funÇÃo inversa ..... 4 extras ..... 5 elson rodrigues, gabriel carvalho e paulo luiz ramos página...

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FUNÇÃO

INVERSA Aulas 01 a 02

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário FUNÇÃO INJETORA .................................................................................................................................................. 2

FUNÇÃO SOBREJETORA........................................................................................................................................... 2

FUNÇÃO BIJETORA .................................................................................................................................................. 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

FUNÇÃO INVERSA ................................................................................................................................................... 3


QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 3

GABARITO ........................................................................................................................................................... 4


EXTRAS ................................................................................................................................................................ 5

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2

AULA 01

FUNÇÃO INJETORA Considere uma função :f A B , f é denominada

função injetora se, e somente se, para todo 1 2,x x A ,

com 1 2x x , tem-se 1 2f x f x .

Exemplo 1.1

A função :f A B , tal que 2f x x . Com

1, 2, 3A e 1, 2, 4, 6, 8B é uma função

injetora, pois 1 2 3f f f .

Exemplo 1.2


1, 1, 2, 3A e 1, 2, 4, 6, 8, 9B não é uma

função injetora, pois 1 1f f .

FUNÇÃO SOBREJETORA Considere uma função :f A B , f é denominada

função sobrejetora se, e somente se, Im f B .

Exemplo 1.3


1, 2, 3A e 2, 4, 6B é uma função sobrejetora,

pois Im 2, 4, 6f B .

Exemplo 1.4


1, 2, 3A e 1, 2, 4, 6B não é uma função

sobrejetora, pois Im 2, 4, 6f B .

FUNÇÃO BIJETORA Considere uma função :f A B , f é denominada

função bijetora se, e somente se, f é uma função

injetora e sobrejetora.

Exemplo 1.5


1, 2, 3A e 2, 4, 6B é uma função bijetora,

pois é uma função injetora e sobrejetora.

Exemplo 1.6


1, 2, 3A e 1, 2, 4, 6B não é uma função

bijetora, pois não é uma função sobrejetora.

Obs.1: Quando uma função é bijetora pode-se dizer

que ela é uma função inversível.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Classifique cada função a seguir em sobrejetora,

injetora ou bijetora.

a) : 1, 2, 3, 4 1, 3, 5, 7, 9 , com 2 1f f x x

b) 2: 1, 2, 3, 4 0, 3, 8, 15 , com 1f f x x

c) : , com 3f f x x

d) *: , com logf f x x

e) *2: , com log 2f f x x

f) : 2, , com 2 3xf f x

1.2. Considere uma função :f A B . Dado que o

conjunto A tem 2 2k elementos e o conjunto B

tem 3k elementos, então se f é injetora é

correto afirmar que:

a) 1 5k .

b) 5 7k .

c) 7 8k .

d) 8 10k .

e) 10k .

1.3. (FCM Sta. Casa - SP) Seja a função de em ,

definida por 0, se é par

1, se é ímpar

xf x

x

. Nessas

condições, pode-se afirmar que

(A) f é injetora e não sobrejetora.

(B) f é sobrejetora e não injetora.

(C) 5 2 1f f .

(D) 0,f f x x .

(E) o conjunto imagem de f é 0, 1 .

Verificar se uma função é injetora é verificar se para

quaisquer dois elementos diferentes do domínio

essa função apresenta imagens iguais. Caso

apresente pelo menos duas imagens iguais, a função

não é injetora.

Como identificar se uma função é injetora

Verificar se uma função é sobrejetora é verificar se

no contradomínio dessa função existe algum

elemento que não pertence a sua imagem. Caso

exista pelo menos um elemento essa função não é

sobrejetora.

Como identificar se uma função é sobrejetora


1.4. (UFG) Determine o conjunto B de modo que a

função : 1, 2f B , definida por 2 3f x x

seja sobrejetora. Essa função é injetora?

Justifique.

AULA 02

FUNÇÃO INVERSA Considere uma função bijetora :f A B . Denomina-

se função inversa de f a função 1 :f B A , tal que

para todo x A tem-se 1f x y f y x .

Obs. 2: A função inversa de uma função "desfaz" o

que a função fez. Por exemplo, se a função associa 2

com 5, então sua inversa vai associar o 5 com o 2.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1. (UFRS) As funções f e 1f são inversas. Se f é

definida por 1

3f x

x

, então 1f x é igual

a

(A) 1

3x .

(B) 1

3x .

(C) 1

3x .

(D) 3x .

(E) 3 x .

2.2. Verifique se as funções a seguir são inversíveis e,

em caso afirmativo, determine a lei da inversa.

a) 3 1

: , tal que 2

xf f x

b) 2: , tal que 5 6f f x x x

c) : 2, , tal que 1 log 2f f x x

d) 1: 3, , tal que 2 3xf f x

e) : 1, 3 , tal que 2 senf f x x

f) : ; 1, 3 , tal que 2 sen2 2

f f x x

g) : 0,p

, tal que 2 3 2p x x x

2.3. (U.F. Viçosa) Considere a função 𝑓 definida por

𝑓(𝑥) = 10𝑥 + 3, 𝑥 ∈ ℝ. Seja 𝑔 a função inversa

de 𝑓. Então 𝑔(−7) é igual a

a) −1.

b) 1.

c) 3.

d) −2.

e) 2.

2.4. (UFMG) O valor de 𝑎, para que a função inversa

de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑎 seja 𝑔(𝑥) =𝑥

3− 1, é

a) −3.

b) −1

3.

c) 1

3.

d) 1.

e) 3.

EXTRA

QUESTÕES EXTRAS 1. (EsPECEx) Sabendo que c e d são números reais, o

maior valor de d tal que a função :f , definida

por 2

, para

4 3, para

x c x df x

x x x d

seja injetora é

a) 0.

b) 1.

c) 2.

Como determinar a lei da inversa de uma função?

Para determinar a lei da função inversa de uma

função bijetora basta seguir os passos, que serão

utilizados no exemplo a seguir.

1

1

2 3 # troque por #

2 3 # troque por e por x#

2 3 #isole o #

3 2

3# troque por #

23

2

f x x f x y

y x x y y

x y y

x y

xy y f x

xf x


d) 3

e) 4.

2. (ITA) Considere as funções f , g e :f g .

Das afirmações:

I. Se f e g são injetoras, f g é injetora;

II. Se f e g são sobrejetoras, f g é sobrejetora;

III. Se f e g não são injetoras, f g não é injetora;

IV. Se f e g não são sobrejetoras, f g não é

sobrejetora.

É(são) verdadeira(s)

a) Nenhuma.

b) Apenas I e II.

c) Apenas I e III.

d) Apenas III e IV.

e) Todas.

3. Considere as funções 𝑓: ℝ → ℝ − {3}, em que

𝑓(𝑥) =2𝑥−3

𝑥−2+ 1 e 𝑓−1: 𝐴 → 𝐵, em que 𝑓−1 é a

função inversa de 𝑓. Determine a lei da função

inversa de 𝑓.

4. Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 +

4 e 𝑓−1 sua inversa. Os gráficos de 𝑓 e 𝑓−1

a) são coincidentes.

b) Não têm pontos comuns.

c) Intercepta=se em dois pontos.

d) Interceptam-se somente no ponto (−2; −2).

e) Interceptam-se somente no ponto

(−2

3; −

2

3).

5. (CESESP) Seja RR:f a função dada pelo gráfico

seguinte:

Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico da

função inversa de f:

6. (EsPCEx – 2014) Considere a função bijetora

𝑓: [1; +∞) → (−∞; 3], definida por 𝑓(𝑥) =

−𝑥2 + 2𝑥 + 2 e seja (𝑎, 𝑏) o ponto de interseção

de 𝑓 com sua inversa. O valor numérico da

expressão 𝑎 + 𝑏 é

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 8.

e) 10.

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) Injetora

b) Bijetora

c) Injetora

d) Bijetora

e) Injetora

f) Bijetora

1.2. A

1.3. E

1.4. 0, 1B . f não é injetora

2.1. B

2.2. a) 𝑓−1(𝑥) =2𝑥+1

3

b) Não é inversível

x

y

0


c) 𝑓−1(𝑥) = 10𝑥−1 + 2

d) 𝑓−1(𝑥) = log2(𝑥 + 3) + 1

e) Não é inversível

f) 𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 2)

g) 𝑝−1: ℝ+ → [2; +∞) definida por 𝑝−1(𝑥) =

3+√4𝑥+1

2

2.3. A

2.4. E

EXTRAS 1. C

2. A

3. 𝑓−1(𝑥) =2𝑥−3

𝑥−2

4. D

5. A

6. B

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