aula 05 cinematica

Fenômenos de Transporte I

Fundamentos da Cinemática dos fluidos.

ASSUNTO

O que estuda a Cinemática?

• A cinemática dos fluidos estuda o movimento dos

fluidos em termos dos deslocamentos, velocidades e acelerações, sem levar em conta às forças que o produzem;

Escoamento

•Definição:

Processo de movimentação das moléculas de um fluido, umas em relação às outras e aos limites impostos

Escoamentos

• Os escoamentos são descritos por:

–Parâmetros físicos

–Pelo comportamento destes parâmetros ao longo do espaço e do tempo;

Campo de velocidade A representação dos parâmetro de um fluido escoando em função das suas coordenadas espaciais é denominada representação do campo de escoamento. Uma das variáveis mais importantes é a velocidade de um campo de escoamento, cuja forma geral é

ktzyxwjtzyxvitzyxuV

,,,,,,,,,

Exemplo 1 - Campo de velocidade O campo de velocidade de um escoamento é dado por Onde x, y e z. São medidos em metros. Determine a velocidade do fluido na origem (x = y = z = 0) e no eixo y, (x = z = 0).

z

Vw

y

Vv

x

Vu

t

V

Dt

VDa

Em coordenadas cartesianas:

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

Dt

Dwa

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

Dt

Dva

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

Dt

Dua

z

y

x

aceleração local

aceleração convectiva

Aceleração de uma partícula fluida

Aceleração de uma partícula fluida

O termo é chamado de aceleração local e encerra os efeitos da transitoriedade do escoamento.

Aceleração de uma partícula fluida

A aceleração convectiva está relacionada com a variação dos parâmetros devido à convecção, ou movimento da partícula no campo de escoamento no qual há um gradiente deste parâmetro.

Aceleração de uma partícula fluida

Considere o campo de escoamento bidimensional, e em regime permanente, cujo campo de velocidade é dado por Determine o campo de aceleração deste escoamento.

Exemplo 2 – Aceleração de uma partícula

Métodos para o estudo da cinemática dos fluidos

• Método de Lagrange

• Método de Euler

Método de Lagrange

• Descreve o movimento de cada partícula acompanhando-a em sua trajetória real;

• O movimento do fluido é descrito pela especificação dos parâmetros necessários em função do tempo: – Pressão, p = p(t); – Velocidade, V = V(t); – Massa específica, ρ = ρ(t); – Posição, P = P(x,y,z,t)

• Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas;

• Para a engenharia normalmente não interessa o comportamento individual da partícula e sim o comportamento do conjunto de partículas no processo de escoamento.

Método de Euler

• Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por este local;

• O movimento do fluido é descrito pela especificação dos parâmetros necessários em função das coordenadas espaciais: – Pressão, p = p(x,y,z,t); – Velocidade, V = V(x,y,z,t); – Massa específica, ρ = ρ(x,y,z,t).

• Informações sobre o escoamento a partir de pontos fixos em instantes diferentes.

• Método preferencial para estudar o movimento dos fluidos: praticidade.

Medições em escoamentos: Euleriano vs. Lagrangiano

Método de Euler • O termômetro instalado perto da abertura indicaria a temperatura

de diversas partículas em instantes diferentes. Assim, obtém-se a variação da temperatura, T, nesse ponto, em função de suas coordenadas e do tempo, t.

• Vários termômetros instalados em pontos fixos do escoamento forneceria seu campo de temperatura.

Método de Lagrange • Um termômetro seria instalado em uma partícula fluida e, assim,

registraria sua temperatura ao longo do movimento, isto é, T = T(t). • Um conjunto de dispositivos para medir a variação da temperatura

de várias partículas forneceria a história da temperatura do escoamento. Isto só seria possível se a localização de cada partícula fosse conhecida em função do tempo.

Campo de velocidade: Euleriano vs. Lagrangiano

Campo de velocidade: Euleriano vs. Lagrangiano

EULERIANO LAGRANGIANO

Definições Importantes

• Trajetória • Linha de Corrente (Linha de fluxo) • Tubo de corrente • Linha de emissão (filetes)

Trajetória

• Linha traçada por uma dada partícula ao longo de seu escoamento. É um conceito Lagrangeano e pode ser visualizada a partir de uma fotografia de longa exposição.

X y

z

Partícula no instante t1

Partícula no instante t2

Partícula no instante t3

Linha de Corrente • Linha imaginaria que tangencia os vetores velocidade

de diversas partículas, umas após as outras • Duas linhas de corrente não podem se interceptar (o

ponto teria duas velocidades) e nenhuma massa atravessa as linhas de corrente

X y

z

Partícula 1 no instante t

Partícula 2 no instante t

Partícula 3 no instante t

v1

v2

v3

Vista Lateral aerodinâmica externa do Nissan Azeal. Linhas de corrente no plano mostrando a velocidade e o caminho da circulação do ar ao longo do automóvel.

Linha de Corrente

Tubo de Corrente

• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente definidas por suas partículas fluidas

• A superfície imaginaria constituída pelas linhas de corrente formada no interior do fluido é denominada de tubo de corrente ou veia líquida

Linha de Emissão (filete)

• Linha definida pela sucessão de partículas que tenham passado pelo mesmo ponto;

• A pluma que se desprende de uma chaminé permite visualizar de forma grosseira uma linha de emissão;

Ponto de Referência

• Classificação Geométrica;

• Classificação quanto à variação no tempo

• Classificação quanto ao movimento de rotação

• Classificação quanto à trajetória (direção e

variação)

Classificação do Escoamento

Em geral, um campo de velocidade de um escoamento é tridimensional, ou seja:

• Escoamento Tridimensional: As grandezas que regem o escoamento variam nas três dimensões. •Escoamento Bidimensional: As grandezas do escoamento variam em duas dimensões ou são tridimensionais com alguma simetria. Se u >> w e v >> w, então, temos um escoamento bidimensional. •Escoamento Unidimensional: São aqueles que se verificam em função das linhas de corrente (uma dimensão). Se u >> v e u >> w, então, temos um escoamento unidimensional

Classificação Geométrica do Escoamento

• Quanto à variação no tempo:

– Permanente: As propriedades médias estatísticas das partículas

fluidas, contidas em um volume de controle permanecem constantes, para um determinado ponto.

– Não Permanente (transitório) Quando as propriedades do fluido num

determinado ponto variam com o tempo;

Classificação do Escoamento

Escoamento: Permanente e Não Permanente

Dependência com o Tempo

Não Permanente Permanente

0t

0

t

Para os campos de velocidades dados a seguir, determine: a) Se o campo do escoamento é uni, bi, ou tridimensional; b) Se o escoamento é permanente ou não; (considere que a e b são constantes)

Exemplo 3 – Classificação de Escoamentos

• Quanto ao movimento de rotação:

– Rotacional: A maioria das partículas desloca-se animada de velocidade angular em torno de seu centro de massa;

– Irrotacional: As partículas se movimentam sem exibir movimento de rotação

Classificação do Escoamento*

• Quanto à compressibilidade:

– Compressível: as propriedades do fluido variam conforme a posição da partícula;

– Incompressível: as propriedades não mudam com a posição.

Escoamento nos quais as variações de massa especifica são desprezíveis são denominados incompressíveis; quando essas variações são consideráveis o escoamento é dito compressível. A maioria dos escoamentos de líquidos é essencialmente incompressível. Embora a maior parte dos escoamentos gasoso seja compressível, nos casos da velocidade do escoamento (V) ser pequena em relação a velocidade do som no fluido (c), ele pode ser considerado incompressível; quando o número de Mach, M= V/c for menor que 0,3.

Classificação do Escoamento*

• Quanto à Direção da trajetória:

– Escoamento Laminar: As partículas descrevem trajetórias paralelas. O

fluido flui em camadas ou lâminas. (Re < 2000) – Escoamento turbulento: As trajetórias são caóticas. Escoamento

tridimensional das partículas de fluido. As componentes da velocidade apresentam flutuações ao redor da média (Re > 4000).

Classificação do Escoamento

Experimento de Reynolds

• Consiste na injeção de um corante líquido na posição central de um escoamento de água interno a um tubo circular de vidro transparente

• O comportamento do filete do corante ao longo do escoamento no tubo define três características distintas

Experimento de Reynolds

Experimento de Reynolds

1. Regime Laminar: – O corante não se mistura com o fluido, permanecendo

na forma de um filete no centro do tubo; – O escoamento processa-se sem provocar mistura

transversal entre escoamento e o filete, observável de forma macroscópica;

– Como “não há mistura”, o escoamento aparenta ocorrer como se lâminas de fluido deslizassem umas sobre as outras;

Experimento de Reynolds

2. Regime de transição:

– O filete apresenta alguma mistura com o fluido, deixando de ser retilíneo sofrendo ondulações;

– Essa situação ocorre para uma pequena gama de velocidades e liga o regime laminar a outra forma mais caótica de escoamento;

– Foi considerado um estágio intermediário entre o regime laminar e o turbulento;

Experimento de Reynolds

3. Regime turbulento: – O filete apresenta uma mistura transversal intensa, com

dissipação rápida;

– São perceptíveis movimentos aleatórios no interior da massa fluida que provocam o deslocamento de moléculas entre as diferentes camadas do fluido (perceptíveis macroscopicamente);

– Há mistura intensa e movimentação desordenada;

Experimento de Reynolds

Classificação de Escoamento

O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluídos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações industriais e asas de aviões. O seu nome vem de Osborne Reynolds, um físico e engenheiro irlandês. O seu significado físico é um quociente entre as forças de inércia e as forças de viscosidade.

Classificação de Escoamento

VLVL

idadevisdeforças

inerciadeforças

cos

Re

V - velocidade média do fluído

L - longitude característica do escoamento, o diâmetro

para o escoamento no tubo

μ - viscosidade cinemática do fluído

ν- viscosidade cinemática do fluído

ρ – massa específica

Classificação de Escoamento

Re < 2000 Escoamento Laminar 2000 < Re < 4000 (2400) Transição Re > 4000 (2400) Escoamento Turbulento

Tabelas de Viscosidade Cinemática

Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é laminar ou turbulento sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa água com uma velocidade de 0,05m/s.

Exemplo 4 – Número de Reynolds

Determine o número de Reynolds para uma aeronave em escala reduzida sabendo-se que a velocidade de deslocamento é v = 16 m/s para um vôo realizado em condições de atmosfera padrão ao nível do mar (ρ = 1,225 kg/m³). Considere a dimensão característica c = 0,35 m e μ = 1,7894 x 10-5 kg/ms.

Exemplo 5 – Número de Reynolds

Em hidráulica ou em mecânica dos fluidos, define-se vazão como a relação entre o volume e o tempo.

A vazão pode ser determinada a partir do escoamento de um fluido através de determinada seção transversal de um conduto livre (canal, rio ou tubulação aberta) ou de um conduto forçado (tubulação com pressão positiva ou negativa). Isto significa que a vazão representa a rapidez com a qual um volume escoa.

As unidades de medida adotadas são geralmente o m³/s, m³/h, l/h ou o l/s.

Vazão Volumétrica

• A forma mais simples para se calcular a vazão volumétrica é apresentada a seguir na equação mostrada.

• Q representa a vazão volumétrica, V é o volume e t o intervalo de tempo para se encher o reservatório.

Vazão Volumétrica

Um exemplo clássico para a medição de vazão é a realização do cálculo a partir do enchimento completo de um reservatório através da água que escoa por uma torneira aberta como mostra a figura. Considere que ao mesmo tempo em que a torneira é aberta um cronômetro é acionado. Supondo que o cronômetro foi desligado assim que o balde ficou completamente cheio marcando um tempo t, uma vez conhecido o volume V do balde e o tempo t para seu completo enchimento, a equação é facilmente aplicável resultando na vazão volumétrica desejada.

Vazão Volumétrica*

Relação entre Área e Velocidade Uma outra forma matemática de se determinar a vazão volumétrica é através do produto entre a área da seção transversal do conduto e a velocidade do escoamento neste conduto como pode ser observado na figura a seguir.

Pela análise da figura, é possível observar que o volume do cilindro tracejado é dado por: V = d · A

Substituindo essa equação na equação de vazão volumétrica, pode-se escrever que:

A partir dos conceitos básicos de cinemática aplicados em Física, sabe-se que a relação d/t é a velocidade do escoamento, portanto, pode-se escrever a vazão volumétrica da seguinte forma: Q = v ·A

Q representa a vazão volumétrica, v é a velocidade média do escoamento e A é a área da seção transversal da tubulação.

Vazão em massa é a quantidade em massa do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.

Lembrando a relação entre a massa e o volume : m = ρ ·V

Substituindo na equação anterior teremos que: Qm = ρ·Qv

E por tanto: Qm = ρ·v·A

Vazão em Massa

É uma velocidade hipotética, constante ao longo de toda a seção transversal do tubo de corrente, que nos permite calcular a vazão num dado instante de tempo.

Velocidade média

Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214 litros, sabendo-se que a velocidade de escoamento do líquido é de 0,3m/s e o diâmetro do tubo conectado ao tambor é igual a 30mm.

Exemplo 6 – Vazão

Calcular o diâmetro de uma tubulação, sabendo-se que pela mesma, escoa água a uma velocidade de 6m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de 12000 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo totalmente

Exemplo 7 – Vazão

• A equação da continuidade relaciona a vazão em massa na entrada e na saída de um sistema.

Qm1=Qm2 ρ1 · v1 · A1 = ρ2 · v2 · A2

• Para o caso de fluido incompressível, a massa específica é a

mesma tanto na entrada quanto na saída, portanto: v1 · A1 = v2 · A2

• A equação apresentada mostra que as velocidades são

inversamente proporcionais as áreas, ou seja, uma redução de área corresponde a um aumento de velocidade e vice-versa.

Equação da Continuidade

Para a tubulação mostrada na figura, calcule a vazão em massa, em peso e em volume e determine a velocidade na seção (2) sabendo-se que A1 = 10cm² e A2 = 5cm². Dados: r = 1000kg/m³ e v1 = 1m/s.

Exemplo 10– Equação da Continuidade

Um tubo despeja água em um reservatório com uma vazão de 20 l/s e um outro tubo despeja um líquido de massa específica igual a 800kg/m³ com uma vazão de 10 l/s. A mistura formada é descarregada por um tubo da área igual a 30cm². Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e calcule também qual é a velocidade de saída.

Exemplo 11 – Equação da Continuidade