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Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Cap. 3. Tensão
1. Existência das forças internas
2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy
3. Vector das tensões no ponto P
3.1 Componentes cartesianas
3.2 Componentes intrínsecas
4. Tensor das tensões no ponto P
4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões
4.2 Componentes de tensão
4.3 Prova da simetria de componentes em 2D
5. Equações de equilíbrio 5.1 Prova em 2D
6. Cálculo das componentes do vector das tensões
7. Carácter tensorial das tensões
7.1 Prova da lei de transformação em 2D
8. Notas sobre 3D
9. Tensões principais
10. Estados de tensão
11. Outras designações
12. Outras representações 12.1 Elipse de Lamé
12.2 Quadricas de Cauchy
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
sistema 1
A
Tensão é uma das repostas do MC ao carregamento
Conjunto (sistema 1 & sistema 2) está em equilíbrio
sistema 1
sistema 2
sistema 2
B
forças internas
= sistema 3
F
1. Existência das forças internas
Conjunto (sistema 2 & (- sistema 3)) está em equilíbrio
sistema 1 e – sistema 3 são equivalentes
“- sistema 3” exprime o efeito da parte retirada A carregada com o sistema 1
Forças externas
= carregamento
corte
A B
Conjunto (sistema 1 & sistema 3) está em equilíbrio
sistema 2 e sistema 3 são equivalentes
sistema 3 exprime o efeito da parte retirada B, carregada com o sistema 2
F
forças internas
= - sistema 3
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
V
Augustin Cauchy (1789-1857)
Leonhard Euler (1707-1783) 2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy
n P
V
n
Pt
Densidade das forças
internas no ponto P,
efeito de V
n
Pt
Densidade das forças
internas no ponto P,
efeito de VV
n
= normal exterior unitária
n
P
em vez de forças internas usa-se a densidade das forças internas
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
3. Vector das tensões no ponto P
A
Flimt
0A
n
P
Unidade N/m2=Pa
106Pa=MPa
Define-se à volta do P um elemento infinitesimal de área
A faceta é sempre ligada ao resto do MC
A faceta ligada a parte A
com a normal exterior
unitária
A faceta ligada a parte B
com a normal exterior
unitária
Escolha-se um ponto P, que pertence à superfície de corte
Bn P
BF
PAn
AF
O vector da densidade das forças internas
no ponto P chama-se
que pertence à superfície de corte e que corresponde a duas facetas PA
corte
A B P
Força interna elementar Força interna elementar
Densidade das forças internas,
ou seja o vector das tensões
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
tx, ty, tz: componentes cartesianas
do vector das tensões
O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma dada normal,
o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua
é indiferente do modo que ΔA tende para zero
é indiferente da superfície de corte, desde que a normal no P é igual
2 componentes em 2D, 3 em 3D
P
n
PAt
n
P,y At
n
P,x At
n
Pt
P
3.1 Componentes cartesianas
0t n
P,x A
0t n
P,y A
Verifica-se que o sinal das componentes
cartesianas é oposto
n
PBt n
P,y Bt
n
P,x Bt
O sentido do vector das tensões relacionado às duas facetas no mesmo ponto
com a normal da mesma direcção é sempre oposto
0t n
P,x B
0t n
P,y B
x
y
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
tn, tt: componentes intrínsecas
do vector das tensões
2 componentes em 2D e em 3D
tn: com sentido da normal tracção, positiva
tn: contra sentido da normal compressão, negativa
tn: componente normal
tt: componente tangencial ou de corte
n
P
n
PBt
n
P,n Bt
n
P,t Bt
n
P
n
PAt
n
P,n At
n
P,t At
3.2 Componentes intrínsecas
Nota:
Pontos da circunferência Mohr = componentes intrínsecas das facetas
Verifica-se que o sinal da componente intrínseca normal é igual nas duas facetas.
Verifica-se que as intensidades de ambas componentes
não dependem do referencial
Pode-se atribuir o sinal à componente tangencial, mas apenas em 2D.
Este sinal depende do referencial e segue as regras das facetas
positivas e negativas (explicação mais tarde). Se o referencial for igual
nas duas facetas, o sinal seria também igual.
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Pode-se provar, que para isso
tem que se saber vector das tensões relacionado:
- em 3D a 3 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P
- em 2D a 2 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P
Mantém-se o ponto P mas escolha-se uma faceta com normal diferente
as componentes do vector das tensões serão diferentes
É preciso determinar o número dos valores necessários para poder
unicamente exprimir componentes do vector das tensões a qualquer faceta
4. Tensor das tensões no ponto P
Diz-se que se conhece o estado das tensões no ponto P, quando se conhecem
as componentes do vector das tensões em qualquer faceta que nele passa
4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões
Devido a simetria do tensor das tensões (provada mais tarde) as componentes
destes vectores das tensões devem finalizar
3 dados não contraditórios em 2D
e 6 dados não contraditórios em 3D
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
P
Marque-se uma vizinhança infinitesimal em torno do ponto P Prova em 2D
n
xt
y
yt
y
xt
x
xt
x
yt
n
yt
x
y s
sinsx cossy
sintcostt
0stytxt
y
x
x
x
n
x
n
x
x
x
y
x
sintcostt
0stytxt
y
y
x
y
n
y
n
y
x
y
y
y
Lados da vizinhança são infinitesimais, por isso a distribuição das componentes
do vector das tensões pode ser considerada uniforme
As forças de volume não foram consideradas, porque contribuem
com o termo de ordem maior (área versus aresta)
Sabendo componentes cartesianas nas facetas (x) e (y) é possível
determinar as componentes cartesianas na faceta inclinada
Nota: as condições de equilíbrio
escrevem-se para forças e momentos,
nunca para componentes de tensão
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Comprovando, que o conhecimento de vector das tensões nas duas facetas
é suficiente para determinar o vector das tensões a qualquer faceta, ou seja
é suficiente para definir o estado das tensões no ponto P,
costumam-se escolher facetas do referencial original e em vez
de componentes cartesianas marcam-se nelas componentes intrínsecas.
Mais ainda, cada faceta representa-se nas suas duas formas
e assim de facto recorta-se um rectângulo elementar do MC.
Representação geométrica das componentes de tensão
em 2D no rectângulo elementar
4.2 Componentes de tensão
Quando o sentido da normal coincide com o sentido do eixo coordenado
Convenciona-se
Faceta positiva : o sentido da componente positiva coincide
com o sentido do eixo coordenado
Faceta negativa : o sentido da componente positiva é oposto
ao sentido do eixo coordenado
Quando o sentido da normal é oposto ao sentido do eixo coordenado
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
x
y
xxyx
xy
y
yx
yyx
Neste caso as componentes intrínsecas do vector das tensões chamam-se
componentes do tensor das tensões
Componente normal
Componente tangencial
ou componente de corte
o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção
Neste caso as direcções das componentes cartesianas e intrínsecas
do vector das tensões em cada faceta coincidem,
contudo o sentido positivo satisfaz as regras definidas no slide anterior
Facetas positivas
Facetas negativas
Representação das componentes
na forma matricial
yyx
xyx
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
0yxxy yxxy
yxxy
força força
momento momento
x
y
x
x
y
y
xy
xy
yx
yx
y
x
4.3 Prova da simetria de componentes em 2D
yxy
xyxRepresentação das componentes
na forma matricial
Equilíbrio dos binários
Escolha-se vizinhança elementar
rectangular em torno do ponto P,
mergulhada no MC e escreve-se
o equilíbrio dos binários
As forças de volume e as
variações de tensão não
foram consideradas,
porque contribuem
com o termo de ordem
maior
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
0yxfxyy
xyxx
y x
xy
xyxyx
xx
0fyx
x
xyx
0f
yxy
yxy
Nota: o equilíbrio dos
momentos dava a
relação de simetria,
agora com a prova mais rigorosa
do que no slide anterior
x
y
xy
yy
y
y
xx
xy
xy
xx
x
x
yy
xy
xy
xy
xy
xfyf
5. Equações de equilíbrio
Vizinhança elementar
rectangular em torno
do ponto P,
mergulhada no MC
Interior
Augustin Cauchy (1789-1857)
5.1 Prova em 2D
2 equações de equilíbrio
não são suficientes
para resolver 3 incógnitas
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6. Cálculo das componentes do vector das tensões
nt
Fronteira
Carga cartesiana distribuída na
superfície, valores dados
x,0p
y,0p
x
xy
yxy
sinsx cossy
0spxy x,0xyx
sincosp xyxx,0
yxyxxx,0 nnp
yyxxyy,0 nnp
Componentes cartesianas de analogia:
P: ponto interior, a normal {n} tem que ser exterior e unitária
Tsin,cosn Tcos,cos,cosn 2D 3D
Condições de fronteira
np0
Tsin,cosn
x
y s
Vizinhança elementar triangular
do ponto de superfície P
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Componentes intrínsecas
cosntntt nTnn
n
O sentido da componente tangencial não está definido pela esta expressão
Componente normal e tangencial calculam-se como escalares
A componente normal é positiva quando o sentido dela
coincide com o sentido da normal: tracção
Alternativamente, em 2D apenas!!! Tsin,cosn
nt
n
nt
n
tt
P n
n
nt
n
tt
P
s
nt
Tcos,sins
sttTnn
t
Tensão normal na direcção {n}
2n
n
2nn
t ttt
Tensão tangencial na faceta {n}
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x
y
s
sinsx
cossy
7.1 A prova da lei de transformação em 2D
x
xy
yxy x
x
xx
xy
0sxcossin
ysincos
xxyy
xyx
cossin2sincosxy
2
y
2
xx
cossin2cossinxy
2
y
2
xy
22
xyyxxysincoscossin
Equações de equilíbrio em 2D
0sxsincos
ycossin
xyxyy
xyx
Analogamente: Tensão é
tensor da 2ª ordem
7. Carácter tensorial das tensões
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
x
y
z
x
xyxz
y
yz
yx
zx
z
zy
Representação geométrica das componentes
no paralelepípedo elementar (facetas positivas)
Tensão é tensor simétrico
6 componentes em 3D
Representação das componentes
na forma matricial
z
yzy
xzxyx
sim
Equações de equilíbrio
(de Cauchy) no interior
0fzyx
y
yzyxy
0fzyx
xxzxyx
0fzyx
zzyzxz
8. Notas sobre 3D
3 equações de equilíbrio não são
suficientes para resolver 6 incógnitas
Condições de fronteira
np0
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9. Tensões principais
Para o ângulo de rotação θp, que satisfaz
yx
xy
p
22tg
a tensão de corte anula-se e as tensões normais atingem os seus máximos e
mínimos; estas componentes normais chamam-se tensões principais
2
yx
m
2
xy
2
yx
2R
Rm1 R
m2
,
onde
1
1
2
2
1
p
2 1
0xy
Rmmax Rmmin
2qualquer componente normal Tensão de corte máxima:
acompanhada
de 2
R 21max
m
2
1
0
0
mmax
maxm
1
2
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Notas sobre a circunferência de Mohr
Os pontos da circunferência correspondem às componentes intrínsecas
do vector das tensões nas facetas correspondentes
As facetas positivas e negativas diferem de 180º, o que representa a rotação
de 360º na circunferência, por isso as componentes são iguais,
como era de esperar
acimaOrientação das componentes de corte
determina a posição do ponto na circunferência
de Mohr indiferentemente do referencial
abaixo
x
0xy
yx
yx
y x
y
0xy 0xy 0xy
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10. Estados de tensão
Tracção pura
1
1
Compressão pura
2
2
xy
xy
xy
xy
Pressão hidrostática
p
p
p
p
Estado tangencial puro
xy1
xy1
xy2
xy2
as componentes do tensor das tensões não variam com a posição
0
0
mmax
maxm
0C
Homogéneo ou uniforme:
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Isostáticas
Tangentes às direcções principais
Tracção pura
1
1 xy
xy
xy
xy
Estado tangencial puro
Compressão pura
2
2
Pressão hidrostática
Qualquer direcção é principal, isostáticas não fazem sentido
analogamente
p
p
p
p
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11. Outras designações Tensor esférico e tensor desviador de tensão
'Im
onde σm é a tensão média 3
I
331zyx321
m
m1oc3/I
2
2
1ocI3I
3
2
T3/1,3/1,3/1n
Tensão octaédrica são as componentes intrínsecas do vector tensão
no plano cuja normal é importante para teoria
Tensão de von Mises
2vM I3
22
m
2
221
2
1vM R3
2
32
2
31
2
21vM2
1
2D
3D
consequentemente 0I1
de plasticidade
Importante para
teoria de plasticidade
Richard von Mises (1883-1953)
importante para a energia de deformação
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12. Outras representações
12.1 Elipse de Lamé
Gabriel Lamé (1795-1870)
1y~x~
2
min
2
max
em 2D
Elipsóide de Lamé
em 3D 1z~y~x~
2
3
2
2
2
1
correspondem às componentes do vector das tensões
numa faceta com a normal {n} de componentes
nx, ny, nz no referencial principal
z~,y~,x~
z3y2x1 nz~,ny~,nx~ z
3
y
2
x
1
nz~
,ny~
,nx~
Assume-se, que
1nnnz~y~x~ 2
z
2
y
2
x
2
3
2
2
2
1
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x
y
1yxy2x 2
yxy
2
x
em 2D
A curva não depende do
referencial, porque o
determinante de [σ] é invariante
12.2 Quádricas de Cauchy
2xx
d
1
Positivo para
v.p. positivos
Negativo para
v.p. negativos
Quádrica = superfície que se pode representar
por uma equação algébrica do segundo grau
Quádrica de Cauchy = coeficientes desta equação
coincidem com as componentes do tensor das tensões
1y
xy,x
yxy
xyx
x
maxx~
miny~
xd
Quando 0det
1/1
y~
/1
x~y~x~
min
2
max
22
min
2
max
ou seja quando os valores próprios têm
o mesmo sinal, a curva corresponde a elipse
max/1
min/1
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0minmax
Real para +1
Imag. para -1
a
b
max
1a
min
1b
Real para +1
Imag. para -1
minmax 0
Assimptotas com declives
a
bm
min
max
Real para -1
Imag. para +1
minmax 0
Real para -1
Imag. para +1
minmax0
minmax 0
Real para +1
Imag. para -1
Real para -1
Imag. para +1
No referencial principal
Hipérboles
aa
b
b
b
a
b
a
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
1xxxxTT
em 3D
Todos v.p. positivos e +1 no lado direito
Todos v.p. negativos e -1 no lado direito Elipsóide
Vamos analisar superfícies reais
2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica 2 valores positivos
1 negativo
De duas folhas, real para -1 De uma folha, real para +1
2xx
d
1
como em 2D
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
1 valor positivo
2 negativos
De uma folha, real para -1
2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica
De duas folhas, real para +1
As rotações são apenas consequências da ordenação dos valores próprios,
no slide anterior o “eixo” foi formado pelo (3),
neste slide o “eixo” coincide com (1)
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