aula 2 - sistemas livres

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Capítulo 2. REVISÃO DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS

2.1. Sistemas com 1 Grau de Liberdade

2.1.1. Sistemas Livres sem Amortecimento

2.1.2. Sistemas Livres com Amortecimento

2.1.3. Sistemas Forçados com Excitação Harmônica

2.1.4. Sistemas Forçados com Excitação Periódica

2.2. Sistemas com N Graus de Liberdade

2.2.1. Sistemas com 2 GDL

2.2.2. Equação Matricial do Movimento

2.2.3. Determinação de Freqüências naturais e Formas Modais

2.2.4. Vibração Forçada de Sistemas com 2 GDL

2.2.5. Equações de Lagrange

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2.1. SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE

2.1.1. Sistemas Livres Sem Amortecimento

Não há forças externas agindo no sistema

O sistema só entrará em movimento devido à aplicação de

uma condição inicial de deslocamento e/ou velocidade

Não há amortecimento (C = 0 ou =0)

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Sistema Massa-Mola de 1 GDL:

x(t)

Determinação do equação do movimento:

1) Utilizando a 2a Lei de Newton

2) Utilizando o Método da Conservação da Energia

Dados k, m e as condições iniciais de deslocamento e de velocidade

Determinar o modelo matemático (equação diferencial do movimento) e a resposta

Somente uma coordenada para descrever a posição do sistema: a coordenada x(t)

.

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Obtenção do Modelo Matemático a partir da 2a Lei de Newton:

1. Selecionar uma coordenada adequada:

Linear para descrever a translação de um ponto da massa rígida (normalmente o centro de massa) ou Angular para descrever a rotação de um corpo rígido.

2. Definir a posição de equilíbrio estático do sistema e usá-la como origem da coordenada escolhida.

3. Desenhar o Diagrama de Corpo Livre (DCL) da massa rígida para uma posição de deslocamento e velocidade positivas. Identificar todas as forças que atuam sobre a massa.

4. Aplicar a 2a Lei de Newton:

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Coordenada x(t) que é medida a partir da posição de equilíbrio estático P.E.E., sendo seu valor positivo para à direita.

Determinação da Eq. do movimento usando a 2ª Lei de Newton

Posição genérica do sistema,

mas, de deslocamento positivo.

Diagrama de Corpo Livre: isolar a massa e identificar as forças atuantes na mesma.

Fk(t)= k x(t)

2ª Lei de Newton:

( )ma t F ( ) ( ) 0mx t kx t ( ) ( )kmx t F t( )F ma t

( )mx t F( ) ( )mx t kx t

Eq. do movimento ou Modelo matemático

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Resposta da Equação do Movimento do Sistema livre Sem Amortecimento (Expressão da Movimento Vibratório)

( ) ( ) 0k

x t x tm

( ) ( ) 0mx t kx t 2 ( ) ( ) 0nx t x t Equação do Movimento

Supondo solução do tipo:

(Rever método dos coeficientes a determinar – um método de solução de

equações diferenciais)

taetx )(

Derivando a solução proposta duas vezes:

a e constantes a serem determinadas

teatx )( teatx 2)(

e substituindo na equação do movimento, chega-se a equação característica: 0 22 nque fornece duas raízes: nj 2,1

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Portanto, chega-se a duas soluções particulares:tjt neaeatx 111

1)( e tjt neaeatx 2222)(

Logo, a solução total é dada por:tjtj nn eaeatxtxtx 2121 )()()(

Utilizando as relações de Euler :

sencos

sencos

je

jej

j

)sen(cos)sen(cos)( 21 tjtatjtatx nnnn

tjaataatx nn sen)(cos)()( 2121

Finalmente, a solução da equação diferencial do movimento, que representa a expressão do movimento de vibração (oscilação) é dada por:

tAtAtx nn sencos)( 21

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tAtAtx nn sencos)( 21

A1 e A2 dependem das condições iniciais de deslocamento e/ou velocidade: 00 )0( )0( xxexx

01 xA n

xA 02

tx

txtx nn

n

sencos)( 00

ou )sen( )( tAtx n

202

022

21

n

xxAAA

arctg0

0

x

x n

Para determinar as expressões de A1 e A2, aplicam-se as condições de contorno (condições iniciais) na expressão do movimento de resposta vibratória. Desta forma, obtém-se:

Logo, as expressões do movimento são dadas por

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RESUMO SOBRE SISTEMAS COM 1 GDL COM MOVIMENTO TRANSLACIONAL

Eq. do Movimento ou Modelo Matemático:

Solução ou Resposta, que fornece a expressão do movimento vibratório:

0 kxxm 0 2 xx n

tx

txtx nn

n

sencos)( 00

ou

ou )sen( )( tAtx n

202

022

21

n

xxAAA

arctg0

0

x

x n

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Molas Associadas em Paralelo:

Molas Associadas em Série:

21 kkmg

)( 21 eqkkkmg

eqkmg

21 kkkeq

Generalizando para n molas em paralelo:

n

iieq kk

eqk

mg

11 k

mg

21

22 k

mg

21 k

mg

k

mg

k

mg

eq 21

111

kkkeq

Generalizando para n molas em série:

n

i ieq kk

11

11

Molas Equivalentes

Na análise de sistemas vibratórios é conveniente substituir elementos elásticos por molas equivalentes.

Molas Tipo Vigas:

1) Viga engastada com massa concentrada em sua extremidade:

EI

L 3

3

EI

mgL

Na condição de equilíbrio estático:

3

3 eq

EIk mg k

L

2) Viga bi-engastada com carga localizada no centro:

3) Viga bi-apoiada :

EI

L3

192 eqEI

kL

2

3

( )eq

EILk

ab

a b

L 3

48, para eq

EIk a b

L

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Massas Efetivas

(Quando Considera-se a Massa da Mola)

Se mm m, despreza-se mm e rad/s m

keqn

Se mm não for desprezível em relação a m, então rad/s

ef

eqn m

k

Para molas helicoidais: mef mmm3

1

Para molas tipo viga:

Viga bi-apoiada com carga central

Viga engastada

mef mmm35

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mef mmm 23,0

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Sistemas Livre Sem Amortecimento de 1 Grau de Liberdade

com Movimentos Angulares

2a Lei de Newton para sistema torcionais:

)( tJM oo

Somatório dos momentos (ou torques) em torno do eixo de rotação é igual ao momento de inércia de massa do corpo sob oscilação (em torno do eixo que passa por ‘o’- o centro de rotação’) vezes a aceleração angular do corpo

)()( tktJ to 0 to kJ

rad/s o

tn J

k

Equação do Movimento

Freqüência Natural

o

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2.1.2. Sistemas Livres Amortecidos

0)()()( tkxtxctxm

a) Amortecedores em paralelo: n

iieq cc

n

i ieq cc

11b) Amortecedores em série:

Equação do Movimento:

Sistema oscila devido às condições

iniciais

* Fator de Amortecimento ():km

c

m

c

c

c

nc 22

Podemos escrever a equação do movimento em termos de e n (em vez de m, c e k):

0)()(2)( 2 txtxtx nn Equação do Movimento:

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Supondo solução do tipo e substituindo-a juntamente com as suas derivadas na equação do movimento, tem-se a seguinte equação característica:

tBetx )(

02 22 nn

Cujas raízes são dadas por:

122,1 nn

Dependendo do valor de as raízes podem reais ou complexas. Para haver oscilação do sistema, as raízes devem ser complexas. Pois, uma exponencial complexa pode ser escrita em termos de funções harmônicas (já que estas descrevem um movimento oscilatório)

1o Caso: 1

1 e 2 são reais, distintas e negativas, desde que 12

121 nn 12

2 nn

Autovalores do sistema

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1 21 2( ) t tx t B e B e

tt nnnn eBeBtx )1(2

)1(1

22)(

Como as raízes são negativas, o movimento diminui com o tempo

O movimento é dito ser SUPERAMORTECIDO

O movimento não é oscilatório (vibratório)

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2o Caso: = 1 n 21

tt netBBetBBtx )()()( 21211

Novamente tem-se uma exponencial decrescente, logo, o movimento diminui com o tempo

O movimento é dito ser CRITICAMENTE AMORTECIDO

O movimento não é oscilatório (vibratório)

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3o Caso: < 1 122,1 nn

2222 11)1()1)(1(01 j

22,1 1 nn j

dn j 2,1

21 nd

Freqüência Natural Amortecida

nd

Autovalores do sistema (parte real deve ser negativa)

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tjtj dndn eBeBtx )(2

)(1)(

tjttjt dndn eeBeeBtx 21)(

)()( 21tjtjt ddn eBeBetx

]sen)(cos)[()( 2121 tjBBtBBetx ddtn

)sencos()( 21 tAtAetx ddtn

01 xA d

nxxA

002

A1 e A2 determinados através das condições iniciais

(Usando as eq’s de Euler)

Solução

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)sen()( tAetx dtn

A resposta também pode ser escrita por:

O movimento é harmônico de freqüência d e amplitude que decresce exponencialmente

O movimento é oscilatório (vibratório)

O movimento é dito ser SUBAMORTECIDO

22

21 AAA

21 /arctg AA