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Apostila de Matemática 02 – Função de 2ª Grau

1.0 Definição

f: R – R x R

f(x) = ax² + bx + c.

a 0.

Oscilante.

2.0 Parâmetros

2.1 Parâmetro a

a > 0: Concavidade da parábola para cima:

a < 0: Concavidade da parábola para baixo:

Quanto maior for |a|, mais fechada será a parábola.

2.2 Parâmetro c

O parâmetro c é a coordenada onde a parábola cruza o eixo y: (0,c).

c > 0: A parábola cruza o eixo y no ramo crescente.

OU

c < 0: A parábola cruza o eixo y no ramo decrescente.

OU

c = 0: A parábola cruza o eixo y no meio, no vértice.

2.3 Parâmetro b

a ≠ b (sinais): A Parábola está localizada na direita.

OU

a = b (sinais): A Parábola está localizada na esquerda.

OU

b = 0: A Parábola está localizada no eixo simétrico.

OU

2.4 Delta ( )

= 2 4b ac .

= 0: Raízes reais duplas (iguais); Tangenciais.

OU

> 0: Raízes reais diferentes; Secante.

OU

< 0: Nenhuma raíz real; Imaginária.

OU

3.0 Vértice da Parábola

Vértice é o ponto em que a parábola inverte o sentido.

Suas coordenadas são: xv e yv:

xv: 2

b

a

yv: .

3.1 Eixo de Simetria

O eixo de simetria é exatamente a coordenada onde divide a parábola em duas

partes iguais. Este ponto é o xv.

3.2 Imagem de uma função quadrática

São as coordenadas do eixo y que participam da parábola. Ela é medida do

vértice da parábola até o infinito, sendo que o valor deste infinito ( ou )

será o mesmo valor do parâmetro a.

a > 0 Img(f) = {y R / y yv}.

a < 0 Img(f) = {y R / y yv}.

3.3 Valor/ponto máximo/mínimo

O ponto máximo ou mínimo será as coordenadas (xv,yv)

Ponto máximo: a < 0

Ponto mínimo: a > 0

O valor máximo ou mínimo será o yv.

Valor máximo: a < 0

Valor mínimo: a > 0

4.0 Raízes

Chama-se raíz o “x” que zera a função. Podemos achá-lo de dois jeitos:

Zera-se a função:

ax² + bx + c = 0;

Aplica-se o ;

Aplica-se o Báskara: 2

b

a .

Acha-se as raízes usando os parâmetros:

x(1) . x(2) =

c

a

x(1) + x(2) =

b

a

5.0 Eixos

As duas retas que existem no gráfico são chamados de eixo y (reta vertical) e

eixo x (reta horizontal)

5.1 Eixo Y (Coordenada)

O eixo y representa o resultado da função, por isso se chama “y” (f(x) = y)

O número que passa pelo eixo y é o parâmetro c, coordenadas (0,c)

5.2 Eixo X (Abscissa)

O eixo x representa o número que o “x” da função apresenta.

Os números que passam pelo eixo x são as raízes, nas coordenadas (x1,0) e

(x2,0).

6.0 Resumo

7.0 Inequação de 2ª Grau

7.1 Estudo dos Sinais

Deve-se achar os valores de “x” para que a função anule-se (f(x)=0), seja

positiva (f(x)>0) e/ou seja negativa (f(x)<0).

Para isso, deve-se observar os valores do e do parâmetro “a”.

> 0: Há raízes reais toca 2 vezes no eixo x

a > 0 a < 0

< 0: Não há raízes reais não toca no eixo x

a > 0 a < 0

= 0: Há 1 raíz real toca 1 vez no eixo x

a > 0 a < 0

7.2 Inequação de 2ª Grau

Quando uma função de 2ª grau está sendo comparada com o zero (utilizando

estes símbolos: >; <; ; ), denomina-se uma inequação de 2ª grau.

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c 0 ax² + bx + c 0

Em inequações simples como estas acima, resolve-se igual à função quadrática,

só que no final o x não estará igualado às raízes, e sim comparado; depois efetua

o estudo dos sinais.

7.2.1 Inequações simultâneas

O mesmo que um sistema de inequações, só que se resolve elas separadamente, e

depois compara os resultados.

7.2.1.1 Inequação-produto

Quando há um produto de 2 ou mais funções numa inequação.

f(x) . g(x) > 0 f(x) . g(x) . h(x) 0

Para resolvê-la, acha-se as raízes, faz um estudo dos sinais e monta a seguinte

tabela:

Obs.: Os símbolos, as quantidades de raízes e o tipo de bolinha – aberta ou fechada

– dependerá da questão.

7.2.1.2 Inequação-quociente

Quando há uma divisão entre funções.

( )0

( )

f x

g x

( ). ( )0

( )

f x g x

h x

( ). ( )0

( ). ( )

f x g x

h x i x

Resolve-se do mesmo modo que a inequação-produto, porém, há a restrição, isto

é, a função que representa o denominador não pode ser igual a zero. Logo, em

qualquer inequação-quociente, o denominador será sempre “o” (Bolinha aberta).