aula 11 superficies custo - ulisboa
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Introdução aos Sistemas de Informação Geográfica
Alexandre GonçalvesDECivil - IST
alexandre.goncalves@tecnico.ulisboa.pt
Aula 11Superfícies de custo
Superfícies de custo
1. Introdução2. Matrizes de distâncias, alocação e direções
• Usando distância euclidiana ou célula-a-célula• Com custos uniformes ou variáveis
3. Superfícies de custo• Construção• Isotropia e anisotropia• Vizinhanças e métricas locais• Regras de obtenção do caminho• Extensões
4. Exemplos em SIGISIG – MEC – IST 2019-20
Introdução• Localizar um equipamento linear (estrada, caminho-de-
ferro, oleoduto, linha elétrica) ou o caminho ideal para ligar dois pontos pode ser um problema complexo.
• Além do custo desse equipamento, há custos desiguais consoante o território atravessado, interessando minimizar um custo total.
ISIG – MEC – IST 2019-20
Introdução
• Problema das sete pontes de Königsberg (resolvido por Euler em 1735, deu origem à teoria de grafos)
• Problema do caixeiro viajante (Hamilton, séc. XIX)
• Problema do carteiro chinês (Kuan, 1962)
• Problema do caminho de menor custo (Dijkstra, 1959)
Traçar percursos de custo mínimo, com origem e destino fixos, é um problema clássico modelado por grafos.
• Caminho de menor custo, facilmente resolvido pelo algoritmo de Dijkstra.
• Calcula o caminho de menor custo do vértice de origem até todos os outros no grafo.
• Só funciona com custos positivos.
• Tem baixa complexidade computacional (não explode num número intratável de soluções possíveis).
Introdução
Matriz de origens Matriz de distância
1 1 1 0 0 1 2 3
1 1.41 1 0 1 2 3
2.24 1.41 1 1.41 2.24 3.16
2 2.24 2 2.24 2.83 3.61
1 1.41 2.24 3.16 3.61 4.24
2 0 1 2 3 4 5
Distância euclidiana
distância mínima até à célula de origem mais próxima, medida em linha reta entre centros de células
ISIG – MEC – IST 2019-20
Distância euclidiana• Pode ser a aplicada a um
conjunto de entidades (pontos, linhas, polígonos)
• Cada célula contém a distância (do centro) até à entidade mais próxima
ISIG – MEC – IST 2019-20
Matriz de distância (euclidiana) a partir das estradas
Distância euclidiana
Matriz de origens Matriz de alocação com base nadistância euclidiana: cada célula tem o valor da célula de origem mais próxima
há várias células com empate na distância a mais que uma célula de origem: podiam ter outro valor de alocação
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1
2 2 2 1 1 1
2 2 2 2 2 2 1
ISIG – MEC – IST 2019-20
Distância euclidiana
360=0
180
90270
Matriz de direções:azimute até à célula de origem mais próxima
90 - - 270 270 270
45 0 - 270 270 270
27 45 0 315 297 289
180 27 0 334 315 304
180 225 243 342 327 315
- 270 270 270 270 324
1 1
1
2
Matriz de origens
ISIG – MEC – IST 2019-20
Distância célula-a-célula
1 1
1
2
Matriz de origens
1 0 0 1 2 3
1.41 1 0 1 2 3
2.41 1.41 1 1.41 2.41 3.41
2 2.41 2 2.41 2.83 3.83
1 1.41 2.41 3.41 3.83 4.24
0 1 2 3 4 5
Matriz de distância
distância mínima até à célula de origem mais próxima, medida em linha reta entre centros de células consecutivas
ISIG – MEC – IST 2019-20
Matriz de distância euclidiana acumulada (Euc)
Matriz de distância célula-a-célula acumulada (Cost)
(Euc-Cost)/Euc
1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 3 0.00 0.00 0.00 0.00
1.41 1 0 1 2 3 1.41 1 0 1 2 3 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
2.24 1.41 1 1.41 2.24 3.16 2.41 1.41 1 1.41 2.41 3.41 -0.08 0.00 0.00 0.00 -0.08 -0.08
2 2.24 2 2.24 2.83 3.61 2 2.41 2 2.41 2.83 3.83 0.00 -0.08 0.00 -0.08 0.00 -0.06
1 1.41 2.24 3.16 3.61 4.24 1 1.41 2.41 3.41 3.83 4.24 0.00 0.00 -0.08 -0.08 -0.06 0.00
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Diferença máxima no comprimento ~7,96%
entre a distância euclidiana e a distância célula-a-célula
Diferença Diferença
(Tomlin 1990)
Diferença máxima no comprimento ~7,96%
iguais
iguais
Distância célula-a-célula
Cada célula indica a direção da célula vizinha pela qual se atinge a origem mais próxima
6 7 8
5 0 1
4 3 2
Matriz de origens Matriz de direções ou back-link
1 1 1 0 0 5 5 5
1 8 1 0 5 5 5
8 8 7 6 6 6
3 4 7 6 6 5
3 4 4 4 7 6
2 0 5 5 5 5 5
Distância célula-a-célula
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 2 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1
2 2 2 2 2 2 2
Matriz de origens Matriz de alocação
Células que mudaram face à
matriz de distância euclidiana
Distância célula-a-célula
• Porque se utiliza?– Uma distância é sempre um caminho de menor custo– Se se considerar que o custo de atravessamento do espaço não é
uniforme, é preciso calcular a proporção do atravessamento de cada célula segundo a distância euclidiana
– Segundo a distância célula-a-célula, não é necessário
1 1 1 3 4 4 3 2
1 4 6 2 3 7 6
5 8 7 5 6 6
1 4 5 5 1
4 7 5 2 6
2 1 2 2 1 3 4
células NULL podem representar locais de não-passagem
Matriz de origens Superfície de custo
Construção de uma superfície de custo
1. Consideram-se variáveis que expressam os diversos fatores e critérios que determinam o custo (ou esforço,
impedância, resistência, tempo, risco...).
2. Constrói-se a “superfície de custo” combinando fatores e critérios reduzidos a uma escala comum e ponderados entre si.
Sinónimos de superfície de custo:matriz de pesos, matriz de custo, matriz de atrito, matriz de resistência, matriz de forças...
Cada célula representa o custo do seu atravessamento
exemplo: Custo = f(declive; distância a
algo; aptidão para algo; €; …)1.0 2.3 4.0
4.0 3.6 2.9
5.1 8.0 7.0
Construção de uma superfície de custo
ww
w.innovativegis.com
Obtenção do caminho de menor custo
3. O grafo é induzido pelas transições entre células.
1 3 4
4 6 2
5 8 7
Definem-se vizinhanças e transições entre as células que correspondem às arestas do grafo
ISIG – MEC – IST 2019-20
Obtenção do caminho de menor custo
4. Selecionam-se as células (nós) de origem e destino e executa-se o algoritmo de caminho de menor custo (Dijkstra).
Obtenção do caminho de menor custo
A – Superfície de custo
B – Superfície de custo
acumulado resultante do
algoritmo de Dijkstra
C – Sequência de células
resultante do algoritmo de
Dijkstra
D – Sequência de células
resultante da regra da
maior descida
Só a sequência de células
resultante do algoritmo de
Dijkstra garante o
caminho de menor custo
A B
C (custo 13,74) D (custo 14,50)ISIG – MEC – IST 2019-20
5 tipos de matriz1. Matriz de pesos, de custo, de atrito, de resistência,
superfície de custo (dada)2. Matriz de distância acumulada, de peso acumulado, de
custo acumulado (obtida a partir da 1. e local(ais) de origem)
3. Matriz de direções, de direção de fluxo, de back-link(obtida a partir da 1. e local(ais) de origem)
4. Caminho ótimo, caminho de menor custo (com base na 3. e local de destino)
5. Matriz de alocação/associação (com base na 3.)
O caminho de menor custo pode também apresentar-se como uma linha ISIG – MEC – IST 2019-20
1
2
34
5
Críticas Extensões
• Modelo anterior “simplista” e de aplicação limitada
• Não modela corretamente certas deslocações ou intervenções no espaço
ponte
migração dos gnus
praça
Limitações/ extensões/ possibilidades / problemas ...• Nulos são barreiras absolutas.• Como modelar sentidos proibidos?• Como modelar custos dependentes do sentido de
atravessamento das células?• Como modelar saltos entre células não-
adjacentes?• Como modelar novas direções?• Como obter “faixas”/”corredores”
ISIG – MEC – IST 2019-20
Extensões: anisotropia
3
3
3
7
3
3
3
3
3
9
9
4
3
3
3
9
3
7
7
4
3
3
3
3
A
2
6
3
7
2
6
2
6
2
9
4
9
6
6
6
9
3
7
7
4
6
6
6
6
B
5
4
6
8
6
5
2
6
2
14
2
11
3
3
6
9
3
11
4
5
6
7
6
3
D
3
3
3
3
3
7
3 9 4
S 6
6
10
10
6
6
6
6
12
12
13
13
6
6
12
12
10
10
11
11
6
6
6
6
C
C – isotropia; A, B e D – anisotropia
Anisotropia = custo dependente do sentido
ISIG – MEC – IST 2019-20
Extensões: anisotropia
> declive (positivo)>
cus
to
Solução por bombagem Solução gravítica
< declive (negativo) 0
Exemplo de aplicação: localização de estrutura para transporte de líquidos (canais)para abastecimento ou condução a estações de tratamento ISIG – MEC – IST 2019-20
Extensões: novas direções e métricas
2 1
1 0
2
1
2 1 2
1,36039 0,96194
0,96194 0
1,36039
0,96194
1,36039 0,96194 1,36039
2 1
1 0
2
1
2 1 2
1 1
1 0
1
1
1 1 1
A B C D
erro máximo absoluto em relação à distância euclidiana: A: 41,41%; B: 29,29%; C: 7,96%; D: 3,96%
+comum
+comum
Novas direções
Outras métricas
ISIG – MEC – IST 2019-20
Extensões: novas direções (pontes e túneis)
99 104
123
124 113
116
120
118
117
113
109
108
106
105
107
107
100
98
100
98
97
97
92
92
97
92
90
103
102
89
88
90
95
90
94
86
91
108
100
116
114
99
98
97
85
104
101
100
96
119
114
108
106
101
99 97 94 83 87 94 99109 103
pontealturacustoponteunitcustoBADBAC ponte ____),(),( +×=
−×+
++×=
norm
BAnormnorm
BAD
HHh
BSCASCBAC
),()
2
)()(1(),( βα
túnelunitcustoBADBAC túnel __),(),( ×=
exemplo de formulação
“Pontes” e “túneis” são “saltos” entre células não adjacentes
ISIG – MEC – IST 2019-20http://www.innovativegis.com
Os corredores obtêm-se:1. somando duas
superfícies de custo acumulado a partir de dois locais
2. reclassificando as células da matriz-soma que estão abaixo de certo valor
Extensões: corredores
Extensões: corredores• Corredores: “faixas” que ligam dois locais não
excedendo um custo máximo• Muito usados em modelação ambiental
Extensões: corredores
• As faixas dos corredores não têm largura constante
htt
p:/
/ww
w.w
ild
life
.sta
te.n
m.u
s/c
on
serv
ati
on
/sh
are
_w
ith
_w
ild
life
/do
cu
men
ts/S
wW
08M
en
ke.p
df
ISIG – MEC – IST 2019-20
Extensões: desenho de redes com 3+ pontos
A B
C
A – caso geralB – ideal do ponto de vista da minimização do comprimento total -árvore de SteinerC – ideal do ponto de vista da utilização – distância mínima entre vértices
A B
C
Extensões: desenho de redes com 3+ pontos
n
3 4 5 6 7
s
0 3 12 60 360 2520
1 1 12 120 1200 12600
2 3 75 1350 22050
3 15 630 17640
4 105 6615
5 945
Total 4 27 270 3645 62370
Número de árvores topologicamente distintas com n vértices e s pontos de Steiner
n=9 s=5
ISIG – MEC – IST 2019-20
O problema de encontrar a rede mínima que liga npontos com possibilidade de acrescentar s pontos adicionais é geometricamente complexo
Extensões: desenho de redes com 3+ pontos
É fácil encontrar o ponto de Steiner para uma rede que ligue três locais:• Somam-se as três
superfícies de custo acumulado
• A célula com valor mínimo na matriz-soma é a do ponto de Steiner
Com 4+ pontos, o problema é muito mais difícil! ISIG – MEC – IST 2019-20
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