aula 2 magnetismo
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Disciplina de Eletromagnetismo 1
1-MAGNETISMO1-MAGNETISMO(Pgina 5 a 23 da apostila Fundamentos do Eletromagnetismo, (Pgina 5 a 23 da apostila Fundamentos do Eletromagnetismo,
do professor Fernando Luiz Rosa Mussoi)do professor Fernando Luiz Rosa Mussoi)
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Disciplina de Eletromagnetismo 2
COMPETNCIASCOMPETNCIAS ConhecerConhecer as leis fundamentaisleis fundamentais do EletromagnetismoEletromagnetismo e suas aplicaesaplicaes.
HABILIDADESHABILIDADES CompreenderCompreender o processo de formaoformao de campocampomagnticomagntico e caractersticas do magnetismo;
AnalisarAnalisar situaessituaes onde o campo magntico proporciona mudanamudana no meio ambientemeio ambiente;
AnalisarAnalisar situaes onde a fora magnticafora magntica e a relutnciarelutncia magnticamagntica influenciam circuitos circuitos eltricoseltricos;
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Disciplina de Eletromagnetismo 3
CONTEDOCONTEDO
INTRODUO ORIGEM DO MAGNETISMO:
Tipos de ms, Teoria de Weber e Teoria dos Domnios Magnticos.
CAMPO MAGNTICO: Caractersticas das linhas e Densidade de Campos Magnticos.
IMANTAO: Materiais Moles e Duros.
CLASSIFICAO DOS MATERIAIS: Ferromagnticos, Diamagnticos, Paramagnticos e Ferrimagnticos.
PERMEABILIDADE MAGNTICA. RELUTNCIA MAGNTICA.
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Disciplina de Eletromagnetismo 4
INTRODUOINTRODUOH mais de 2500 anos, os gregosgregos sabiam da
existncia de um certo tipo de pedra (hoje chamada de magnetita magnetita ou m permanentem permanente) que atraaatraa pedaos de ferro (limalhas).
A palavra m vem do francs aimantaimant que significa amanteamante, em relao sua caracterstica de atraoatrao.
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Disciplina de Eletromagnetismo 5
Na China, no sculo a.C., observou-se que um im suspenso por um fio (ou flutuando sobre a gua), tende a orientar-se na direo norte-sul terrestre. Isto deu origem BssolaBssola.
A bssola um mm, assim como o planeta Terra. Todo m tem um plo plo nortenorte e outro sulsul, sendo que os opostosopostos se atraematraem. Por isso, o plo nortenorte magntico da bssola magntico da bssola(ponteiro pintadopintado) aponta para o plo plo sulsul magntico do planeta magntico do planeta que, por coincidncia, est perto do plo plo nortenortegeogrfico da Terrageogrfico da Terra.
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Disciplina de Eletromagnetismo 6
Embora as cargas eltricas e os plos magnticos sejam similares em vrios aspectos, existe uma importante diferena entre eles: os plos magnticos sempre ocorrem aos pares. Quando um m dividido ao meio, plos iguais e opostos aparecem em cada lado do ponto de quebra. Isso resulta em dois ms, cada um com um plo norte e um plo sul.
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Disciplina de Eletromagnetismo 7
1. (Direito C. L. 97) Sabe-se que, ao contrrio do que ocorre na Terra, no existe um campo magntico na superfcie da Lua. Pode-se, ento, concluir que, se uma agulha imantada, usada como bssola na Terra, for levada para a Lua, ela:a) fornecer leituras mais precisas do que ao ser usada na Terra. b) indicar a direo norte-sul lunar.c) perder sua imantao. d) no ser desviada quando colocada prxima de uma corrente eltrica contnua. e) no poder ser usada como bssola magntica.
2. Quando um m permanente em forma de barra partido ao meio, observa-se que:a) as extremidades de uma das metades so plos norte e as extremidades da outra metade so plos sul.b) as propriedades magnticas desaparecem. c) em cada uma das metades temos polo norte e polo sul. d) numa metade, temos uma extremidade com polo norte e a outra extremidade sem polo e, na outra metade, temos uma extremidade com polo sul e a outra extremidade sem polo. e) o nmero e o tipo dos plos, em cada metade, depender do material de que feito o m.
EXERCCIOSEXERCCIOS
http://www.fisicaevestibular.hpg.ig.com.br/campomag.htm
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Disciplina de Eletromagnetismo 8
Em 12601260, o francs Petrus Peregrinusobservou que, as extremidades de um im possuem um poder maior de atrao pelo ferro: so os plos magnticos.
DESCUBRA O SENTIDO DAS FORAS MAGNTICAS:
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Disciplina de Eletromagnetismo 9
Em 16001600, William Gilbert descobriu que a Terra era um mm naturalnatural com plos magnticos prximos aos plos norte e sul geogrficos:
Magnetismo terrestre:Magnetismo terrestre:
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Disciplina de Eletromagnetismo 10
Em 17501750, a atraoatrao e a repulsorepulso dos plos magnticos foram estudadas quantitativamente por JohnJohn MichellMichell. Plos iguais se repelem e plos diferentes se atraem.
DESCUBRA O SENTIDO DAS FORAS MAGNTICAS:
ATRAOATRAO
REPULSO
REPULSO
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Disciplina de Eletromagnetismo 11
Em 1920 foram desenvolvidos ms de maior capacidade com ligas de AlnicoAlnico(Alumnio, Nquel e Cobalto), que retm um magnetismo muito intenso e so usados na fabricao de alto-falantes. TMaxTrab = 550oC. Aplicaes: Placas magnticas, sensores (reeds) e levantadores de carga.
Em 1950 grandes avanos foram feitos no desenvolvimento de ms cermicos orientados (FerritesFerrites) feitos com ligas de Mangans e Zinco (MnZn) e Nquel e Zinco (NiZn). TMaxTrab = 250oC. Aplicaes: Alto-falantes, sensores e motores CC.
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Disciplina de Eletromagnetismo 12
Em 1970 foram obtidos impressionantes aumentos de foras magnticas a partir de ligas de SamrioSamrio CobaltoCobalto (terras raras), mas com custos elevados. TMaxTrab = 250oC. Aplicaes: micro-motores e sensores automotivos.
Em 1980, da famlia das terras raras, os ms de Neomdio-Ferro-BoroNeomdio-Ferro-Boro surgiram com capacidades magnticas ainda maiores e com custos menores, porm muito sensveis a temperaturas elevadas. TMaxTrab = 180oC. Aplicaes: Auto-falante, brindes, equipamentos eletrnicos.
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Disciplina de Eletromagnetismo 13
FONTE: http://www.imatec.ind.br/imasferrite.html
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Disciplina de Eletromagnetismo 14FONTE: http://www.magnetosgerais.com.br/
Tabela comparativa entre diferentes tipos de ms:
Campo Coercivo (Hc)Campo Coercivo (Hc): representa o campo desmagnetizante necessrio para reduzirreduzir a induo magntica a zero. Ou seja, representa a dificuldadedificuldade em desmagnetizar um material.
Anisotrpico - Quando um m possui orientao preferencial do campo.
Isotrpico - Quando um m NO possui orientao preferencial do campo.
Induo remanente (Br)Induo remanente (Br): um valor alto resulta um fluxo magntico elevado.
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Disciplina de Eletromagnetismo 15FONTE: Materiais Magnticos para a indstria automobilistica, Fernando Landgraf (Artigo).
Segundo quadrante de curvas BxH de vrios ms comerciais disponveis no mercado, com valores no sistema cgs (gauss x oersteds) e sistema internacional (tesla x kA/m)
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Disciplina de Eletromagnetismo 16
Exemplo comparativo de ms em motores eltricos (fonte: artigo Motor de ms permanentes e Invesor de Frequencia WEG)
Reduo de 47% no volume.
Neodmio FerriteCaro Barato
Hc e Br alto Hc e Br baixoDimenso motor menor Dimenso maior
Temp. Trab. 180*C Temp.Trab. 350*C
ms superficiais ms internosTorque menor Torque maior
Limitada faixa de velocidade Faixa maior de velocidadeProtegido contra fora centrfuga
MOTOR COM MS SUPERFICIAIS E INTERNOS - BRUSHLESS AC
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Disciplina de Eletromagnetismo 17
RESUMORESUMO H mais de 2500 anos, os gregos conheciam as propriedades da magnetita (ou m permanente).
No sculo I, na China, surgiu umas das primeiras aplicaes do m, a bssola.
Os polos magnticos (N e S) so INDIVISVEIS. Em 1260, Petrus descobriu que o ma ATRAA o FERRO. Em 1600, Gilbert descobriu que a Terra era um enorme m natural. Em 1750, Michell descobriu a atrao e repulso entre os polos magnticos.
Em 1920 descobriu-se o im do tipo ALNICO. Em 1950 descobriu-se o m do tipo FERRITE. Em 1970 descobriu-se o m do tipo SAMRIO-COBALTO. Em 1980 descobriu-se o m do tipo NEODMIO-FERRO-BORO.
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Disciplina de Eletromagnetismo 18
Tipos de MS:
NATURAISNATURAIS Magnetita, composto por xido de Ferro (Fe3O4)
ARTIFICIAISARTIFICIAIS composto por metais e ligas cermicas, e podem ser TEMPORRIOS (ferro doce, mais puro) ou PERMANENTES (ligas de ao, Ferro e Carbono, contendo Nquel ou Cobalto).
O magnetismo a expresso de uma forma de energia, normalmente associada a foras de atrao e de repulsoentre alguns tipos particulares de materiais, chamados de ms.
ORIGEM DO MAGNETISMOORIGEM DO MAGNETISMO
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Disciplina de Eletromagnetismo 19
TEORIA DE WEBER:TEORIA DE WEBER: toda substncia magntica composta de ms muito pequenos, chamados de ms Elementares.
Um material apresenta propriedades magnticas, quando h uma predominncia de ims elementares orientadossobre os no orientados. Assim, genericamente, pode-se dizer que: Materiais Materiais MagnticosMagnticos:: so aqueles que permitem a orientao dos seus ims elementares.
Exemplos: ferro, nquel e algumas ligas metlicas, como o ao.
Materiais Materiais No-MagnticosNo-Magnticos:: so aqueles que no permitem a orientao dos seus ims elementares.
Exemplos: alumnio, madeira, plstico, entre outros.
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Disciplina de Eletromagnetismo 20
ms Elementares
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Disciplina de Eletromagnetismo 21
TEORIA DOS DOMNIOS TEORIA DOS DOMNIOS MAGNTICOS:MAGNTICOS: um exame microscpico revelaria que um im , na verdade, composto por pequenas regies, na sua maioria com 1mm de largura ou comprimento [Giancoli], que se comportam como um pequeno m independente, com os seus dois plos.
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Disciplina de Eletromagnetismo 22
RESUMORESUMO
TIPOS DE MAS: NATURAISNATURAIS (magnetita) e os ARTIFICIAISARTIFICIAIS (temporrios, ferro doce, ou permanente, ligas de Ni, Fe, Co).
Segundo a teoria de Weber temos os seguintes materiais: MAGNTICOSMAGNTICOS (permite a oritentao dos ms elementares) e os NO-MAGNTICOSNO-MAGNTICOS (NO permite a orientao dos ms elementares).
Um m composto por vrias regies pequenas, e se comportam como pequenos ms independenteschamados de domnios magnticos. No caso do m estes domnios esto orientados.
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Disciplina de Eletromagnetismo 23
a REGIO ao redor de um m, na qual se observa um efeito magntico. Esse efeito percebido pela ao de uma FORA MAGNTICA de ATRAO ou de REPULSO.
A representao visual do Campo Magntico feita atravs de Linhas de Campo Magntico, ou Linhas de Induo Magntica, ou Linhas de Fluxo Magntico. Estas linhas so envoltrias imaginrias fechadasfechadas que SAEMSAEM do plo NORTENORTE e ENTRAMENTRAM no plo SULSUL.
CAMPO MAGNTICOCAMPO MAGNTICO
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Disciplina de Eletromagnetismo 24
Figura 3.2 Visualizao das Linhas de Campo com limalha de ferro: (a) um m em forma de barra (Fonte: Giancoli. Physics for engineers and scientists; (b) dois ms em barra com polos opostos se defrontando concentram as linhas de campo; (c) dois ms em barra com plos iguais se defrontando deformam as linhas de campo; (d) linhas de campo de um m em ferradura (U) visto do topo (Fonte:http://www.feiradeciencias.com.br/sala13/13_T01.asp).
a
b
c
d
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Disciplina de Eletromagnetismo 25
So sempre linhas fechadas: saem e voltam a um mesmo ponto;
As linhas nunca se cruzam;
Fora do m, as linhas saem do plo norte e se dirigempara o plo sul;
Dentro do m, as linhas so orientadas do plo sul para o plo norte;
Saem e entram na direo perpendicular s superfcies dos plos;
Nos plos a concentrao das linhas maior: quanto maior concentrao de linhas, mais intenso ser o campo magntico numa dada regio.
CARACTERSTICAS DAS LINHAS DE CARACTERSTICAS DAS LINHAS DE CAMPO MAGNTICO:CAMPO MAGNTICO:
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Disciplina de Eletromagnetismo 26
Quem o plo Norte e Sul na figura abaixo?
Qual o campo uniforme e o no-unifome?
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Disciplina de Eletromagnetismo 27
DENSIDADE DE CAMPO MAGNTICO DENSIDADE DE CAMPO MAGNTICO ou DENSIDADE DE FLUXO MAGNTICO (B):ou DENSIDADE DE FLUXO MAGNTICO (B):
Um Weber corresponde a 1x108 linhas do campo magntico [Giancoli].
A Densidade de Fluxo MagnticoDensidade de Fluxo Magntico, cuja unidade Tesla (T), uma relao entre o Fluxo magntico (Wb) e a rea (m2):
1T=104Gauss
O Fluxo magntico, cuja unidade o Weber (Wb), simbolizado por , definido como o conjunto de todas as linhas de campo que atingem perpendicularmente uma dada rea (A).
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Disciplina de Eletromagnetismo 28
Exemplo 3.1.
Um fluxo magntico de 8.10-6Wb atinge perpendicularmente uma superfcie de 2cm2. Determine a densidade de fluxo B.
Temos: 2cm2 = 2.10-4 m2. Substituindo na equao:
Assim, a densidade de fluxo magntico de 4.10-2T.
Faa novos clculos com os dados abaixo:
a) = 6x10-5Wb e A = 1,2x10-3 m2. B =
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Disciplina de Eletromagnetismo 29
CONVERSES entre Parmetros Magnticos: (FONTE: Introduo a Anlise de Circuitos, Boylestad)
= 3,20 linhas/Am= 1 gauss/oersted4pix10-7 Wb/Amo
InglsCGSSI (MKS)
= 1550 pol.2= 104 cm21 m2A
Linhas/pol.2
= 6,452x104 linhas/pol.2
Gauss(maxwell/cm2)= 104 gauss
Wb/m2
1 Wb/m2 = 1 TB
Linhas =108 linhas
Maxwell = 108 maxwell
Webers (Wb)1 Wb
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Disciplina de Eletromagnetismo 30
Com base na tabela de converso de unidades magnticas, indique as unidades de cada grandeza abaixo:
InglsInglsCGSCGS
8x10-4T5x10-4WbSISIBB
InglsIngls
4,65x10-5 gauss60.000 maxwellsCGSCGSSISI
BB
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Disciplina de Eletromagnetismo 31
IMANTAOIMANTAO o fenmeno de induo magntica de um material provocada pela proximidadeproximidade de um campocampo magnticomagntico.
Pregos e tachas transformam-se em ms temporrios.
Os domnios magnticos do ferro, que normalmente esto orientados em todas as direes ao longo da barra, ficamorientados em uma direo predominante, como num im.
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Disciplina de Eletromagnetismo 32
Materiais Magneticamente Materiais Magneticamente MolesMoles: : ao afastar o m, os domnios magnticos do ferro voltam a se desorientardesorientar. Exemplo: Ferro Puro (ferro doce ou soft iron).
Materiais Magneticamente Materiais Magneticamente DurosDuros ( (ms permanentesms permanentes): ): ao afastar o m, os domnios magnticos do ferro permanecem orientadosorientados. Exemplo: Ao e Ferrite.
Um material pode perderperder suas propriedades magnticas quando submetido a choqueschoques mecnicosmecnicos.
Ponto de Curie: temperaturatemperatura na qual um m perdeperde suas propriedade magnticas. Ao abaixar a temperatura o mesmo pode voltar a ser um m.
Ferro 770oCCobalto 1131oCNquel 358oC
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Disciplina de Eletromagnetismo 33
CLASSIFICAO DOS CLASSIFICAO DOS MATERIAISMATERIAIS
FERROMAGNTICO: Seus ims elementares sofrem grandegrande influncia do campo magntico indutor. So fortemente atrados pelos ms. Exemplo: ferroferro, aos especiais, cobalto, nquel, e algumas ligas (alloys) como AlnicoAlnico e Permalloy.
PARAMAGNTICO: Seus ims elementares sofrem pequenapequena influncia do campo magntico indutor. So fracamentefracamente atrados pelos ms. Exemplo: alumnioalumnio, sdio, mangans, estanho, cromo, platina, paldio, oxignio lquido, sdio, etc.
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Disciplina de Eletromagnetismo 34
DIAMAGNTICO: Seus ims elementares sofrem pequenapequena influncia do campo magntico indutor. So fracamente repelidos pelos ms. Exemplo: cobre, gua, mercrio, ouro, prata, bismuto, antimnio, zinco, chumbo, Cloreto de Sdio (NaCl), etc.
FERRIMAGNTICO: So semelhantes aos ferromagnticosferromagnticos. Possuem alinhamento em anti-paralelo, porm a magnetizao resultante no nula. A fora resultante menormenor do que nos materiais ferromagnticos. Exemplo: xidos magnticos como a FerriteFerrite.
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Disciplina de Eletromagnetismo 35
PERMEABILIDADE PERMEABILIDADE MAGNTICAMAGNTICA
A Permeabilidade Magntica de um material uma medida da facilidadefacilidade com que as linhaslinhas de campocampo podem atravessaratravessar um dado materialmaterial. um conceito similarsimilar a Resistividade Resistividade EltricaEltrica.
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Disciplina de Eletromagnetismo 36
Barra de ferro doce
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Disciplina de Eletromagnetismo 37
A permeabilidade magntica no vcuopermeabilidade magntica no vcuo, o, vale:
A unidade de permeabilidade tambm pode ser expressa por Tesla-metro por Ampre, Tm/ATm/A ou ainda, Henry por metro, H/mH/m.
A propriedade de um material pela qual ele mudamuda a induoinduo de um campo magntico, em relao ao seu valor no vcuovcuo, chamada Permeabilidade Magntica RelativaRelativa (R ):
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Disciplina de Eletromagnetismo 38
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Disciplina de Eletromagnetismo 39
RELUTNCIA RELUTNCIA MAGNTICAMAGNTICA
A relutnciarelutncia magnticamagntica uma medida da oposiooposio que um meiomeio oferece ao estabelecimentoestabelecimento e concentraoconcentrao das linhaslinhas de campo magntico. anloga a resistncia eltrica.
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Disciplina de Eletromagnetismo 40
Qual apresenta relutncia: ALTA, BAIXA e MENOR?
Qual apresenta caminho magntico de ALTA e BAIXA relutncia?
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Disciplina de Eletromagnetismo 41
EXERCCIOSEXERCCIOS01.(Cesgranrio-RJ) Aproxima-se uma barra imantada de uma pequena bilha
de ao, observa-se que a bilha:
a) atrada pelo plo norte e repelida pelo plo sul.b) atrada pelo plo sul e repelida pelo plo norte.c) atrada por qualquer dos plos.d) repelida por qualquer dos plos.e) repelida pela parte mediana da barra.
02.(PUC-RS) Trs barra, PQ, RS e TU, so aparentemente idnticas. Verifica-se experimentalmente que P atrai S e repele T; Q repele U e atrai S. Ento, possvel concluir que:
a) PQ e TU so ms.b) PQ e RS so ims.c) RS e TU so ims.d) as trs so ims.e) somente PQ im.
http://www.fisicapaidegua.com/teoria/exercicios_mag/introducao.htm
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Disciplina de Eletromagnetismo 42
03.(Eng. Santos-SP) O plo sul de um im natural:a) atrai o plo sul de outro m, desde que ele seja artificial.b) repele o plo norte de um m tambm natural.c) atrai o plo norte de todos os ms, sejam naturais ou artificiais.d) atrai o plo sul de outro m, sejam naturais ou artificiais.e) no interage com um eletrom em nenhuma hiptese.
04.(UFSC) Uma bssola aponta aproximadamente para o Norte geogrfico porque:I) o Norte geogrfico aproximadamente o norte magntico.II) o Norte geogrfico aproximadamente o sul magntico.III) o Sul geogrfico aproximadamente o norte magntico.IV) o sul geogrfico aproximadamente o sul magntico.
Est(o) correta(s):a) II e III. b) I e IV.c) somente II.
d) somente III. e) somente IV.
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Disciplina de Eletromagnetismo 43
05.(UFMA) Por mais que cortemos um m, nunca conseguiremos separar seus plos. Qual o nome deste fenmeno?a) Desintegrabilidade dos plos.b) Separibilidade dos plos.c) Inseparibilidade dos plos.d) Magnetibilidade dos plos.
06.(UFES) Quando magnetizamos uma barra de ferro estamos:a) retirando eltrons da barra.b) acrescentando eltrons barra.c) retirando ms elementares da barra.d) acrescentando ms elementares da barra.e) orientando os ms elementares da barra.
07.(UFPA) Para ser atrado por um m, um parafuso precisa ser:a) mais pesado que o m.b) mais leve que o m.c) de lato e cobre. d) imantado pela aproximao do m.e) formando por uma liga de cobre e zinco.
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Disciplina de Eletromagnetismo 44
08.(ITA-SP) Um pedao de ferro posto nas proximidades de um m, conforme o esquema abaixo. Qual a nica afirmao correta relativa situao em apreo?
a) o im que atrai o ferro. b) o ferro que atrai o m. c) a atrao do ferro pelo m mais intensa do que a atrao do m pelo fero. d) a atrao do m pelo ferro mais intensa do que a atrao do ferro pelo m. e) a atrao do ferro pelo m igual atrao do m pelo ferro.
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Disciplina de Eletromagnetismo 45
09.(Cesgranrio-RJ) a bssola representada na figura repousa sobre a sua mesa de trabalho. O retngulo tracejado representa a posio em que voc vai colocar um m, com os plos respectivos nas posies indicadas. Em presena do m, a agulha da bssola permanecer como em:
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Disciplina de Eletromagnetismo 46
10.(PUC-PR) Pendura-se um alfinete pela ponta em uma tesoura. Em seguida, pendura-se um outro alfinete em contato somente com o anterior. Pode-se dizer que: a) o segundo alfinete atrado pela tesoura.b) s o primeiro alfinete foi induzido a funcionar como m.c) o segundo alfinete suspenso devido ao seu pouco peso. d) os dois alfinetes funcionam como ms.e) nada dito acima explica o fato.
11.(Cesgranrio-RJ) Quatro bssolas esto colocadas no tampo de uma mesa de madeira nas posies ilustradas na figura. Elas se orientam conforme mostrado, sob a ao do forte campo magntico de uma barra imantada colocada em uma das cinco posies numeradas. O campo magntico terrestre desprezvel. A partir da orientao das bssolas, pode-se concluir, que o m est na posio:
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
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Disciplina de Eletromagnetismo 47
12.(PUC-SP) Quando uma barra de ferro magnetizada, so:a) acrescentados eltrons barra.b) retirados eltrons da barra. c) acrescentados ms elementares barra.d) retirados ms elementares da barra.e) ordenados os ms elementares da barra.
13.(UFRS) Uma pequena bssola colocada prxima de um m permanente. Em quais posies assinaladas na figura a extremidade norte da agulha apontar para o alto da pgina?
a) somente em A ou D.b) somente em B ou C.c) somente em A, B ou D.d) somente em B, C ou D.e) em A, B, C ou D.
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Disciplina de Eletromagnetismo 48
14. (Mackenzie-SP) As linhas de induo de um campo magntico so:a) o lugar geomtrico dos pontos, onde a intensidade do campo magntico
constante.b) as trajetrias descritas por cargas eltricas num campo magntico.c) aquelas que em cada ponto tangenciam o vetor induo magntica,
orientadas no seu sentido.d) aquelas que partem do plo norte de um m e vo at o infinito.e) nenhuma das anteriores correta.
GABARITOS:01. c 02. a 03. c 04. a 05. c 06. e 07. d 08. e 09. b 11. e 12. d 13. a 14. c
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Disciplina de Eletromagnetismo 49
15. Em qual das amostras vistas abaixo a maior relutncia ao longo da maior dimenso?
1cm6cm
2cmFerro
3pol.
Ferro
1/2pol.1 pol. = 2,54 cm = 0,0254 m
R.: 2,96x106 rels; 1,20x108 rels.
(FONTE: Introduo a Anlise de Circuitos, Boylestad)
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