aula (função quadrática)

FUNÇÃO QUADRÁTICAFUNÇÃO QUADRÁTICA

DEFINIÇÃO

CONCAVIDADE DA PARÁBOLA

ZEROS DA FUNÇÃO

TERMO INDEPENDENTE

ESBOÇO DO GRÁFICO

VÉRTICE

IntroduçãoVamos analisar o movimento de uma bola após ser chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade inicial de 72 km/h).

A altura da bola varia em função do tempo.

Veja a tabela a seguir.

ALTURA (m)

TEMPO (s)

15 1

20 2

15 3

0 4

Note que, claramente, a bola ganha altura até 2 segundos e depois perde altura, chegando ao chão novamente no instante 4 segundos.

A função que fornece a altura, neste caso, em função do tempo é dada por:

h = 20t – 5t2

Provavelmente, Galileu foi o primeiro a

observar que um objeto em queda livre

percorre distâncias proporcionais ao quadrado do tempo decorrido.

t (s) h (m)

1 5

2 20

3 45

DEFINIÇÃO

Seja f : IR – IR uma função definida por y = ax2 + bx + c

Dizemos que f é uma Função Quadrática , onde a,b e c são

constantes reais e “x” é a variável em questão.

O gráfico descrito por uma função quadrática é uma

ParábolaParábola

Identificação de coeficientes da função quadrática

2x2 - 3x + 5 = 0

a = 2

b =-3

c = 5

-x2 + 4x - 3 = 0

a =-1

b = 4

c = -3

4x + 8x2 - 4 = 0

a = 8

b = 4

c = -4

3x - 6x2 = 0

a = -6

b = 4

c = -4

CONCAVIDADE DA PARÁBOLA

Se a > 0 Se a < 0

Concavidade Concavidade para cimapara cima

Concavidade Concavidade para baixopara baixo

y = ax2 + bx + c

TERMO INDEPENDENTE

c

y

x

y = ax2 + bx + c

Exemplo :

4

y

x

y = x2 - 2x + 4

Ponto que a reta toca no eixo y

ESBOÇO DO GRÁFICO

Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter :

Concavidade

Ponto c

Zeros

Vértice

y

x

Zeros ou RaízesJá sabemos que os zeros (ou as raízes) de uma função são os valores de x que fazem y = 0.

0)( 2 cbxaxxf

No caso de uma função quadrática, teremos uma equação do segundo grau. Relembremos então a técnica estudada.

cab ..42 a

bx

.2

Construção de GráficosVamos partir de dois exemplos para fazermos algumas generalizações:

Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3 X Y

-1 8

0 3

1 0

2 -1

3 0

4 8

X Y

-2 0

-1 3

0 4

1 3

2 0

3 -5

Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4

Coordenadas do Vértice y = ax2 + bx + c Ponto mínimo

Ponto máximo

Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são dadas por:

a

bxV 2

a

yV 4

Coordenadas do Vértice

Comentários Finais

O estudo das funções quadráticas é muito importante para a Física e para a Engenharia, pois descreve o movimento dos corpos sob ação da gravidade.

Componente:

Samuel Messias Vitor