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Apostila de Matemática 02 – Função de 2ª Grau
1.0 Definição
f: R – R x R
f(x) = ax² + bx + c.
a 0.
Oscilante.
2.0 Parâmetros
2.1 Parâmetro a
a > 0: Concavidade da parábola para cima:
a < 0: Concavidade da parábola para baixo:
Quanto maior for |a|, mais fechada será a parábola.
2.2 Parâmetro c
O parâmetro c é a coordenada onde a parábola cruza o eixo y: (0,c).
c > 0: A parábola cruza o eixo y no ramo crescente.
OU
c < 0: A parábola cruza o eixo y no ramo decrescente.
OU
c = 0: A parábola cruza o eixo y no meio, no vértice.
2.3 Parâmetro b
a ≠ b (sinais): A Parábola está localizada na direita.
OU
a = b (sinais): A Parábola está localizada na esquerda.
OU
b = 0: A Parábola está localizada no eixo simétrico.
OU
2.4 Delta ( )
= 2 4b ac .
= 0: Raízes reais duplas (iguais); Tangenciais.
OU
> 0: Raízes reais diferentes; Secante.
OU
< 0: Nenhuma raíz real; Imaginária.
OU
3.0 Vértice da Parábola
Vértice é o ponto em que a parábola inverte o sentido.
Suas coordenadas são: xv e yv:
xv: 2
b
a
yv: .
3.1 Eixo de Simetria
O eixo de simetria é exatamente a coordenada onde divide a parábola em duas
partes iguais. Este ponto é o xv.
3.2 Imagem de uma função quadrática
São as coordenadas do eixo y que participam da parábola. Ela é medida do
vértice da parábola até o infinito, sendo que o valor deste infinito ( ou )
será o mesmo valor do parâmetro a.
a > 0 Img(f) = {y R / y yv}.
a < 0 Img(f) = {y R / y yv}.
3.3 Valor/ponto máximo/mínimo
O ponto máximo ou mínimo será as coordenadas (xv,yv)
Ponto máximo: a < 0
Ponto mínimo: a > 0
O valor máximo ou mínimo será o yv.
Valor máximo: a < 0
Valor mínimo: a > 0
4.0 Raízes
Chama-se raíz o “x” que zera a função. Podemos achá-lo de dois jeitos:
Zera-se a função:
ax² + bx + c = 0;
Aplica-se o ;
Aplica-se o Báskara: 2
b
a .
Acha-se as raízes usando os parâmetros:
x(1) . x(2) =
c
a
x(1) + x(2) =
b
a
5.0 Eixos
As duas retas que existem no gráfico são chamados de eixo y (reta vertical) e
eixo x (reta horizontal)
5.1 Eixo Y (Coordenada)
O eixo y representa o resultado da função, por isso se chama “y” (f(x) = y)
O número que passa pelo eixo y é o parâmetro c, coordenadas (0,c)
5.2 Eixo X (Abscissa)
O eixo x representa o número que o “x” da função apresenta.
Os números que passam pelo eixo x são as raízes, nas coordenadas (x1,0) e
(x2,0).
6.0 Resumo
7.0 Inequação de 2ª Grau
7.1 Estudo dos Sinais
Deve-se achar os valores de “x” para que a função anule-se (f(x)=0), seja
positiva (f(x)>0) e/ou seja negativa (f(x)<0).
Para isso, deve-se observar os valores do e do parâmetro “a”.
> 0: Há raízes reais toca 2 vezes no eixo x
a > 0 a < 0
< 0: Não há raízes reais não toca no eixo x
a > 0 a < 0
= 0: Há 1 raíz real toca 1 vez no eixo x
a > 0 a < 0
7.2 Inequação de 2ª Grau
Quando uma função de 2ª grau está sendo comparada com o zero (utilizando
estes símbolos: >; <; ; ), denomina-se uma inequação de 2ª grau.
ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c 0 ax² + bx + c 0
Em inequações simples como estas acima, resolve-se igual à função quadrática,
só que no final o x não estará igualado às raízes, e sim comparado; depois efetua
o estudo dos sinais.
7.2.1 Inequações simultâneas
O mesmo que um sistema de inequações, só que se resolve elas separadamente, e
depois compara os resultados.
7.2.1.1 Inequação-produto
Quando há um produto de 2 ou mais funções numa inequação.
f(x) . g(x) > 0 f(x) . g(x) . h(x) 0
Para resolvê-la, acha-se as raízes, faz um estudo dos sinais e monta a seguinte
tabela:
Obs.: Os símbolos, as quantidades de raízes e o tipo de bolinha – aberta ou fechada
– dependerá da questão.
7.2.1.2 Inequação-quociente
Quando há uma divisão entre funções.
( )0
( )
f x
g x
( ). ( )0
( )
f x g x
h x
( ). ( )0
( ). ( )
f x g x
h x i x
Resolve-se do mesmo modo que a inequação-produto, porém, há a restrição, isto
é, a função que representa o denominador não pode ser igual a zero. Logo, em
qualquer inequação-quociente, o denominador será sempre “o” (Bolinha aberta).