do diâmetro necessário para os eixos AB e CD:

Nesses dois trechos podemos verificar que o momento

torsor é T=6 kN.m e ττττadm = 65 MPa. Além disso, sendo

c o raio do eixo circular, podemos escrever:

m109.38

mkN665

3

3

2

4

2

max

−×=

⋅===

c

c

MPa

c

Tc

J

Tc

ππτ

Portanto,

mm8.772 == cd


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3.6.2 Uma barra circular submetida à torção é composta por 2 partes, conforme a figura

abaixo. Sabendo que o ângulo de torção entre as extremidades da barra não deve

exceder 0,02 radianos e que a tensão de cisalhamento em cada parte não deve

exceder 28 MPa, determine o valor máximo permissível para o torque T. Assumir G = 83

GPa.

Resolução:

a) Análise do trecho AB:

a.1) Determinação do torque máximo:

a.2) Determinação do ângulo de torção no trecho AB:

b) Análise do trecho BC:

b.1) Determinação do torque máximo:

.103

N.mm


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b.2) Determinação do ângulo de torção no trecho BC:

c) Determinação do ângulo total de torção entre as extremidades da barra (AC):

Substituindo nessa equação as expressões obtidas nos itens a.2 e b.2, teremos:

c) Conclusão:

O maior valor permissível para o torque é 246.639,5 N.mm, haja vista que o mesmo não

excede a tensão de cisalhamento de 28 MPa em cada porção da peça e não supera o

ângulo de torção de 0,02 radianos entre as extremidades da barra.

3.6.3 No conjunto mostrado abaixo, os dois eixos estão acoplados por duas engrenagens

C e B. Determine o ângulo de rotação da extremidade A do eixo AB onde um torque T =

45 N.m é aplicado. Cada eixo tem diâmetro de 20mm e G = 80 GPa.

.103

T . 5,753.10-8


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Resolução:

a) Análise do eixo AB:

a.1) Determinação do ângulo de torção do eixo AB:

a.2) Determinação da força de contato (tangencial) entre as engrenagens B e C:

Através da condição de equilíbrio do eixo AB:

b) Análise do eixo CD:


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b.1) Determinação do torque no eixo:

Através da condição de equilíbrio do eixo CD:

b.2) Determinação do ângulo de torção do eixo CD:

c) Determinação do ângulo total de torção na extremidade A:

A relação entre os ângulos de rotação ϕϕϕϕB e ϕϕϕϕC (eixo CD) é:

Dessa forma o ângulo total de rotação do ponto A será:

3.7. Relação de Exercícios propostos

Livro: Resistência dos Materiais – Beer & Johnston – 3° Edição

a) Cap. 3 – Torção:

3.8; 3.10; 3.14; 3.24; 3.34; 3.42; 3.47; 3.136; 3.142.

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