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Concordâncias

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Desenho Tecnico - ConstrucoesGeometricas

Emılio Eiji Kavamura

Eng. MecanicaUniversidade Positivo

7 de fevereiro de 2009

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

SUMARIO

1 ConcordanciasConcordancias- 2 retas e r1, r2

Concordancias - 2 retas e r1

Concordancias: 2 �s e rConcordancias - 2 pontos e r

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

TOPICOS

1 ConcordanciasConcordancias- 2 retas e r1, r2

Concordancias - 2 retas e r1

Concordancias: 2 �s e rConcordancias - 2 pontos e r

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias

Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r1 e r2

Tracar a concordancia comdois arcos com raios r1 er2.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias

A B

C D

Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r1 e r2

Tracar a concordancia comdois arcos com raios r1 er2.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias

A B

C D

r1

r2

Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r1 e r2

Tracar a concordancia comdois arcos com raios r1 er2.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias

A B

C D

r1

r2

Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r1 e r2

Tracar a concordancia comdois arcos com raios r1 er2.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias - solucao

A B

C D

r1

r2

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias - solucao

A B

C D

r1

r2

m

n

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias - solucao

A B

C D

r1

r2

m

n

pqO

r1

r2

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias - solucao

A B

C D

r1

r2

m

n

pqO

r1

r2

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias - solucao

A B

C D

r1

r2

pqO

r1

r2P

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias - solucao

A B

C D

r1

r2

pqO

r1

r2P

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias - solucao

A B

C D

r1

r2

pqO

r1

r2P

Q

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias - solucao

A B

C D

r1

r2

pqO

r1

r2P

Q

R

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias - solucao

A B

C D

r1

r2

pqO

r1

r2P

Q

R

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no17 - Concordancias - solucao

A B

C D

r1

r2

OP

Q

R

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Revisando

A B

C D

r1

r2

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Revisando

A B

C D

r1

r2

m

n

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Revisando

A B

C D

r1

r2

m

n

pqO

r1

r2

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Revisando

A B

C D

r1

r2

m

n

pqO

r1

r2

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Revisando

A B

C D

r1

r2

pqO

r1

r2P

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Revisando

A B

C D

r1

r2

pqO

r1

r2P

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Revisando

A B

C D

r1

r2

pqO

r1

r2P

Q

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Revisando

A B

C D

r1

r2

pqO

r1

r2P

Q

R

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Revisando

A B

C D

r1

r2

pqO

r1

r2P

Q

R

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Revisando

A B

C D

r1

r2

OP

Q

R

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

TOPICOS

1 ConcordanciasConcordancias- 2 retas e r1, r2

Concordancias - 2 retas e r1

Concordancias: 2 �s e rConcordancias - 2 pontos e r

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias

Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r = r1 = r2

Tracar a concordancia comdois arcos com raio r .

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias

A B

C D

Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r = r1 = r2

Tracar a concordancia comdois arcos com raio r .

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias

A B

C D

r = r1 = r2

Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r = r1 = r2

Tracar a concordancia comdois arcos com raio r .

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias

A B

C D

r = r1 = r2

Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r = r1 = r2

Tracar a concordancia comdois arcos com raio r .

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias - solucao

A B

C D

r = r1 = r2

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias - solucao

A B

C D

r = r1 = r2

m

n

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias - solucao

A B

C D

r = r1 = r2

m

n

pqO

r

r

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias - solucao

A B

C D

r = r1 = r2

m

n

pqO

r

r

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias - solucao

A B

C D

r = r1 = r2

pqO

r

rP

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias - solucao

A B

C D

r = r1 = r2

pqO

r

rP

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias - solucao

A B

C D

r = r1 = r2

pqO

r

rP

Q

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias - solucao

A B

C D

r = r1 = r2

pqO

r

rP

Q

R

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias - solucao

A B

C D

r = r1 = r2

pqO

r

rP

Q

R

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no18 - Concordancias - solucao

A B

C D

r = r1 = r2

OP

Q

R

1 m⊥AB;n⊥CD;

2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};

3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

TOPICOS

1 ConcordanciasConcordancias- 2 retas e r1, r2

Concordancias - 2 retas e r1

Concordancias: 2 �s e rConcordancias - 2 pontos e r

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no19 - Concordancias

Dados duas circunferenciasexternas uma da outra, deraios r1 e r2 entao por meiode arcos com raio r tracara concordancia das circun-ferencias.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no19 - Concordancias

α1

α2r2

r1

O2

O1

Dados duas circunferenciasexternas uma da outra, deraios r1 e r2 entao por meiode arcos com raio r tracara concordancia das circun-ferencias.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no19 - Concordancias

α1

α2r2

r1

O2

O1

r

Dados duas circunferenciasexternas uma da outra, deraios r1 e r2 entao por meiode arcos com raio r tracara concordancia das circun-ferencias.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no19 - Concordancias

α1

α2r2

r1

O2

O1

r

M1 M2

Dados duas circunferenciasexternas uma da outra, deraios r1 e r2 entao por meiode arcos com raio r tracara concordancia das circun-ferencias.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no19 - Concordancias

α1

α2r2

r1

O2

O1

r

M1 M2

Dados duas circunferenciasexternas uma da outra, deraios r1 e r2 entao por meiode arcos com raio r tracara concordancia das circun-ferencias.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no19 - Concordancias - solucao

α1

α2 O2

O1

r2

r1

r

1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};

2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}

O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};

4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}

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Problema no19 - Concordancias - solucao

α1

α2 O2

O1

r2

r1

r

1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};

2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}

O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};

4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no19 - Concordancias - solucao

α1

α2 O2

O1

r2

r1

r

M1 M2

1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};

2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}

O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};

4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no19 - Concordancias - solucao

α1

α2 O2

O1

M1 M2

A2A1

B2B1

1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};

2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}

O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};

4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no19 - Concordancias - solucao

α1

α2 O2

O1

M1 M2

A2A1

B2B1

1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};

2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}

O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};

4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no19 - Concordancias - solucao

α1

α2 O2

O1

M1 M2

A2A1

B2B1

1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};

2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}

O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};

4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

TOPICOS

1 ConcordanciasConcordancias- 2 retas e r1, r2

Concordancias - 2 retas e r1

Concordancias: 2 �s e rConcordancias - 2 pontos e r

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Problema no20 - Concordancias

Dados dois pontos P e P ′

de uma circunferencia de raioR euma reta a externatracar a partir de P e P ′

a concordancia da circunfe-rencia com a reta a.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no20 - Concordancias

P ′P

R

Dados dois pontos P e P ′

de uma circunferencia de raioR euma reta a externatracar a partir de P e P ′

a concordancia da circunfe-rencia com a reta a.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no20 - Concordancias

P ′P

R

a

Dados dois pontos P e P ′

de uma circunferencia de raioR euma reta a externatracar a partir de P e P ′

a concordancia da circunfe-rencia com a reta a.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no20 - Concordancias

P ′P

R

a

Dados dois pontos P e P ′

de uma circunferencia de raioR euma reta a externatracar a partir de P e P ′

a concordancia da circunfe-rencia com a reta a.

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no20 - Concordancias - solucao

P ′P

a

R

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no20 - Concordancias - solucao

P ′P

a

R

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no20 - Concordancias - solucao

P ′P

a

R

O

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no20 - Concordancias - solucao

P ′P

a

O

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no20 - Concordancias - solucao

P ′P

a

O

A

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}

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Problema no20 - Concordancias - solucao

P ′P

a

O

A

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}

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Problema no20 - Concordancias - solucao

P ′P

a

O

A

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}

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Problema no20 - Concordancias - solucao

P ′P

a

O

Q′Q

A

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}

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Problema no20 - Concordancias - solucao

P ′P

a

O

Q′Q

A

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

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P ′P

a

O

Q′Q

AC1 C2

D1 D2

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

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P ′P

a

O

Q′Q

AC1 C2

D1 D2

O1 O2

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

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P ′P

a

O

Q′Q

A

D1 D2

O1 O2

B1 B2

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

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P ′P

a

O

Q′Q

A

O1 O2

B1 B2

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

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P ′P

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O

Q′Q

A

O1 O2

B1 B2

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;

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P ′P

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O

Q′Q

O1 O2

B1 B2

1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};

2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;

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AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};

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