aula 17 teste da derivada 1ª, teste da derivada 2ª e construção de gráficos

Aula 17

Teste da derivada 1ª, Teste da derivada 2ª e construção de gráficos

Teste da derivada 1ª

Se em um intervalo, então f é crescente nele.

Se em um intervalo, então é decrescente nele.

( ) 0f x f

( ) 0f x

Exemplo 1

Encontre onde a função

é crescente e onde é decrescente.

Solução:

Para usar o teste devemos saber onde e

4 3 2( ) 3 4 12 5f x x x x

( ) 0f x

Exemplo 1

Isto depende do sinal dos três fatores de , isto é, e .( )f x 12 ,x 2x 1x

Intervalo 12x 2x 1x ( )f x f

dec. em ( ,1)

cresc. em ( 1,0)

dec. em (0,2)

cresc. em (2, )

1x

1 0x

0 2x

2x

Exemplo 1

O gráfico de , mostrado a seguir, confirma a informação da tabela:

f

Teste da Primeira Derivada

Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua .

(a) Se o sinal de mudar de positivo para negativo

em c, então tem um máximo local em c. (b) Se o sinal de mudar de negativo para positivo

em c, então tem um mínimo local em c.

(c) Se não mudar de sinal em c, então não tem

máximo ou mínimo locais em c.

f

f

f

f

ff

Teste da Primeira Derivada

Máximo Local Mínimo Local

Teste da Primeira Derivada

Nem máximo, nem mínimo

Nem máximo, nem mínimo

Exemplo 2

Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função

, .

Solução: Para achar os números críticos de g, derivamos:

Logo quando .Assim os únicos pontos críticos são e .

( ) 2g x x senx 0 2x

2 /3 4 /3

Exemplo 2

Analisaremos g na tabela a seguir:

Intervalo g2

03

x

2 43 3

x

42

3x

2cresc. em (0, )

3

2 4dec. em ( , )

3 3

4cresc. em ( ,2 )

3

Exemplo 2

Como o sinal de muda de positivo para negativo em , o Teste da Primeira Derivada nos diz que há um máximo local em e o valor de máximo local é de

( )g x2 /3

2 /3

Exemplo 2

Da mesma forma , o sinal de muda de negativo para positivo em , logo

é um valor de mínimo local.

( )g x4 /3

Concavidades

Se o gráfico de estiver acima de todas as

suas tangentes no invervalo I, então ele é

dito côncavo para cima.

Se o gráfico de estiver abaixo de todas as

suas tangentes em I, é dito côncavo para

baixo.

f

f

Concavidade

Côncava para cima Côncava para baixo

Concavidade

A figura a seguir mostra o gráfico de uma função que é côncava para cima (abrevia-se CC) nos intervalos (b,c), (d,e) e (e,p), e côncava para baixo (CB) nos intervalos (a,b), (c,d) e (p,q).

CB CCCCCC CB CB

Teste da Concavidade

Se para todo , então o gráfico de é côncavo para cima em .

(b) Se para todo , então o

gráfico de é côncavo para baixo em .

( ) 0f x x If I

( ) 0f x x If I

Ponto de Inflexão

Um ponto P na curva é chamado ponto de inflexão se é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em P.

( )y f xf

Exemplo 3

Esboçe um gráfico possível de uma função que satisfaça as seguintes condições: f

em

eme

emem

em e em

Exemplo 3

A condição (i) nos diz que cresce em

e decresce em . A condição (ii) diz que é côncava para

cima em e e côncava para baixo em .

Da condição (iii) sabemos que o gráfico de tem duas assíntotas horizontais em

e .

f

f

f

Exemplo 3

Primeiro traçamos a assíntota horizontal . Então fazemos o gráfico de

tendendo a esssa assíntota no extremo esquerdo, crescente até seu máximo no ponto (condição (i)) e decrescente em direção ao eixo x na extremidade direita.

f

Exemplo 3

Pela condição (ii) nos asseguramos de que o gráfico de tem pontos de inflexão em

e .

Observe no gráfico da função que a côncavidade está para cima para e , e para baixo para .

f2x 2x

2x 2x 2 2x

Exemplo 3

Teste da Segunda Derivada

Suponha que seja contínua na proximidade de .

(a) Se e , então tem um mínimo local em .

(b) Se e , então tem um máximo local em .

f c

( ) 0f c ( ) 0f c f

( ) 0f c ( ) 0f c

c

cf

Teste da Segunda Derivada

Por exemplo, a parte (a) é verdadeira, pois próximo de , e assim é côncava

para cima próximo de .( ) 0f x c f

cIsso significa que o gráfico de se situa acima de sua tangente horizontal em , de modo que tem um mínimo local em .

c

c

f

f

Exemplo 4

Comente sobre a curva com respeito a concavidade, pontos de inflexão, e máximos e mínimos locais.

SOLUÇÃO: Se , então

Exemplo 4

Para encontrar os pontos críticos fazemos e obtemos e . Para

usar o Teste da Segunda Derivada calculamos nesses pontos críticos:

Como eé um mínimo local.

Exemplo 4

Como , o Teste da Segunda Derivada não nos dá informação sobre o ponto crítico 0. Mas como para

e também para , o Teste da Primeira Derivada nos diz que não possui nem máximo nem mínimo em 0.

Exemplo 4

Como quando ou nós dividimos a reta real com esse números como extremos e completamos a seguinte tabela:

Intervalo Concavidade

Para cima

Para baixo

Para cima

Exemplo 4

O ponto é um ponto de inflexão pois a curva muda de côncava para cima para côncava para baixo nele. Também

é um ponto de inflexão pois a curva muda de côncava para baixo para côncava para cima nele.

Exemplo 4

Usando o mínimo local, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, fazemos um esboço do gráfico na figura a seguir:

Exemplo 4

Pontos de inflexão