aula 6 medidas de tendência central · medidas de posição mediana (md) É um valor real que...

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Estatística e Probabilidade

Aula 6

Medidas de Tendência CentralProfessor Luciano Nóbrega

Somatório

Quando queremos representar uma soma de valores que obedecem à uma sequência, podemos codificá-la através da expressão:

n

∑xi Que siginifica: “Soma dos valores „xi‟

i = 1 para „i‟ variando de 1 até n”

Exemplos:

5a) ∑ xi

i=1

9b) ∑ 2xi

i=6

1 – Utilize a notação sigma para representar as somas:

a)x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8

b) 3x8 + 3x9 + ... + 3x15

c) (x9 + 1) + (x10 + 1) + ... + (x23 + 1)

d) x1/2 + x2/2 + ... + x9/2

e) (7x5 – 2)3 + ... + (7x51 – 2)3

Testando os conhecimentos

n

∑xi

i = 1

Testando os conhecimentos2 – Escreva as parcelas das somas indicadas:

4

a)∑ xi

i=2

3b) ∑ xi

3

i=1

5c) ∑ (4xi - 3)2

i=3

Testando os conhecimentos3 – Calcule para a tabela abaixo, o valor numérico das

somas indicadas:

i xi fi

1 2 3

2 4 6

3 8 2

4 9 4

a) ∑ i

b) ∑ xi3

c) ∑ (xi – fi)2

Medidas de Tendência Central

Média aritméticaÉ a razão entre o somatório dos valores das variáveis e a quantidade de variáveis.

n n

x = ∑xi x = 1 .∑xii = 1 n i = 1

n

Média aritmética

Exemplo:1 – Os valores abaixo, referem-se às notas obtidas por um aluno nas quatro provas da disciplina de estatística:9,5; 7,0; 4,0; 2,5; Qual a média aritmética desse aluno?

Média aritmética

Exemplo:2 – Em uma escola, trabalham 20 funcionários e seus salários estão representados a seguir:

Qual é o salário médio dos funcionários dessa escola?

Números de funcionários 8 12

Salário (em reais) 3000 450

Média aritmética

Média aritmética de dados agrupadosNesse caso, as frequências indicam a intensidade de cada valor da variável, ou seja, elas representam fatores de ponderação.

x = ∑xifi

∑ fi

Exemplo:

Idade (xi)

Nº alunos (fi)

xifi

18 3

19 4

20 5

21 6

x =

Média aritmética

Média aritmética de dados agrupados com intervalos de classeNesse caso, devemos convencionar que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com seu ponto médio. xi → Ponto médio da classe

x = ∑xifi

∑ fi

Exemplo:

Altura (cm) fi xi xifi

155 |--- 165 3

165 |--- 175 4

175 |--- 185 5

185 |--- 195 6

x =

Testando os conhecimentos

4 – Calcule a média aritmética em cada caso:

Acidentes por dia (xi)

Quantidade de dias (fi)

xifi

0 13

1 9

2 7

3 2

Acidentes de trabalho no mês de agosto

Testando os conhecimentos

4 – Calcule a média aritmética em cada caso:

Gerenciamento de alugueis de casas

Aluguel (R$) Nº de casas (fi)

xi xifi

0 |--- 200 30

200 |--- 400 52

400 |--- 600 28

600 |--- 800 7

800 |--- 1000 3

Medidas de Tendência Central

Dados não agrupados

Basta identificar o elemento de maior frequência.Exemplo:

2, 8, 3, 5, 6, 7, 9, 2, 8, 2, 5, 2, 3, 2

Moda (mo)É o valor de maior frequência em um conjunto de dados.

2, 2, 2, 2, 2 mo = 2

Dados agrupados mas semIntervalos de classes

É só observar a variável (xi) correspondente a maior frequência (fi).

Exemplo:

Idade (xi) Nº alunos (fi)

18 3

19 8

20 5

21 9mo = 21

Medidas de posiçãoModa (mo)É o valor de maior frequência em um conjunto de dados.

Dados agrupados com intervalos de classes

Denominamos por “classe modal” a classe que apresenta a maior frequência. Existem vários métodos para o cálculo da moda com intervalos de classes.O método mais simples, conhecido como “moda bruta”, consiste em tomar como moda o ponto médio da classe modal.Exemplo: Altura (cm) fi xi

155 |--- 165 3

165 |--- 175 8

175 |--- 185 5

185 |--- 195 9

Formalizando:moda brutamo = ℓ* + L*

2Aqui,mo = 185 + 195 = 190

2

Medidas de posição

Moda (mo)É o valor de maior frequência em um conjunto de dados.

Classificação modalBimodal → É quando os dados observados possuem duas modas;

Exemplo: 2, 2, 2, 5, 8, 8, 8, 1, 3, 5 mo’ = 2 mo” = 8Trimodal → É quando os dados observados possuem três modas;

Exemplo: mo’ = 18 mo” = 19 mo” = 21

Polimodais → Genericamente, é

assim que denominamos quando os dados observados possuem mais que três modas.

Idade (xi) Nº alunos (fi)

18 8

19 8

20 5

21 8

8 repetições

8 repetições

8 repetições

Amodal → É como denominamos

uma distribuição sem repetições.

Medidas de posição

Mediana (md)É um valor real que separa o ROL ao meio.Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série.Dados não agrupados

Inicialmente, devemos ordenar os elementos em ROL;

Em seguida, determinar a quantidade total “n” de elementos;E então: Se “n” é ímpar

A mediana é o termo que ocupa a posição [(n + 1)/2]ºExemplo: 2, 8, 3, 5, 6, 9, 2, 8, 2, 5, 2, 3, 2

Em ROL:

n = 13md = (13 + 1)/2 md = 7º termo md =

Medidas de posiçãoMediana (md)É um valor real que separa o ROL ao meio.Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série.Dados não agrupados

Inicialmente, devemos ordenar os elementos em ROL;

Em seguida, determinar a quantidade total “n” de elementos;

E então:Se “n” é par

A mediana é convencionada como sendo a média dos valores

centrais do ROL. md = [(n/2)º+ (n/2+ 1)º]/2Exemplo: 2, 8, 3, 5, 6, 7, 2, 8, 2, 5, 2, 3, 2, 9

OBS: O valor da mediana pode coincidir ou não com um dos elementos da série.

n = 14 md = (7º + 8º)/2 md = (3 + 5)/2 md = 4Em ROL:

Medidas de posiçãoMediana (md)É um valor real que separa o ROL ao meio.Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série.

Dados agrupados mas sem classesInicialmente, devemos construir a coluna da frequência

acumulada (Fi);Em seguida, utilizar o mesmo procedimento para dados não agrupados para determinar a posição do elemento mediano. Exemplo:

Idade (xi) Nº alunos (fi)

Freq. Acum. (Fi)

18 3

19 8

20 5

21 9

Total 25 ////////////////////

3

11

16

25

n = 25 (ímpar)

md = (25 + 1)/2

md = 13º termo

O 13º termo está na 3ª classe, portanto a mediana é 20.

Testando os conhecimentos

1 – Calcule a média, a moda e a mediana da série:

xi fi xifi Fi

2 5

4 8

6 12

8 9

Total

Medidas de posiçãoMediana (md)É um valor real que separa o ROL ao meio.Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série.

Dados agrupados com intervalos de classes

Precisaremos utilizar a fórmula:

md = ℓmd + n/2 - Fant . h

fmd

Altura (cm) fi Fi

155 |--- 165 3 3

165 |--- 175 8 11

175 |--- 185 4 15

185 |--- 195 9 24

Para entendermos de onde vem essa fórmula, vejamos o seguinte exemplo:

1º) Determinamos a classe mediana

∑fi = 24 = 12 ou seja, entre 12 e 13

2 2

A classe mediana é a 3ª classe, pois é ela que contém as posições 12 e 13.

Medidas de Tendência Central

Dados agrupados com intervalos de classes

Precisaremos utilizar a fórmula:

md = ℓmd + n/2 - Fant . h

fmd

Altura (cm) fi Fi

155 |--- 165 3 3

165 |--- 175 8 11

175 |--- 185 4 15

185 |--- 195 9 24

1º) Determinamos a classe mediana∑fi=12

2

2º) Decompomos a classe mediana uniformemente na quantidade de elementos da classe;

11 12 15175 md 185

Ou seja:15 – 11 = 12 – 11

185 – 175 md – 175

4 = 12 – 11 10 x

x = 12 – 11 . 10 4

3º) Calculamos mdmd = 175 + x

md = 175 + 12 – 11 . 10 4

Limite inferior da classe mediana;

Metade dos elementos da série;

FrequênciaAcumulada Anterior;

Amplitude da classe;

Frequência da classe mediana.

Testando os conhecimentos

2 – Calcule a média, a moda e a mediana da série:

Classes fi xi xifi Fi

3 |--- 6 7

6 |--- 9 5

9 |--- 12 2

12 |--- 15 9

15 |--- 18 5

md = ℓmd + n/2 - Fant . h

fmd

x = ∑xifi

∑ fi