aula - tranformações trigonométricas 2.ano a

AULA – TRIGONOMETRIATransformações Trigonométricas

2. ANO – TURMA APROF. RENATO

Conceitos Básicos em Trigonometria

Trigonometria na Circunferência1

Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Notáveis

Em um triângulo retângulo, temos que:

A Circunferência Trigonométrica

Trigonometria na Circunferência1

A circunferência trigonométrica fica dividida em quatro partes congruentes, de

acordo com os quadrantes ( Q ) do plano cartesiano associado a ela.

A Circunferência Trigonométrica

Arcos Trigonométricos

Trigonometria na Circunferência1

Note que os arcos de 0°, 90°, 180°, 270° ou 360°estão sobre os eixos

coordenados. Os arcos trigonométricos que estão sobre os eixos

não pertencem a qualquer um dos quatro quadrantes.

Razões Trigonométricas na Circunferência

Seno e Cosseno de um Arco Trigonométrico

Trigonometria na Circunferência1

No triângulo OPQ temos OQ = 1 (medida do raio da circunferência trigonométrica).

Assim, podemos encontrar seno e cosseno do ângulo interno de medida .

PQ PQ

OQ

PQ sen

1 sen sen

OP OP

OQ

OP cos

1 cos cos

Razões Trigonométricas na Circunferência

Seno e Cosseno de um Arco Trigonométrico

Trigonometria na Circunferência1

Dado um arco trigonométrico de medida

de extremidade Q( xQ, yQ ), temos:

e sen = yQcos = xQ

Nesse caso, o eixo x é chamado de eixo dos

cossenos e o eixo y, de eixo dos senos.

Transformações Trigonométricas

Fórmulas de Adição e Subtração de Dois Arcos

Trigonometria na Circunferência1

• Cosseno da soma de dois arcos:

cos ( + ) = cos cos – sen sen

• Cosseno da diferença de dois arcos:

cos ( – ) = cos cos + sen sen

Transformações Trigonométricas

Fórmulas de Adição e Subtração de Dois Arcos

Trigonometria na Circunferência1

• Seno da soma de dois arcos:

sen ( + ) = sen cos + sen cos

• Seno da diferença de dois arcos:

sen ( – ) = sen cos – sen cos

Transformações Trigonométricas

Fórmulas de Adição e Subtração de Dois Arcos

Trigonometria na Circunferência1

• Tangente da soma de dois arcos:

tgtg1

tgtg)(tg

• Tangente da diferença de dois arcos:

tgtg1

tgtg)(tg

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Trigonometria na Circunferência1

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Trigonometria na Circunferência1

Transformações Trigonométricas

Arco Duplo

Trigonometria na Circunferência1

• Cosseno do arco duplo:

cos 2 = cos2 – sen2

• cos 2 = 2 cos2 – 1

• cos 2 = 1 – 2 sen2

Transformações Trigonométricas

Arco Duplo

Trigonometria na Circunferência1

• Seno do arco duplo:

sen 2 = 2 sen cos

• Tangente do arco duplo:

2tg1

tg 22tg

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Trigonometria na Circunferência1

Resolução de Triângulos Quaisquer

Lei dos Senos

Trigonometria na Circunferência1

Para todo triângulo, a razão entre a medida de qualquer um dos lados e

o seno do ângulo oposto a esse lado é igual ao dobro da medida do raio

da circunferência circunscrita a esse triângulo.

rABACBC

2sensensen

Resolução de Triângulos Quaisquer

Lei dos Cossenos

Trigonometria na Circunferência1

Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos

quadrados dos outros dois menos o dobro do produto do cosseno do ângulo

oposto pelas medidas dos lados adjacentes a ele.

a2 = b2 + c2 – 2bc cos

b2 = a2 + c2 – 2ac cos

c2 = a2 + b2 – 2ab cos

a2 = b2 + c2 – 2bc cos

b2 = a2 + c2 – 2ac cos

c2 = a2 + b2 – 2ab cos

Exercícios Resolvidos

Trigonometria na Circunferência1

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Trigonometria na Circunferência1