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Dinâmica Estocástica
Aula 11
Setembro de 2015
Tânia - Din Estoc - 2015 1
1) Processo markoviano e matriz estocástica
2) Equação Mestra
Tânia - Din Estoc - 2015 2
Processo Markoviano
)(),()(1 mPmnTnPm
(1)
obtida na última aula
)(1 nP
)(mP
),( mnT
Probabilidade do estado no instante
Probabilidade do estado no instante
Probabilidade de transição do estado para o estado
n 1
m
n m
Tânia - Din Estoc - 2015 3
4
Cadeias de Markov
Tânia - Din Estoc - 2015
)(),()(1 mPmnTnPm
(1)
),( mnT Pode ser interpretado como:elemento de matriz
Tmatriz
T é denominada de matriz estocástica
5
)(),()(1 mPmnTnPm
é a probabilidade (condicional) de transição de m para n.
pode ser visto como o elemento de uma matriz e a equação de evolução temporal acima pode ser escrita na forma matricial como:
é a matriz coluna cujos elementos são
TPP 1
P )(mP
),( mnT
),( mnT
(1)
(2)
Cadeias de Markov
Tânia - Din Estoc - 2015
6
Matriz estocástica
TPP 1
Toda matriz quadrada que possui as propriedades 1) e 2) abaixo enumeradas é uma matriz estocástica:
Elementos da matriz T: ),( mnT Probabilidadecondicional m n.
1) 0),( mnT
2) 1),( mnTn
(3)
(4)
(5)
Cadeias de Markov
Tânia - Din Estoc - 2015
7
TPP 1
1
2
11 PTTPTP
0
1
12
3
1
2
1 .... PTPTPTPTP
Processo markoviano:
Ou seja:
(6)0
1
1 PTP
1 TPP
Cadeias de Markov
Tânia - Din Estoc - 2015
8
0
1
1 PTP
Ou,
probabilidade de transição de para em passos.),(1 mnT
Dado o estado inicial e calculando elevada a então obtém-se .
)(),()( 0
1
1 mPmnTnPm
(8)
(7)
0P T 1 1P
m n 1
Cadeias de Markov
Tânia - Din Estoc - 2015
9
(9)
Solução estacionária P
Existência e propriedades de P
Propriedades de T
PTP
Cadeias de Markov
Tânia - Din Estoc - 2015
10
Reversibilidade microscópica:Condição de balanceamento detalhado
)(),()(),( nPnmTmPmnT
Ou seja: A probabilidade de um estado qualquer m atingirum estado n é igual a probabilidade de n atingir m.(n,m) quaisquer (no regime estacionário!!).
Para qualquer par (m,n)
Estado estacionário
Cadeias de Markov
Deduzida na aula passada
(10)
Tânia - Din Estoc - 2015
11
0),( mnT
1),( mnTn
(4)
(5)
)(),()(1 mPmnTnPm
TPP 1
A matriz T
Processo Markoviano & Matriz Estocástica
(3)
Tânia - Din Estoc - 2015
12
Propriedades da matriz estocástica
1 é autovalor de 1)
1 corresponde um auto vetor cujas componentes são 2) 0
3) Todos os autovalores de T são tais que 1
As três primeiras propriedades implicam que toda a matriz estocástica tem pelo menos um autovalor igual a 1. Mas pode ser degenerado.Portanto uma matriz estocástica qualquer não possui necessariamente umasolução estacionária única.
1
Matriz Estocástica
T
Tânia - Din Estoc - 2015
4) Teorema de Perron-Frobenius: Se T é uma matriz estocástica irredutível então é não degenerado e a esse autovalor corresponde um auto vetor cujas componentes são .0
1
5) Se além de irredutível a matriz T for regular então a solução dependente do tempo tende a solução estacionária para t -> infinito.
6) Se além de irredutível e regular a matriz T obedece à condição de reversibilidade microscópica então T só possui autovalores reais.
13
Matrizes estocásticas irredutíveis
é uma matriz estocástica irredutível se para cada par
existir tal que: 0),( nmT
Matriz Estocástica
),( nm
T
Tânia - Din Estoc - 2015
Definição
Propriedades vão ser exploradasmais adiante
Equação Mestra
Tânia - Din Estoc - 2015 14
15
Bibliografia básica. Tânia Tomé & M J de Oliveira, Cap. 6. van Kampen.
. Obtenção da equação mestra
. Propriedades e Solução Estacionária
. Reversibilidade microscópica e condição de balanceamento detalhado
Equação Mestra
Tânia - Din Estoc - 2015
16
é a probabilidade de o sistema estar no estado n no instante de tempo t.
( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )m n
dP n t W n m P m t W m n P n t
dt
é a taxa de transição de n para m.
Vamos obter essa equação a partir da equação de evolução para um processo markoviano “a tempo discreto”.
Equação Mestra
),( tnP
),( nmW
Define oModelo!!
Tânia - Din Estoc - 2015
17
)(),()(1 mPmnTnPm
(1)
em que,
),( mnT
Probabilidadede transiçãode para
Cadeia de Markov
)(nP
Probabilidadedo estado noinstante
Obtenção da equação mestra a partir da equação de evolução para um processo markoviano “a tempo discreto”
Equação Mestra
Tânia - Din Estoc - 2015
n
nm
18
Obtenção da equação mestra
(2)
Equação Mestra
)(),()(1 mPmnTnPm
)(),()(),( nPnnTmPmnTnm
)(),()(),()(1 nPnnTmPmnTnPnm
Tânia - Din Estoc - 2015
19
Obtenção da equação mestra
( , ) 1m
T m n Propriedade da matriz estocástica T
Mas,
(2)
Equação Mestra
)(),()(),()(1 nPnnTmPmnTnPnm
( , ) 1 ( , )m n
T n n T m n
Então:
(3)
Tânia - Din Estoc - 2015
20
Obtenção da equação mestra
(2)
Equação Mestra
)(),()(),()(1 nPnnTmPmnTnPnm
( , ) 1 ( , )m n
T n n T m n
(3)
Substituindo a equação (3) na equação (2) obtemos
)(),(1)(),()(1 nPnmTmPmnTnPnmnm
)()),()()(),()(1 nPnmTnPmPmnTnPnmnm
Tânia - Din Estoc - 2015
Ou,
21
Obtenção da equação mestra
Equação Mestra
)()),()()(),()(1 nPnmTnPmPmnTnPnmnm
(4) )()),()(),()()(1 nPnmTmPmnTnPnPnm
Ou
Tânia - Din Estoc - 2015
22
Obtenção da equação mestra
Definição:
Passagem para o contínuo (tempo)
t ( 1)t
= Probabilidade do estado no instante
= Probabilidade do estado no instante t
tn
n
( , ) ( , ) { ( , ) ( , ) ( , ) ( , )}m n
P n t P n t T n m P m t T m n P n t
Equação Mestra
(5)
Tânia - Din Estoc - 2015
),()(1 tnPnP
),()( tnPnP
23
Obtenção da equação mestra
Passagem para o contínuo (tempo)
( , ) ( , ) { ( , ) ( , ) ( , ) ( , )}m n
P n t P n t T n m P m t T m n P n t
Equação Mestra
(5)
),(),(),(),(),(),( tnPnmTtmPmnTtnPtnPnm
),(),(
),(),(),(),(
tnPnmT
tmPmnTtnPtnP
nm
(6)
Tânia - Din Estoc - 2015
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Obtenção da equação mestra
Passagem para o contínuo (tempo)
Seja suficientemente pequeno para que a probabilidade de o sistema continuar no mesmo estado em seja aproximadamente igual a 1:
no intervalo
Equação Mestra
(6)
1),( nnT
),(),(
),(),(),(),(
tnPnmT
tmPmnTtnPtnP
nm
(7)
Tânia - Din Estoc - 2015
25
Obtenção da equação mestra
Passagem para o contínuo (tempo)
no intervalo
Então no limite em que
( , ) 0 ( )T m n m n
0
( , ) ( , ) 0P n t P n t
e
Equação Mestra
1),( nnT (7)
(8)
(9)
Tânia - Din Estoc - 2015
26
Obtenção da equação mestra
Limite em que
( , ) 0 ( )T m n m n
0
( , ) ( , ) 0P n t P n t
e
Portanto:
( , ) ( , ) ( , )P n t P n t dP n t
dt
0
Derivada de com relação a (= tempo).
( , )P n tt
Equação Mestra
(8)
(9)
(10)
Tânia - Din Estoc - 2015
27
Obtenção da equação mestra
( , )W m n
Definição:
Taxa de transição de n para m
Limite em que 0
Equação Mestra
nmnmWnmT
),(),( 0
(11)
Tânia - Din Estoc - 2015
28
Obtenção da equação mestra
Limite em que 0
Equação Mestra
nmnmWnmT
),(),( 0
(11)
( , ) ( , ) ( , )P n t P n t dP n t
dt
0
(10)
(6)
),(),(
),(),(),(),(
tnPnmT
tmPmnTtnPtnP
nm
Portanto, nesse limite a equação (6) fica:
),(),(),(),(),(
tnPnmWtmPmnWdt
tndP
nm
(12)
Equação mestra
Tânia - Din Estoc - 2015
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(12)
= Probabilidade do estado no instante
= Probabilidade por unidade de tempo de osistema estando em m e ir para n .
Equação Mestra
),(),(),(),(),( tnPnmWtmPmnWtnPdt
d
nm
),( tnP n t
),( mnW Taxa de transição de m para n
Muito importante!Define o modelo ou processo estocástico
Equação mestra
Equação de evoluçãotemporal da probabilidade
Tânia - Din Estoc - 2015
),( mnW
),( tnP
30
( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )m n
dP n tW n m P m t W m n P n t
dt
EQUAÇÃO MESTRA “Equação de ganho e perda”
(12)
m
n
m
nv v
v
ganhoperda
Equação Mestra
Tânia - Din Estoc - 2015
31
0),( tnPdt
d
( )
( , ) ( ) ( , ) ( ) 0e e
m n
W n m P m W m n P n
Solução estacionária
Solução estacionária deve obedecer:eP
Equação Mestra
(13)
Tânia - Din Estoc - 2015
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Reversibilidade microscópica
EntãoeP
)(),()(),( nPnmWmPmnW ee
= distribuição de equilíbrio.
nm,Se:
nm,
Reversibilidade microscópica <->Condição de balanceamento detalhado
Isto é:
( )
( , ) ( ) ( , ) ( ) 0e e
m n
W n m P m W m n P n
( , ) ( ) ( , ) ( ) 0e eW n m P m W m n P n
(14)
Regime estacionário
Equação Mestra
(13)
Tânia - Din Estoc - 2015
33
( , ) ( ) ( , ) ( )e eW n m P m W m n P n
Se BD não é satisfeita Dinâmica estocástica irreversível.
Balanceamento detalhado (BD)
A probabilidade de transição
em é igual a sua reversa.BD
m n
t
Equação Mestra
Tânia - Din Estoc - 2015
Dinâmica estocásticareversível
(14)
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Trajetórias cíclicas no espaço de configurações
A B C D Atrajetória direta
Reversibilidade microscópica
)(),(),(),(),( APADtWDCtWCBtWBAtW est
)(),(),(),(),( APABtWBCtWCDtWDAtW est
),(),(),(),( ABWBCWCDWDAW ),(),(),(),( ADWDCWCBWBAW
A B
CDA D C B Atrajetória inversa
Irreversibilidade:
caso contrário
Tânia Tomé - Dinâmica estocástica - 2015
Estados estacionários
. Estado estacionário de equilíbrio termodinâmico
. Estado estacionário de não-equilíbrio.
'
( , ') ( ') ( ', ) ( ) 0est estW P W P
35
Equação Mestra
Tânia - Din Estoc - 2015
(13)
36
Sistemas em equilíbrio termodinâmico
Distribuição de probabilidades definida para os possíveis estados
( ) /
( )BH k T
e eP
Z
( ) ( )eF F P
microscópicos do sistema
Propriedades macroscópicas do sistema em equilíbrio termodinâmico
Distribuição de probabilidade de Gibbs
( )H
: constante de Boltzmann TBk : temperatura
: Hamiltoniana
Tânia - Din Estoc - 2015
(15)
(16)
FIM
Tânia - Din Estoc - 2015 37
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