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Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Os seguintes exemplos e exercıcios complementam o capıtulo 11 do livro “Stewart, J. Calculo,Vol II.” Usaremos “log” para denotar o logaritmo natural (outros usam “ln” ou “loge”).
Exemplos de Limite. Capıtulo 11.1
Os exemplos de limite abaixo serao assumidos sem demonstracao e apareceram constante-mente ao longo do capıtulo de series:
Exemplo 1. (i) limn→∞
1
np= 0 para qualquer p > 0.
(ii) limn→∞
(1 +
1
n
)n
= e.
(iii) limn→∞
n√n = 1.
(iv) limn→∞
n√a = 1, para qualquer a > 0.
(v)
limn→∞
rn =
0 se |r| < 1;1 se r = 1;Nao existe se |r| > 1 ou r = −1.
Exemplo 2. Calcule
limn→∞
log(n)
n.
Resolucao. Fazemos f(x) = log(x)/x e usamos a regra de L’Hopital. Assim temos
limx→∞
log(x)
x
L’Hop= lim
x→∞
(log(x))′
(x)′= lim
x→∞
1/x
1= lim
x→∞
1
x= 0.
Portanto,
limn→∞
log(n)
n= 0. ■
Exemplo 3. Calcular os seguintes limites:
(a) limn→∞ sen( 1n).Reolucao. Aqui usamos a continuidade da funcao seno, pois nesse caso, o limite pode entrar
no argumento. Assim
limn→∞
sen
(1
n
)= sen
limn→∞ �
���01
n
= sen(0) = 0.
1
Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro
(b) limn→∞ n · sen( 1n).Resolucao. Aqui usamos o fato que limu→0
sen(u)u = 1, fazendo u = 1/n. Temos entao
limn→∞
n · sen(1
n
)= lim
n→∞
sen( 1n)
1/n= lim
u→0
sen(u)
u= 1.
(c) limn→∞log(n2)
n .
Resolucao. Nos sabemos que limn→∞log(n)
n = 0 (pela regra de L’Hopital). Logo
limn→∞
log(n2)
n= lim
n→∞
2 log(n)
n= 2 lim
n→∞
log(n)
n= 2 · 0 = 0.
(d) limn→∞ log( nn+1).
Resolucao. O logaritmo e uma funcao contınua, portanto podemos passar o limite no argu-mento. Temos assim
limn→∞
log
(n
n+ 1
)= log
(limn→∞
n
n+ 1
1/n
1/n
)= log
1
1 + ���0
1n
= log(1) = 0.
(e) limn→∞3n
n2−2n+1.
Resolucao. Calculamos diretamente, “dividindo” todo por n2,
limn→∞
3n
n2 − 2n+ 1
1/n2
1/n2= lim
n→∞���>
0
3/n
1−���>
0
2/n+���*0
1/n2
=0
1= 0. ■
Exemplos de soma e convergencia de series. Capıtulo 11.2
Exemplo 4 (Serie Geometrica). Se |r| < 1, e r = 0, entao a serie∑∞
n=0 rn e convergente e
sua soma e∞∑n=0
rn =1
1− r. (1)
Resolucao. Calculamos primeiro suas somas parciais. Como r = 0, a0 = r0 = 1 indepen-dente do valor de r, logo
S0 = 1
S1 = 1 + r
S2 = 1 + r + r2
S3 = 1 + r + r2 + r3
......
Sn = 1 + r + r2 + r3 · · · rn−1 + rn.
2
Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Multiplicando essa ultima soma parcial por r, obtemos rSn = r + r2 + r3 · · · rn + rn+1. Logo
Sn − rSn = (1 + �r +��r2 + · · ·��rn)− (�r +��r2 + · · ·��rn + rn+1)
(1− r)Sn = 1− rn+1
Sn =1− rn+1
1− r.
Pelo Exemplo ??(v),
limn→∞
Sn = limn→∞
1−���*0
rn+1
1− r=
1
1− r.
Como o limite das somas parciais existe e vale 1/(1−r) concluımos que a serie∑∞
n=0 rn converge
e∞∑n=0
rn =1
1− r.
• Observe que se r = 0, entao∑∞
n=1 rn = 0 + 0 + 0 + · · · = 0.
• Por outro lado, pelo Exemplo ??(v) limn→∞ rn = 0 se |r| ≥ 1 e pelo Teste da Divergencia,a serie
∑∞n=0 r
n diverge nesse caso. ■
Observacao 1. Se a serie geometrica comecar no termo k-esimo; isto e,∞∑n=k
rn entao
∞∑n=k
rn = rk + rk+1 + rk+2 + rk+3 + · · · = rk · (1 + r + r2 + r3 + · · · ) = rk · 1
1− r=
rk
1− r.
Em particular,∞∑n=1
rn =r
1− r. (2)
Exemplo 5. Decida se a serie∞∑n=1
2n + 7 · 3n
6n
e convergente. Em caso afirmativo, encontrar sua soma.
Solucao. Podemos escrever o termo (2n + 7 · 3n)/6n como
2n + 7 · 3n
6n=
2n
6n+ 7 · 3
n
6n=
1
3n+ 7 · 1
2n.
3
Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Como∑∞
n=113n e
∑∞n=1
12n sao series geometricas com raio r = 1/3 < 1 e r = 1/2 < 1, re-
spectivamente, elas sao convergentes. Como soma de series convergentes e tambem convergente.Assim, temos que
∞∑n=1
2n + 7 · 3n
6n
e tambem convergente.Agora, pela formula (??),
∞∑n=1
1
3n=
1/3
1− 1/3=
1
2e
∞∑n=1
1
2n=
1/2
1− 1/2= 1
Portanto∞∑n=1
2n + 7 · 3n
6n=
∞∑n=1
1
3n+ 7 ·
∞∑n=1
1
2n=
1
2+ 7 · 1 =
15
2. ■
Exemplo 6. Calcule a soma da serie∑∞
n=0
(4
(−3)n − 33n
).
Resolucao. A serie dada pode ser re-escrita como
∞∑n=0
(4
(−3)n− 3
3n
)= 4 ·
∞∑n=0
(−1
3
)n
− 3 ·∞∑n=0
(1
3
)n
Como as duas series da parcela direita sao geometricas com razao r = −1/3 e r = 1/3, respec-tivamente. Ambas satisfazendo |r| < 1.
Aplicando a formula (??), obtemos que
∞∑n=0
(4
(−3)n− 3
3n
)= 4 ·
∞∑n=0
(−1
3
)n
− 3 ·∞∑n=0
(1
3
)n
= 4 · 1
1− (−1/3)− 3 · 1
1− (1/3)
= 4 · 34− 3 · 3
2
= −3
2. ■
Exemplo 7 (Serie Harmonica). A serie
∞∑n=1
1
n(3)
diverge.
4
Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Resolucao. Vamos a determinar algumas de suas somas parciais para saber a que valorestao-se aproximando.
S1 = 1≥12
S2 = 1︸︷︷︸≥ 1
2
+12≥
22
S4 = 1 +1
2︸ ︷︷ ︸≥ 2
2
+1
3+
1
4︸ ︷︷ ︸≥ 1
4+ 1
4= 1
2
≥32
S8 = 1 +1
2+
1
3+
1
4︸ ︷︷ ︸≥ 3
2
+1
5+
1
6+
1
7+
1
8︸ ︷︷ ︸≥ 1
8+ 1
8+ 1
8+ 1
8= 1
2
≥42
Do calculo feito acima podemos deduzir que somas parciais da forma S2n satisfazem
S2n ≥ n+ 1
2
Como limn→∞n+12 = ∞, concluımos que limn→∞ S2n = ∞. Em particular, a serie harmonica∑∞
n=11n diverge. ■
Exemplo 8. Analisar a convergencia ou divergencia da serie
∞∑n=1
5
21n + 9
.
Resolucao. Note que, pelo Exemplo ??(iii),
limn→∞
5
21n + 9
= limn→∞
5n√2 + 9
=5
1 + 9=
1
2= 0.
Pelo Teste da Divergencia, a serie diverge. ■Exemplo 9. Calcule a soma da serie
∑∞n=1
1n2+n
.
Resolucao. Usando fracoes parciais, vemos que 1n2+n
= 1n(n+1) =
1n − 1
n+1 . Portanto,
S1 = a1 = 1− 1
2
S2 = a1 + a2 = (1−��1/2) + (��1/2− 1/3) = 1− 1
3...
......
Sn = a1 + a2 + ...+ an = (1−��1/2) + (��1/2− 1/3) + ...+ (1/(n− 1)−��1/n) + (�
�1/n− 1/(n+ 1)) = 1− 1
n+ 1
5
Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Portanto,∞∑n=1
1
n2 + n= lim
n→∞Sn = lim
n→∞
(1− 1
n+ 1
)= 1. ■
Exemplo 10. Resolva a equacao
1− x+ x2 − x3 + ... =
√2
2.
Resolucao. A equacao pode ser re-escrita como∞∑n=0
(−x)n =
√2
2
onde o lado esquerdo representa uma serie geometrica com razao r = −x. Como ela convege(pois sua soma e
√2/2) vemos que |x| < 1. Usando a equacao (??), obtemos que
√2
2=
∞∑n=0
(−x)n =1
1 + x
Entao
1 + x =2√2
x =2√2− 1 =
√2− 1. ■
Exemplo 11. Resolver a equacao
2x ·√2x · 4
√2x · 8
√2x · 16
√2x · · · = 0, 25.
Resolucao. Escrevemos 2n√2x = 2x/2
ne entao temos
2x · 2x/2 · 2x/22 · 2x/23 · 2x/24 · · · = 1/4. Aplicando logaritmo, obtemos
x log(2) +x
2log(2) +
x
22log(2) +
x
23log(2) +
x
24log(2) · · · = log(2−2)
x log(2)
(1 +
1
2+
1
22+
1
23+
1
24
)= −2 log(2)
x log(2)∞∑n=0
(1
2
)n
= −2 log(2) ·1/ log(2)
x∞∑n=0
(1
2
)n
= −2 Por (??)
x1
1− 1/2= −2
x · 2 = −2
x = −1. ■
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Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Exemplos de criterios de comparacao. Capıtulo 11.4
Exemplo 12. Estude a convergencia ou divergencia da serie
∞∑n=1
√1
n2 + π.
Reolucao. Observe que a serie dada so tem termos positivos. Assim, considerando a serie
harmonica
∞∑n=1
1/n, que sabemos divergente, temos que
limn→∞
√1/(n2 + π)
1/n= lim
n→∞
√n2
n2 + π
=
√limn→∞
n2
n2 + π
=
√limn→∞
1
1 + π/n2
=
√1
1 +������: 0limn→∞
πn2
=√1
= 1.
Como o limite acima e maior do que 0, segue que a serie
∞∑n=1
√1
n2 + πdiverge, pelo criterio de
comparacao no limite. ■
Exemplo 13. Estude a convergencia ou divergencia da serie
∞∑n=1
1√n.
Reolucao. Nao e difıcil notar que√n ≤ n para todo n ≥ 1, logo 1
n ≤ 1√npara todo
n ≥ 1. Como a serie harmonica∑∞
n=11n diverge, a serie
∑∞n=1
1√ntamben diverge pelo criterio
de comparacao. ■
Exemplo 14. Analisar a convergencia ou divergencia da serie
∞∑n=1
(√n+ 1−
√n).
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Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Reolucao. METODO 1: As somas parciais da serie vem dadas por
Sn = (��√2−
√1)+(��
√3−��
√2)+(
√4−��
√3)+ ...+(��√n−����√
n− 1)+(√n+ 1−��√n) =
√n+ 1−
√1
Logo,
limn→∞
Sn = limn→∞
(�����:∞√n+ 1−
√1) = ∞
Portanto a serie diverge.
METODO 2: Re-escrevemos a expressao√n+ 1−
√n como
√n+ 1−
√n = (
√n+ 1−
√n) ·
√n+ 1 +
√n√
n+ 1 +√n=
n+ 1− n√n+ 1 +
√n=
1√n+ 1 +
√n
Comparando com a serie divergente∑∞
n=11
2√n+1
(esta serie e divergente por que podemos
compara-la com∑∞
n=11√n, que diverge como vimos antes) vemos que
1
2√n+ 1
≤ 1√n+ 1 +
√n
o que mostra que a serie∑∞
n=1(√n+ 1−
√n) e tambem divergente. ■
Exemplo 15. Converge ou diverge a serie∑∞
n=1(n√2− 1)?
Resolucao. Usamos o criterio de comparacao no limite, comparando a serie dada com aserie harmonica. Temos assim
limn→∞
1/nn√2− 1
= limx→∞
1/x
21/x − 1
L′Hop= lim
x→∞
−1/x2
21/x · −1x2 log 2
=1
log 2> 0
Portanto, visto que a serie harmonica diverge, a serie∑∞
n=1(n√2−1) e divergente tambem. ■
EXERCICIOS
Exercıcio 1. Usando a regra de L’Hopital, prove que
limn→∞
n√n = 1.
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Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Exercıcio 2. Estude a convergencia ou divergencia das seguintes series:
(a)∞∑n=1
√1
n2 + π. (f)
∞∑n=1
√1 + n2
1 + n4. (k)
∞∑n=1
n2
n3 + 1.
(b)
∞∑n=1
n√4 + 3n4
. (g)
∞∑n=1
log
(n+ 1
n
). (l)
∞∑n=1
n
(4n− 3)(4n− 1).
(c)
∞∑n=1
log2(n)
n. (h)
∞∑n=1
2n| cos(3n)|3n
. (m)
∞∑n=1
2
n+ 3n cos2(n).
(d)∞∑n=1
sin(1/√n)√
n. (i)
∞∑n=1
2 + (−1)n
2n. (n)
∞∑n=1
1
nαse 0 ≤ α ≤ 1.
(e)
∞∑n=1
1
2log(n). (j)
∞∑n=1
√n+ 1−
√n√
n2 + n. (o)
∞∑n=1
1
n1+ 1n
.
Exercıcio 3. Asuma que a n-esima soma parcial de uma serie e dada por Sn = 2− 13n .
(a) A serie converge?(b) Se assim for, qual e o valor da soma?(c) Qual e a formula para o n-esimo termo da serie?
Exercıcio 4. Determine se as seguintes series convergem ou divergem:
(a)∞∑n=1
n
n2 + 1.
(b)
∞∑n=2
1
log n.
(c)∞∑n=1
1
n2n.
Exercıcio 5. Determine se a serie∞∑n=0
1
(n+ 1)(n+ 2)e convergente ou divergente. Se for
convergente encontre sua soma.
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Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Exercıcio 6. Analisar a convergencia ou divergencia da serie
∞∑n=1
n3
2n3 + 1.
Exercıcio 7. Resolva a equacao
1 +1
3 + x+
1
(3 + x)2+ · · · = 3 + x.
Exercıcio 8. Resolva
1 + sin2(x) + sin4(x) + sin6(x) + · · · = 2 tan(x).
Solucoes Ex. 2.(a) Diverge. (f) Diverge. (k) Diverge.(b) Diverge. (g) Diverge. (l) Diverge.(c) Diverge. (h) Converge. (m) Diverge.(d) Diverge. (i) Converge. (n) Diverge.(e) Diverge. (j) Converge. (o) Diverge.
Ex. 3. (a) Sim. (b) 2. (c) an = 23n .
Ex. 4. (a) Nao. (b) Nao. (c) Sim.Ex. 5. Converge com soma S = 1.Ex. 6. Diverge.Ex. 7. x = −1.Ex. 8. x = π
4 + kπ, k ∈ Z.
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