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ConcordânciasTRANSCRIPT
Desenho Tecnico - ConstrucoesGeometricas
Emılio Eiji Kavamura
Eng. MecanicaUniversidade Positivo
7 de fevereiro de 2009
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
SUMARIO
1 ConcordanciasConcordancias- 2 retas e r1, r2
Concordancias - 2 retas e r1
Concordancias: 2 �s e rConcordancias - 2 pontos e r
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
TOPICOS
1 ConcordanciasConcordancias- 2 retas e r1, r2
Concordancias - 2 retas e r1
Concordancias: 2 �s e rConcordancias - 2 pontos e r
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no17 - Concordancias
Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r1 e r2
Tracar a concordancia comdois arcos com raios r1 er2.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no17 - Concordancias
A B
C D
Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r1 e r2
Tracar a concordancia comdois arcos com raios r1 er2.
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Problema no17 - Concordancias
A B
C D
r1
r2
Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r1 e r2
Tracar a concordancia comdois arcos com raios r1 er2.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no17 - Concordancias
A B
C D
r1
r2
Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r1 e r2
Tracar a concordancia comdois arcos com raios r1 er2.
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Problema no17 - Concordancias - solucao
A B
C D
r1
r2
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};
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Problema no17 - Concordancias - solucao
A B
C D
r1
r2
m
n
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};
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Problema no17 - Concordancias - solucao
A B
C D
r1
r2
m
n
pqO
r1
r2
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};
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Problema no17 - Concordancias - solucao
A B
C D
r1
r2
m
n
pqO
r1
r2
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};
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Problema no17 - Concordancias - solucao
A B
C D
r1
r2
pqO
r1
r2P
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};
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Problema no17 - Concordancias - solucao
A B
C D
r1
r2
pqO
r1
r2P
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};
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Problema no17 - Concordancias - solucao
A B
C D
r1
r2
pqO
r1
r2P
Q
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};
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Problema no17 - Concordancias - solucao
A B
C D
r1
r2
pqO
r1
r2P
Q
R
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};
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Problema no17 - Concordancias - solucao
A B
C D
r1
r2
pqO
r1
r2P
Q
R
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};
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Problema no17 - Concordancias - solucao
A B
C D
r1
r2
OP
Q
R
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};
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TOPICOS
1 ConcordanciasConcordancias- 2 retas e r1, r2
Concordancias - 2 retas e r1
Concordancias: 2 �s e rConcordancias - 2 pontos e r
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Problema no18 - Concordancias
Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r = r1 = r2
Tracar a concordancia comdois arcos com raio r .
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Problema no18 - Concordancias
A B
C D
Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r = r1 = r2
Tracar a concordancia comdois arcos com raio r .
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Problema no18 - Concordancias
A B
C D
r = r1 = r2
Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r = r1 = r2
Tracar a concordancia comdois arcos com raio r .
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Problema no18 - Concordancias
A B
C D
r = r1 = r2
Dados dois segmentos deretas paralelos AB e CD eos raios r = r1 = r2
Tracar a concordancia comdois arcos com raio r .
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Problema no18 - Concordancias - solucao
A B
C D
r = r1 = r2
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};
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Problema no18 - Concordancias - solucao
A B
C D
r = r1 = r2
m
n
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};
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Problema no18 - Concordancias - solucao
A B
C D
r = r1 = r2
m
n
pqO
r
r
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};
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Problema no18 - Concordancias - solucao
A B
C D
r = r1 = r2
m
n
pqO
r
r
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};
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Problema no18 - Concordancias - solucao
A B
C D
r = r1 = r2
pqO
r
rP
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};
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Problema no18 - Concordancias - solucao
A B
C D
r = r1 = r2
pqO
r
rP
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};
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Problema no18 - Concordancias - solucao
A B
C D
r = r1 = r2
pqO
r
rP
Q
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};
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Problema no18 - Concordancias - solucao
A B
C D
r = r1 = r2
pqO
r
rP
Q
R
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};
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Problema no18 - Concordancias - solucao
A B
C D
r = r1 = r2
pqO
r
rP
Q
R
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};
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Problema no18 - Concordancias - solucao
A B
C D
r = r1 = r2
OP
Q
R
1 m⊥AB;n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;q⊥n, dist(q,CD) = r2;q ∩ n = {O};
3 α1 = �{O, r1 + r2};4 α1 ∩ p = {P};5 OP;6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB;7 �{P, r2} ∩ PO = {R};8 �{P, r2};9 �{O, r1};
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TOPICOS
1 ConcordanciasConcordancias- 2 retas e r1, r2
Concordancias - 2 retas e r1
Concordancias: 2 �s e rConcordancias - 2 pontos e r
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Problema no19 - Concordancias
Dados duas circunferenciasexternas uma da outra, deraios r1 e r2 entao por meiode arcos com raio r tracara concordancia das circun-ferencias.
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Problema no19 - Concordancias
α1
α2r2
r1
O2
O1
Dados duas circunferenciasexternas uma da outra, deraios r1 e r2 entao por meiode arcos com raio r tracara concordancia das circun-ferencias.
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Problema no19 - Concordancias
α1
α2r2
r1
O2
O1
r
Dados duas circunferenciasexternas uma da outra, deraios r1 e r2 entao por meiode arcos com raio r tracara concordancia das circun-ferencias.
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Problema no19 - Concordancias
α1
α2r2
r1
O2
O1
r
M1 M2
Dados duas circunferenciasexternas uma da outra, deraios r1 e r2 entao por meiode arcos com raio r tracara concordancia das circun-ferencias.
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Problema no19 - Concordancias
α1
α2r2
r1
O2
O1
r
M1 M2
Dados duas circunferenciasexternas uma da outra, deraios r1 e r2 entao por meiode arcos com raio r tracara concordancia das circun-ferencias.
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Problema no19 - Concordancias - solucao
α1
α2 O2
O1
r2
r1
r
1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}
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Problema no19 - Concordancias - solucao
α1
α2 O2
O1
r2
r1
r
1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}
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Problema no19 - Concordancias - solucao
α1
α2 O2
O1
r2
r1
r
M1 M2
1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}
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Problema no19 - Concordancias - solucao
α1
α2 O2
O1
M1 M2
A2A1
B2B1
1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no19 - Concordancias - solucao
α1
α2 O2
O1
M1 M2
A2A1
B2B1
1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}
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Problema no19 - Concordancias - solucao
α1
α2 O2
O1
M1 M2
A2A1
B2B1
1 β1 = �{O1, r1 + r};β2 = �{O2, r2 + r};
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},O2M1 ∩ α2 = {B1},O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 �{M1,M1A1};�{M2,M2A2}
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TOPICOS
1 ConcordanciasConcordancias- 2 retas e r1, r2
Concordancias - 2 retas e r1
Concordancias: 2 �s e rConcordancias - 2 pontos e r
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Problema no20 - Concordancias
Dados dois pontos P e P ′
de uma circunferencia de raioR euma reta a externatracar a partir de P e P ′
a concordancia da circunfe-rencia com a reta a.
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Problema no20 - Concordancias
P ′P
R
Dados dois pontos P e P ′
de uma circunferencia de raioR euma reta a externatracar a partir de P e P ′
a concordancia da circunfe-rencia com a reta a.
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Problema no20 - Concordancias
P ′P
R
a
Dados dois pontos P e P ′
de uma circunferencia de raioR euma reta a externatracar a partir de P e P ′
a concordancia da circunfe-rencia com a reta a.
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Problema no20 - Concordancias
P ′P
R
a
Dados dois pontos P e P ′
de uma circunferencia de raioR euma reta a externatracar a partir de P e P ′
a concordancia da circunfe-rencia com a reta a.
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Problema no20 - Concordancias - solucao
P ′P
a
R
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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Problema no20 - Concordancias - solucao
P ′P
a
R
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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Problema no20 - Concordancias - solucao
P ′P
a
R
O
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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Problema no20 - Concordancias - solucao
P ′P
a
O
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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Problema no20 - Concordancias - solucao
P ′P
a
O
A
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no20 - Concordancias - solucao
P ′P
a
O
A
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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Problema no20 - Concordancias - solucao
P ′P
a
O
A
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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Problema no20 - Concordancias - solucao
P ′P
a
O
Q′Q
A
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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Problema no20 - Concordancias - solucao
P ′P
a
O
Q′Q
A
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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Problema no20 - Concordancias - solucao
P ′P
a
O
Q′Q
AC1 C2
D1 D2
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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P ′P
a
O
Q′Q
AC1 C2
D1 D2
O1 O2
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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P ′P
a
O
Q′Q
A
D1 D2
O1 O2
B1 B2
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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P ′P
a
O
Q′Q
A
O1 O2
B1 B2
1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
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A
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1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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O1 O2
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1 β1 = �{P,R};β2 = �{P ′,R};
2 β1 ∩ β2 = {O};3 β3 = �{O,R};4 OA⊥a;5 AQtangenteβ3;
AQ′tangenteβ3;6 AD1 bissetriz de C1AQ;
AD2 bissetriz de C2AQ′;7 AD1 ∩OQ = {O1};
AD2 ∩OQ′ = {O2};8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;9 β4 = {O1,O1B1};β5 = {O2,O2B2}
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