apostila controle - 07 - integral de convolução, função de transferência e função resposta em...

Controle de Sistemas Mecânicos

IC, FT e FRFIC, FT e FRF

Integral de ConvoluçãoSolução através da Integral de ConvoluçãoDefinição de FT, pólos e zerosSolução Harmônica Regime PermanenteFunção Resposta em Freqüência (FRF)

Controle de Sistemas Mecânicos

Resposta ao impulsoResposta ao impulso

Definição da função Impulso (delta de Dirac)

τ1

τ t

( )tδ

∫∞

∞−=

≠=

1)(

00)(

dtt

tpt

δ

δ

A função impulso é definida no limite A função impulso é definida no limite τ = 0

Controle de Sistemas Mecânicos

Integral da Integral da ConvoluçãoConvolução no Tempono Tempo

∫ −=t

dthuty0

)()()( τττ

Equação fundamental p/ avaliação do desempenho dos sistemas.Conhecida a resposta ao impulso pode-se encontrar a resposta a qualquer excitação.Método geral de solução Integrais de difícil solução analíticaMétodos numéricos de integração, ou ainda métodos simbólicos (em casos simples)

Controle de Sistemas Mecânicos

Transformada da Transformada da ConvoluçãoConvolução

Para um sistema linear invariante no tempo a FT é dada por:

Pode-se se escrever a saída como:

Considerando u(t) como sendo o impulso podemos escrever:

A multiplicação no dominio complexo é a convolução no tempo:

∫ −=t

dthuty0

)()()( τττ

)()()(sUsYsP =

)()()( sUsPsY =

)()()( sUsHsY =

Controle de Sistemas Mecânicos

Método geral de solução de E.D.Método geral de solução de E.D.

Há um método geral para encontrar a solução completa analítica para as equações diferenciais, mas que no entanto é bastante trabalhosoTrata-se da integral de convolução, que pode ser usado para qualquer tipo de excitaçãoO método será apresentado porque envolve conceitos mais amplos para avaliar o comportamento de sistemas de modo geralNa prática, utiliza-se a transformada de Laplace

Controle de Sistemas Mecânicos

Resposta ao impulsoResposta ao impulso

∫∞

∞−−= ττδτ dtutu )()()(

Qualquer função u(t) pode ser escrita como a soma contínua de impulsos

Observe que τ = t é a condição para o delta ser não nulo, podendo assim se retirar u(t) de dentro da integral.

Controle de Sistemas Mecânicos

ConvoluçãoConvolução no Tempono Tempo

Definindo-se h(t) como resposta ao impulso

A resposta para uma excitação qualquer será:

Devido à linearidade:

Pela invariância no tempo e causalidade:

[ ])()( tth δR=

[ ] ∫∞

∞−−== ])()([)()( ττδτ dtututy RR

∫∞

∞−−= ττδτ dtuty )]([)()( R

∫ −=t

dthuty0

)()()( τττ

Controle de Sistemas Mecânicos

Integral de Integral de convoluçãoconvolução

É representada como

e definida como

Pode-se mostrar facilmente que

ou seja,

)()()( thtuty ∗=

∫ −=t

dthuty0

)()()( τττ

∫ −=t

dtuhty0

)()()( τττ

)()()()()( tuththtuty ∗=∗=

Controle de Sistemas Mecânicos

Solução ao Impulso através de C.I.Solução ao Impulso através de C.I.

)(01 tyadtdya

dtydn

n

δ=+++L

1)0(

0)0(

0)0(

1

1

=

=

=

+−

−

+

+

n

n

dtyd

dtdyy

M

0)0(

0)0(

0)0(

1

1

=

=

=

−−

−

−

−

n

n

dtyd

dtdyy

M

001 =+++ yadtdya

dtydn

n

L

A solução de estado nulo conduz de forma similar a uma equação homogênea com condições iniciais nulas exceto para a condição inicial de maior ordem com unitária

Entrada nulaEstado nulo

Controle de Sistemas Mecânicos

Exercício:Exercício:

)(102 tuydtdy

=+

Para o sistema abaixo, encontrar a resposta ao impulso e a resposta a uma excitação exponencial pela integral de convolução.

tetubttua

α

δ

=

=

)())()()

Controle de Sistemas Mecânicos

Solução:Solução:

N1/D

u hx

)(2 tuxdtdx

=+)(10 txh =

a))(102 tuy

dtdy

=+

Controle de Sistemas Mecânicos

Solução:Solução:

o PC é , com polo . Logo a RN

é . Com as condição inicial

encontra-se . A resposta ao impulso

portanto é

02 =+ptAetx 2)( −= 1)0( =x

1=A

teth 210)( −=

2−=p

Impuls e Res pons e

Time (s ec)

Ampl

itude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

tetx 2)( −=

Controle de Sistemas Mecânicos

Solução:Solução:

∫ −−=t

t deety0

)(210)( ττατ

b) Pela convolução

e portanto

Integrando:

∫∞

∞−−= τττ dtuhty )()()(

MatLab:Syms alpha tau tint(exp(alpha*t-2*tau-alpha*tau),tau,0,t)α

α

+−

=−

2][10)(

2tt eety

Controle de Sistemas Mecânicos

Exercício:Exercício:

A resposta ao impulso obtida de um SPO é mostrada na figura abaixo. Encontrar a função de transferência.

Impuls e Res pons e

Time (s ec)

Ampl

itude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

Controle de Sistemas Mecânicos

Solução:Solução:

Impuls e Res pons e

Time (s ec)

Ampl

itude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

Sys tem: PTime (s ec): 0.502Amplitude: 3.67

678.310)( 1 == −eh τ

5.0=τ

τt

eth−

=10)(

teth 210)( −=

Controle de Sistemas Mecânicos

Função de TransferênciaFunção de Transferência

A partir da equação diferencial geral simplificada

aplicando a Transformada de Laplace para estado nulo

definiu-se a função de transferência como:

D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=

D s Y s N s U s( ) ( ) ( ) ( )=

)()(

)()()(

sDsN

sUsYsFT ==

Controle de Sistemas Mecânicos

Definindo Pólos e ZerosDefinindo Pólos e Zeros

Definem-se como pólos as raízes do polinômio característico, ou seja do denominador da função de transferência. Este é um ponto singular da FT.

Definem-se como zeros as raízes do numerador da função de transferência. Corresponde a um ponto nulo da FT.

Observa-se que o comportamento do sistema dependerá portanto da posição dos pólos e zeros no plano complexo.

Controle de Sistemas Mecânicos

Visualização da Visualização da FT, FT, PólosPólos e Zerose Zeros

Calculando o módulo de G(s) para os valores de s=σ +jω

ω

|G|

1)( 2 ++=

ssssG

0.86i -0.5p0.86i +0.5p

2

1

−=−=

0=z

-1-0.8

-0.6-0.4

-0.20 -4

-20

24

-4

-2

0

2

4

X: 0Y: 3.51

Z: -1.27

Controle de Sistemas Mecânicos

Resposta Harmônica Regime PermanenteResposta Harmônica Regime Permanente

Para uma excitação harmônica

a TL é

A resposta é obtida da FT

ou ainda em termos de frações parciais

)sen()( tAtu ω=

22)(ωω+

=sAsU

22)()()()(ωω+

==sAsPsUsPsY

)()()(sUsYsP =

ωω jsK

jsK

psC

psC

psCsY

n

n

++

−+

−++

−+

−= 21

2

2

1

1)( L

Controle de Sistemas Mecânicos

Resposta permanenteResposta permanente

tjtjn

i

tpi eKeKeCty i ωω

211

)( ++= −

=∑

)(ty p)(tyt

TLI

Resposta em freqüência => regime permanente

transitóriotransitório permanentepermanente

tjtjp eKeKty ωω

21)( += −

Controle de Sistemas Mecânicos

Cálculo da constante Cálculo da constante KK11

ωωωωω

jsjsjsAsPjsK

−=−++=

))(()()(1

A resposta permanente em frações parciais

Multiplicando por (s+jω) para calcular K1

ωωωωω

jsK

jsK

jsjsAsPsYp −

++

=−+

= 21

))(()()(

jAjPK2

)(1 −−= ω

Controle de Sistemas Mecânicos

Cálculo da constante Cálculo da constante KK22

ωωωωω

jsjsjsAsPjsK

=−+−=

))(()()(2

A resposta permanente em frações parciais

Multiplicando por (s-jω) para calcular K2

ωωωωω

jsK

jsK

jsjsAsPsYp −

++

=−+

= 21

))(()()(

jAjPK2

)(2 ω=

Controle de Sistemas Mecânicos

Resposta harmônica no tempoResposta harmônica no tempo

Substituindo K1 e K2 em y(t) pode-se obter a reposta no tempo

Escrevendo o termo P em módulo e fase

A resposta pode ser escrita

tjtjp e

jAjPe

jAjPty ωω ωω

2)(

2)()( +−

−= −

φωω jejPjP −=− )()( φωω jejPjP )()( =

tjjtjjp ee

jAjPee

jAjPty ωφωφ ωω

2)(

2)()( +−

= −−

Controle de Sistemas Mecânicos

Simplificando a resposta harmônicaSimplificando a resposta harmônica

jeejPAty

tjtj

p 2)()()(

)()( φωφω

ω+−+ −

=

Ou ainda

Colocando em evidencia

simplificando

tjjtjjp ee

jAjPee

jAjPty ωφωφ ωω

2)(

2)()( +−

= −−

)sen()()( φωω += tjPAtyp

Controle de Sistemas Mecânicos

Função Resposta em FreqüênciaFunção Resposta em Freqüência

Como resultado para uma dada freqüência, a saída y(t) a uma entrada harmônica a um sistema P(s) pode ser vista como o produto de dois complexos:

Define-se a Função Resposta em Freqüência como sendo a FT para s= jω

tAtu ω=)()()()( ωωω Φ= MjP

)()()()( ωωωω

Φ====

MsPjPFRFjs

))(sen()()( ωωω Φ+= tAMty

))(sen())(()())(())(()(

)()()(

ωωωωωω

ωωω

Φ+=

+Φ=

Φ=

tAMtytAMty

tAMty

)sen()( tAtu ω=

)sen()()( φωω += tjPAty

Controle de Sistemas Mecânicos

Função de resposta em freqüênciaFunção de resposta em freqüência

Considerando a freqüência angular ωvariando, pode-se descrever o comportamento permanente de um sistema através de sua FRF, usando-se os diagramas respectivos das funções módulo e fase.

Controle de Sistemas Mecânicos

Funções módulo e faseFunções módulo e fase

A função módulo e a função fase

são representadas

pelos seus diagramas

Controle de Sistemas Mecânicos

Representação Gráfica da Representação Gráfica da FTFT e e FTSFTSjω

σ

ω

|G|

22 2)(

nnssssP

ωζω ++= )(ωM

)(ωΦ)()()( ωωω Φ= MjP

Controle de Sistemas Mecânicos

Matlab:FTMatlab:FT--FTSFTS% Surperficie de resposta a uma excitaçao complexa% Sistema: (s)/(s^2+2*zeta*wn+wn^2)% Resposta p/ s=sig+j*omgwn=1;zeta=0.5;gw=linspace(-4,4,50); % ou gw=-4:8/49:4;gs=linspace(0,-1,50);[sig omg]=meshgrid(gs,gw);dp=[1 2*zeta*wn wn^2];np=[1 0];vd=polyval(dp,sig+j*omg);vn=polyval(np,sig+j*omg);z=abs(vn./vd);figure(1);surf(sig,omg,z);shading interp; view([1,-1,1])figure(2);surf(sig,omg,z);shading interp; view([0,0,1])

Controle de Sistemas Mecânicos

Exemplo MMAExemplo MMA

m

k c

u t( )

y

Para o sistema ao lado,m = 1Kg,k = 2 N/m ec = 0.5 N s/m.A excitação é senoidal c/ freq. angular 2 rad/se amplitude de 10 N,obter a resposta permanente y(t).

Controle de Sistemas Mecânicos

Solução da Equação ParticularSolução da Equação Particular

m

k c

u t( )

y

d y tdt

cmdy tdt

kmy t

mu t

2

2

1( ) ( ) ( ) ( )+ + =

mks

mcs

msP++

=2

1

)(M m

km

cm

( )( ) ( )

ωω ω

=− +

1

2 2 2

Φ ( ) arctan ( )ω ωω

= −−c

k m 2

)()(

1

)(2

mcj

mk

mjP ωωω

+−=

Matlab:usar atan2

Controle de Sistemas Mecânicos

Solução da Equação ParticularSolução da Equação Particular

)]arctan(2sen[)()(

1)( 2

222 ωω

ωω mkctA

mc

mk

mty−

−+−

=

0 1 2 3 4 5-1 0

-5

0

5

1 0R e s p o s ta d e u m s is te m a M M A

Am

plitu

de (m

)

Te m p o (s )

)68,22sen(47,4)( −= tty

Controle de Sistemas Mecânicos

ExercícioExercício

Desenhar os diagramas das funções módulo e fase do exemplo MMA.m=1; c=0.5; k=2;dp=[1 c/m k/m]; np=1/m;P=tf(np,dp);w=linspace(0,5,100);h=freqresp(P,w);mod(1,:)=abs(h(1,1,:));subplot(211)plot(w,mod,'.')title('Módulo da FRF')fase(1,:)=angle(h(1,1,:));subplot(212), plot(w,fase,'.')title('Fase da FRF')xlabel('Freqüência angular (rad/s)')

Controle de Sistemas Mecânicos

ExemploExemplo

Encontrar a resposta forçada p/ o prob. anteriorm=1; c=0.5; k=2; w=2; A=10; t=0:0.1:5; u=A*sin(w*t);Pjw=(1/m)/((k/m-w^2)+j*(w*c/m));G=abs(Pjw); Fi=angle(Pjw);y=G*A*sin(w*t+Fi);figure(1), plot(t,u,t,y), gridtitle('Resposta de um sistema MMA')ylabel('Amplitude (m)')xlabel('Tempo (s)')

Controle de Sistemas Mecânicos

ReferênciaReferência

Solução homogênea SPOKreyszig pg 69-77

Solução homogênea SSOKreyszig pg 80-87