aula sobre desconto
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Washington Franco MathiasJosé Maria Gomes
MatemáticaFinanceira
Com + de 600 exercíciosresolvidos e propostos
5ª Edição
Capítulo 2
DESCONTOS
MathiasGomes
Descontos
• Recebe um compromisso da aplicação;
• Que é uma nota promissória;
• Ou uma letra de câmbio.
Quando se faz uma aplicação com vencimentopré-determinado, o aplicador:
=> Obter parte do principal e dos juros, em troca do título, é uma operação de “desconto”.
MathiasGomes
Descontos
• Recebe do comprador uma duplicata.
Uma empresa faz uma venda a prazo, com venci-mento pré-determinado:
=> A empresa pode ir a um banco e transferir a posse da duplicata em troca de dinheiro.
Esta á uma operação de “descontar uma duplica-ta”.
MathiasGomes
Desconto Racional
Ou Desconto “por dentro”.
• É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento.
inNinDr+
=1
Dr = valor do descontoN = valor nominal (montante)n = número de períodos antes do vencimentoi = taxa de desconto
EXEMPLO
MathiasGomes
Exemplo
Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros cor-rente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter ?
Resolução:
3 Meses
N
{Dr
Vr
MathiasGomes
ExemploTemos:
N = 5.500,00n = 3 meses
Calculando a taxa proporcional a 1 mês:
Podemos calcular:
a) O desconto:
1240,0
12 =i
31240,01
31240,0500.5
1
x
xxD
inNinD
r
r
+=
+=
MathiasGomes
Exemplo
00,500$10,1
00,55010,01
10,000,500.5
==
+=
r
r
D
xD
b) O valor descontado:
Vr = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00
$ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nospróximos 3 meses e à taxa de 40% a.a., a aplicação de $ 5.000,00 iria render:
J = CinJ = 5.000,00 x 0,40/12 x 3 = $ 500,00
MathiasGomes
Desconto Comercial
Ou Desconto “por fora”.
• É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento.
Dc = N.i.n
Dc = desconto comercialN = valor nominal (montante)n =número de períodos antes do vencimentoi = taxa de desconto
EXEMPLO
MathiasGomes
Exemplo
Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de$ 5.500,00 é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antesdo vencimento, qual é o desconto e quanto vai obter ?
Resolução: procedendo de modo análogo, temos:
3 Meses
N
{Dc
Vc
MathiasGomes
Exemploa) O desconto:
Dc = NinDc = 5.500,00 x 0,40/12 x 3 = $ 550,00
b) O valor descontado comercial:
00,4950$9,000,500.5
)31240,01(00,500.5
)1(
==
−=
−=
VcxVc
xxVc
inNVc
Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto co-mercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o des-conto fosse racional.
MathiasGomes
ExemploÉ evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comer-
cial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juroscapaz de reproduzir o montante. Observe-se que, se o banco ga-nha $ 550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxade juros de operação é:
ou
Note-se então que, no desconto comercial, é preciso dis-tingüir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxaimplícita que é cobrada de fato.
44,0'
1111,000,950.4
00,550'
≅
==
i
i ao trimestre
ao ano
MathiasGomes
Desconto Bancário
Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa pré-fixada, cobrada sobre o valor nomi-nal.
Db = N.(in+h)
Db = desconto bancárioN = valor nominal (montante)n = número de períodos antes do vencimentoi = taxa de descontoh = taxa de despesas administrativas (taxa de despesas ban-cárias)
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploUm título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foidescontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa cor-rente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título ?
Resolução: Lembrando que: h = 0,02e procedendo de modo análogo ao exemplo an-
terior:
a) Desconto bancário:Db = N (in + h)Db = 5.500,00 (0,40/12 x3 + 0,02)Db = 5.500,00 (0,10 + 0,02)Db = $ 660,00
MathiasGomes
Exemplob) Valor descontado bancário:
Vb = N [1 - (in + h)]Vb = 5.500,00 [1 - (0,40/12 x 3 + 0,02]Vb = 5.500,00 x 0,88Vb = $ 4.840,00
Compara-se este valor que o proprietário recebeu ao descontar seu título 3 meses antes com aquele obtido via des-conto comercial ($ 4.950,00). Mais uma vez notamos que a ta-xa de desconto não corresponde à taxa implícita na operação:
5456,0"
1364,000,840.4
00,660"
≅
≅=
i
i ao trimestre
ao ano
MathiasGomes
Exemplo
É preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e bancário, calcular a taxa que realmente está sendo cobrada naoperação.
MathiasGomes
Taxa de Juros Efetiva
É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado (comercial ou bancário), gera no período, um montante igual ao valor nominal.
onde:if = taxa efetivaN = valor nominalV = valor atual (comercial ou bancário)n = número de períodos antes do vencimento
nVN
if
1−=
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploSendo o valor de desconto comercial de $ 4.950,00, o título de $ 5.500,00 saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual éa taxa de juros efetiva para desconto comercial utilizada ?
Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:
..44,0..03703,03
11111,1;3
100,495000,500.5
1
aamai
ii
nVN
i
f
ff
cf
==
−=
−=
−=
Observe-se que este é o mesmo resultado já obtido anterior-mente, por cálculo direto.
MathiasGomes
ExemploAnalogamente, com um título de $ 5.500,00 descontado 3 me-ses antes do vencimento e com um valor de desconto bancáriode $ 4.850,00, qual a taxa efetiva para desconto bancário ?
Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:
..54,0..045,03
11364,1;3
100,484000,500.5
1
aamai
ii
nVN
i
f
ff
bf
==
−=
−=
−=
Verifica-se mais uma vez que o resultado é o mesmo que o obti-do anteriormente por raciocínio direto.
MathiasGomes
Relação entre o Desconto Comercial e o Desconto Racional
Dc = Dr (1+in)
Dc = Desconto ComercialDr = Desconto Racionaln = número de períodos antes do vencimentoi = taxa de desconto
=> o Desconto Comercial pode ser entendido co-mo sendo o montante do Desconto Racional cal-culado para o mesmo período e à mesma taxa.
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploO desconto comercial de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento e à taxa de 40% a.a. é de $ 550,00. Qualé o desconto racional ?
Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:
00,500$10,1
00,550)10,01(00,550
)31240,01(00,550
)1(
==
+=
+=
+=
r
r
r
rc
D
D
xD
inDD
MathiasGomes
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