aula (função quadrática)
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FUNÇÃO QUADRÁTICAFUNÇÃO QUADRÁTICA
DEFINIÇÃO
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA
ZEROS DA FUNÇÃO
TERMO INDEPENDENTE
ESBOÇO DO GRÁFICO
VÉRTICE
IntroduçãoVamos analisar o movimento de uma bola após ser chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade inicial de 72 km/h).
A altura da bola varia em função do tempo.
Veja a tabela a seguir.
ALTURA (m)
TEMPO (s)
15 1
20 2
15 3
0 4
Note que, claramente, a bola ganha altura até 2 segundos e depois perde altura, chegando ao chão novamente no instante 4 segundos.
A função que fornece a altura, neste caso, em função do tempo é dada por:
h = 20t – 5t2
Provavelmente, Galileu foi o primeiro a
observar que um objeto em queda livre
percorre distâncias proporcionais ao quadrado do tempo decorrido.
t (s) h (m)
1 5
2 20
3 45
DEFINIÇÃO
Seja f : IR – IR uma função definida por y = ax2 + bx + c
Dizemos que f é uma Função Quadrática , onde a,b e c são
constantes reais e “x” é a variável em questão.
O gráfico descrito por uma função quadrática é uma
ParábolaParábola
Identificação de coeficientes da função quadrática
2x2 - 3x + 5 = 0
a = 2
b =-3
c = 5
-x2 + 4x - 3 = 0
a =-1
b = 4
c = -3
4x + 8x2 - 4 = 0
a = 8
b = 4
c = -4
3x - 6x2 = 0
a = -6
b = 4
c = -4
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA
Se a > 0 Se a < 0
Concavidade Concavidade para cimapara cima
Concavidade Concavidade para baixopara baixo
y = ax2 + bx + c
TERMO INDEPENDENTE
c
y
x
y = ax2 + bx + c
Exemplo :
4
y
x
y = x2 - 2x + 4
Ponto que a reta toca no eixo y
ESBOÇO DO GRÁFICO
Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter :
Concavidade
Ponto c
Zeros
Vértice
y
x
Zeros ou RaízesJá sabemos que os zeros (ou as raízes) de uma função são os valores de x que fazem y = 0.
0)( 2 cbxaxxf
No caso de uma função quadrática, teremos uma equação do segundo grau. Relembremos então a técnica estudada.
cab ..42 a
bx
.2
Construção de GráficosVamos partir de dois exemplos para fazermos algumas generalizações:
Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3 X Y
-1 8
0 3
1 0
2 -1
3 0
4 8
X Y
-2 0
-1 3
0 4
1 3
2 0
3 -5
Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4
Coordenadas do Vértice y = ax2 + bx + c Ponto mínimo
Ponto máximo
Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são dadas por:
a
bxV 2
a
yV 4
Coordenadas do Vértice
Comentários Finais
O estudo das funções quadráticas é muito importante para a Física e para a Engenharia, pois descreve o movimento dos corpos sob ação da gravidade.
Componente:
Samuel Messias Vitor