aula07_construção de gráficos i - papel milimetrado_2012

7aula

Janeiro de 2012

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS I: Papel Milimetrado

Objetivos: Construção de tabelas e gráficos, escalas especiais para construção de

gráficos e ajuste de curvas à dados experimentais.

7.1 Introdução

7.1.1 Construção de Tabelas e Gráficos

A apresentação de dados experimentais em forma de gráficos é uma técnica usada em todas as áreas

do conhecimento. A análise gráfica é muito útil, pois permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege o

fenômeno através de uma visualização imediata do comportamento de suas variáveis.

Após a realização de um experimento, geralmente temos em mãos um conjunto de dados que podem

ser apresentados em tabelas e/ou gráficos. As tabelas e os gráficos devem ser construídos na forma mais

clara possível para quem lê o trabalho de forma que se tenha uma interpretação correta dos dados.

Na construção de gráficos devemos obedecer às seguintes regras gerais:

a) Escolha a área do papel com tamanho adequado;

b) Os eixos devem ser desenhados claramente. A variável dependente geralmente estará no eixo

vertical, eixo y, e a variável independente no eixo horizontal, eixo x;

c) Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores

intermediários (por exemplo, divida de 2 em 2 e não de 7,7 em 7,7). Se possível, cada um dos

eixos deve começar em zero;

d) Escolher as escalas de maneira a não obter um gráfico mal dimensionado;

e) Colocar título e comentários → é conveniente que uma pessoa observando o gráfico, possa

entender do que se trata este gráfico, sem recorrer ao texto.

f) Colocar a grandeza a ser representada e sua unidade, em cada eixo coordenado.

g) Marque cada ponto do gráfico cuidadosamente e claramente, escolhendo para isto um símbolo

adequado e de tamanho facilmente visível (por exemplo, um círculo ou um quadrinho com um

ponto no centro).

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7.1.2 Construção de uma Escala Linear

Para construir uma escala linear em um certo segmento de reta (chamado de eixo), deve-se conhecer,

inicialmente o tamanho deste segmento (L). Deve-se conhecer a diferença entre os valores máximo e mínimo

da grandeza medida. Essa diferença será representada por “D”. Dividindo-se “L” por “D”, obtém-se uma

certa constante denominada de módulo da escala (Mod).

Por exemplo, considere a tabela a seguir para ser marcada em uma escala linear de 18 cm de

comprimento.

Força (N) 4 9 20 26 32

O intervalo das medidas é D = 32 – 4 = 28 N e o comprimento do eixo é L = 18 cm. Portanto, o

modulo da escala, é dado por: Mod = 18/28 = 0,6428 cm/N. Este resultado indica que cada unidade da força

será representada por um comprimento igual a 0,6428 cm. A escala deve ser construída, então, com

espaçamentos iguais de 0,6428 cm. Como se percebe, o módulo da escala acima é inconveniente para se

trabalhar e, portanto, adota-se um número melhor que facilite as marcações. Na escolha deste melhor número

para representar o módulo Mod, o arredondamento deverá ser sempre para menos e deve ser tal que seja

utilizado pelo menos 2/3 do comprimento L ( por razões estéticas). No exemplo acima, um número

conveniente para representar o módulo da escala seria 0,5 cm/N. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser

evitadas, pois dificultam a marcação de submúltiplos dos valores da escala.

Em tabelas onde o valor mínimo é próximo de zero, como no exemplo acima, é aconselhável incluir

o zero para efeito de cálculo do módulo Mod. Isto pode ser feito quando for necessária a apresentação da

origem da escala. Nestes casos, divide-se comprimento disponível L pelo valor máximo de grandeza: Mod =

18/32 = 0,5625 cm/N. Com d determinação do módulo, obtêm-se os comprimentos que representarão cada

uma das medidas da tabela.

No exemplo anterior considerando-se o módulo como 0,5cm/N, tem-se a correlação dada pela tabela

7.1.

Força (N) 4 9 20 26 32

Distância (cm) 2,0 4,5 10,0 13,0 16,0

Tabela 7.1 – Comprimento em cm que representa cada valor de Força.

Note que para obter o ponto correspondente à força, basta multiplicar o Mod pelo valor da força. É

tecnicamente errado, ao se montar o eixo da escala, representar nela as medidas da tabela. O que se usa fazer

é representar no eixo da escala pontos igualmente espaçados, marcando e destacando cada um deles. Indica-

se, abaixo de cada ponto, o valor respectivo da grandeza, sem, no entanto, sobrecarregar a escala com

excesso de números. Em suma, deve-se sempre observar o aspecto da escala, procurando construí-la de

modo a se ter uma boa visualização de seus valores.

28 Caderno de Laboratório de Física

7.1.3 Escalas Especiais

Em alguns casos a escolha de uma escala inadequada na construção de um gráfico, pode indicar,

visualmente, uma informação confusa sobre o experimento. Veja o exercício 1.

7.1.4 Ajuste de curvas a dados experimentais – Método dos Mínimos Quadrados.

Consideremos duas grandezas que podem ser relacionadas, teoricamente, por uma função do 1o grau,

cuja representação gráfica é uma reta.

Quando determinamos experimentalmente os dados (os quais estão sujeitos a erros de medidas) e

representamos as coordenadas cartesianas (x,y) no gráfico, verificamos que geralmente, os pontos não estão

perfeitamente alinhados, então, o nosso problema passa a ser o de determinar a equação, isto é, os

coeficientes angular e linear da melhor reta que se ajusta ao conjunto de dados experimentais.

Uma das maneiras de encontrar esta reta pode ser “a olho”. Neste método o observador deverá

ajustar a reta aos pontos a partir da observação visual. Este procedimento tem a desvantagem de

observadores distintos obterem retas com coeficientes angulares e lineares diferentes, já que a escolha é

subjetiva devida a interpretação de cada um.

Para evitar o critério individual na determinação da reta, torna-se necessário encontrar

matematicamente a “melhor reta ajustada”. Isto pode ser feito com o Método dos Mínimos Quadrados, no

qual podemos encontrar os coeficientes a e b de uma reta (y = ax +b) que se ajusta a N pontos

experimentais. Os coeficientes desta reta são:

2 2

2

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

i i i i

i i

i i i i i

i i

N x y x ya

N x x

y x x y xb

N x x

Para exemplificar o uso do Método dos Mínimos Quadrados, resolva o exercício 3.

7.2 Material Utilizado

a) Régua milimetrada;

b) Lápis ou lapiseira;

c) Borracha;

d) Calculadora;

e) Papel milimetrado

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7.3 Exercícios

1. Considere um carro inicialmente em repouso, partindo da posição inicial S0 = 500m, com uma

aceleração constante de 2 m/s2 (MRUV). Neste caso, sua equação horária será:

2 2

0

1500

2S S at S t

Obtendo o valor da posição para cada valor do tempo indicado tem-se a seguinte tabela:

Tempo t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Posição

S(cm) 500 501 504 509 516 525 536 549 564 581 600

Tabela 7.2 – Tempo x Posição.

Com os dados da tabela 7.2 foi construído o gráfico S x t, em duas escalas diferentes, indicados na

figura 7.1.

0 2 4 6 8 10

0

200

400

600

800

1000

S(m)

t(s) 0 2 4 6 8 10

500

520

540

560

580

600

S(m)

t(s)

Figura 7.1 – Gráficos S x t – Escolha de uma escala adequada.

a) Em qual dos dois gráficos (os dois estão corretos) se observa melhor o resultado esperado?

Justifique sua resposta.

2. Considere que a população de uma região varie linearmente conforme a função P(t) = 200t, onde

t é dado em anos. Construa, num mesmo papel milimetrado, dois gráficos Pxt em escalas

diferentes, de maneira que em um deles a população aparentemente aumente rapidamente e no

outro ela aumente lentamente.

3. Represente no gráfico y x x os pontos da tabela 7.3.

X(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y(m) 10 14 17 18 19 20 25 26 27 31

Tabela 7.3 – Y versus X

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a) Ajuste uma reta “a olho” aos pontos do gráfico e determine os coeficientes a e b desta. Compare

os valores encontrados com os de outros alunos.

b) Aplicando o Método dos Mínimos quadrados, determine a equação da reta que melhor se ajusta

aos pontos do gráfico. Represente esta reta no gráfico e compare com a reta ajustada “a olho”.