análise espectral · representação da série de fourier c n = amplitude n = fase 4/ 4/3 a n b n...
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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Universidade Técnica de LisboaINSTRUMENTAÇÃO E AQUISIÇÃO DE SINAIS
1º Semestre 2007/2008
15
Análise Espectral
outra forma de olhar para os sinais
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Conteúdo
• Análise Espectral: uma ferramenta indispensável
• Viagem no tempo (Canal História)
• Séries de Fourier(FS) – Fourier Series (FS)
• Sinais de Energia e Potência
• Séries de Fourier Discretas (SFD) – Discrete FourierSeries (DFS)
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Porquê análise espectral?
• Constitui uma forma alternativa de identificar, descrever e analisar sinais que é complementar da análise no tempo.
• Permite a identificação e supressão selectiva de fontes de interferência coerentes.
• Proporciona uma forma rápida e eficiente de identificar as componentes de um sinal.
• Poderá simplificar o problema original - ex.: resolver Eq. Difer. Par. (PDE), auto e correlações cruzadas etc.
• Existem vários algoritmos numéricos que a implementam de forma extremamente eficiente (DSPs, FPGAs etc).
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Análise Espectral – uma ferramenta
s(t), S(f ) :
Par de Transformação
tempo, t frequência, f
Fs(t) S(f ) = F[s(t)]
análise
síntese
Sinais EléctricosSaídas de sensores{ Som, Imagem, EMG, ECG, EEG etc.}
Entradas de actuadores
• Excitação de sinais
• Decomposição em frequência
(Densidade Espectral de Potência)
• Supressão de Componentes (filtros)
• Determinação de periodicidade
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Sinal de Entrada | tempo | Período | Nome | Espectro | Coef. Espectrais
1N
0n
N
nkπ2j
es[n]N
1kc
~
Discreto
DiscretoDFSPeriódico (período T)
ContínuoDTFTAperiódico
DiscretoDFT
nfπ2je
n
s[n]S(f)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12
time, tk
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
time, tk
1N
0n
N
nkπ2j
es[n]N
1kc
~
Nota: j = -1, = 2 /T, s[n] = s(tn), N = No. de amostras
dttfπj2
es(t)S(f)
dt
T
0
tωkjes(t)T
1kc
Periódico (período T) Discreto
ContínuoFTAperiódico
FSContínuo
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
time, t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12
time, t
Análise Espectral – uma ferramenta
N
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Canal História
• Previsões de astronomia pelos Babilónios e Egípcios provavelmente recorriam a somas trigonométricas.
• 1669: Newton tropeça no espectro de luz (specter = fantasma) mas não reconhece o conceito de “frequência” (teoria corpuscular da luz).
• Século 18: dois problemas eminentes
– Órbitas dos corpos celestiais: Lagrange, Euler & Clairaut fazem uma aproximação dos dados de observação com uma combinação de funções periódicas; Clairaut, 1754(!) primeira fórmula DFT.
– Cordas vibratórias: Euler descreve o movimento de vibração da corda por sinusóides (equação da onda).
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Canal História
• 1807: Fourier apresenta o seu trabalho na condução do calor Nasce a análise de Fourier.
– Equação da difusão Séries (infinita) de senos & cosenos. Fortes críticas por pares bloqueia publicação. Trabalho só publicado em 1822 (“Theorie Analytique de la chaleur”).
• 19th / 20th century: dois caminhos para a análise de Fourier - Continuo & Discreto.
– CONTINUO
• Fourier extende a análise para funções arbitrárias (Transformada de Fourier).
• Dirichlet, Poisson, Riemann, Lebesgue pegam no problema da convergência da série.
• Outras variantes da TF nascem de necessidades várias (ex.: Short Time FT – análise da fala).
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Canal História
– DISCRETO: métodos de cálculo rápidos (FFT)
• 1805 - Gauss, primeira utilização da FFT (manuscrito em latim passou despercebido!!! Publicado em 1866).
• 1965 - Cooley & Tukey da IBM “redescobrem” o algoritmo da FFT (“An algorithm for the machine calculation ofcomplex Fourier series”).
• Outras variantes da DFT para outras aplicações (ex.: Warped DFT - filter design & signal compression).
• Algoritmo FFT refinado & modificado para várias plataformas computacionais.
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Séries de Fourier
• Uma função periodica s(t) que satisfaça as condições de Dirichlet (1)
pode ser expressa como uma série de Fourier, com termos seno e coseno harmonicamente relacionados,
(1) Próximo acetato
a0, an, bn : coef. de Fourier.
n: harmónica,
T: período, = 2 /T
0 n n
n 1
s(t) a a cos (nωt) b sen (nω t)
Para todo t, exceptuando discontinuidades
síntese
Nota: {cos(nωt), sen(nωt)}nformam uma base ortogonal num espaço funcional.
0
0
1a s( )
T
t dtT
n
0
2b s( ) sen( )
T
t n t dtT
n
0
2a s( ) cos( )
T
t n t dtT
(média do sinal num período, i.e. termo DC ou componente de frequência zero.)
análise
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Convergência da Série de Fourier
s(t) contínua por troços;
s(t) monotónica por troços;
s(t) absolutamente integrável, 0
s( )
T
t dt
(a)
(b)
(c)
Condições Dirichlet
Em qualquer
período
Exemplo:
onda quadrada
T
se s(t) não for contínua então
|an|<M/n para n grande (M>0)
Taxa de convergência
(a)
(b)
(c)
T
s(t)
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Sinais que violam condições de Dirichlet
(c)(b)(a) (c)(b)(a)
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Sinais que violam condições de Dirichlet
(c)(b)(a)
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Análise da Série de Fourier
SF de função ímpar odd*: onda quadrada.
2
0
0
1( 1) 0
2a dt dt
2
0
1cos cos 0na nt dt nt dt
2
0
1 2sen sen ... 1 cosnb nt dt nt dt n
n
4ímpar
0 par
nn
n
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10t/s
s(t)
/V
2 1T
(média nula)
(função ímpar)
4 4 4s( ) sen sen 3 sen 5 ...
3 5t t t t
* Funções Pares e Ímpares
Ímpar:
s(-x) = -s(x)
x
s(x)
s(x)
x
Par:
s(-x) = s(x)
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Representação da Série de Fourier
cn = amplitude
n = fase4/π
4/3π
an
bn f1
f1
3f1
3f1
5f1
5f1
f
f
Cartesiana
vn = ancos( nt) + bnsen( nt)
Espectro de Fourierda onda quadrada
vn = cn cos( nt + n)
Polar
-π/2
cn
θn
4/π
4/3π
f1
f1 3f1
3f1
5f1
5f1 f
f
0
1
0
1
s( ) cos sen
s cos
n n
n
n n
n
t a a n t b n t
t a c n t
DC f 2 f 3 f n ff 2 f 3 f
+ + + + + +
2 2
n n nc a b
cn
n
an
bn
arctan nn
n
b
a
,
EspectroFrequência
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Análise da Série de Fourier
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10t/ss
(t)
/V
SF de função par: ondaquadrada com avanço de /2
0
0
0
4ímpar, 2 par 1
4- ímpar, 2 ímpar 1
par0
0
n
n
a
n nn
a n nn
n
b
(função par)
(média nula)
amplitudes não mudam, MAS
as fases avançam n /2.
π
f1 f/Hz
rn
θn
4/π
4/3π
3f1 5f1 7f1
f1 3f1 5f1 7f1 f/Hz
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Análise da Série de Fourier
• Simplificações
– Sinais sem componente DC: a0 = c0 = 0
– Sinais com simetria par: bn = 0, cn = an
– Sinais com simetria ímpar: an = 0, cn = bn
– Sinais com simetria de ½ onda: an = bn = cn = 0,
for n = 2k, k
t
s(t)
0s s2
Tt t
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Representação Espectral
• Os coeficientes cn constituem o espectro discreto de s(t).
• O espectro de amplitude corresponde aos valores absolutos dos coeficientes cn.
• O espectro de fase corresponde aos coeficientes Θn.
• O espectro habitualmente é representado em 2 gráficos nos quais a abcissa pode ser linear ou logarítmica.
• O eixo das ordenadas no espectro de amplitude pode ser expresso em dB ou em V.
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Espectro de uma onda triangularA = 0,8 V f = 100 Hz
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
t /s
u (t ) /V
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
f /Hz
A n /dB
u(t
)/V
cn/d
B
2 2
8n
Ac
n
• Só tem harmónicas
ímpares – simetria de
½ onda.
• Amplitudes das
harmónicas diminui
com 1 / n2
• Por exemplo, c3=c1/32
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Espectro de uma onda quadradaA = 0,5 V f = 100 Hz
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
t /s
u (t ) /V
-30
-20
-10
0
10
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
f /Hz
A n /dB
4n
Ac
n
• Só tem harmónicas
ímpares – simetria de
½ onda.
• Amplitudes das
harmónicas decresce
com 1 / n
• Por exemplo, c5=c1/5
u(t
)/V
cn/d
B
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Espectro de uma onda rectangular
tT
A
T
s( )t 0
0
1
TA
a dt AT
sen 2n
Aa n
n
1 cos 2n
Ab n
n
2sen 2 sincn
Ac n A n
n0n
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0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
n
A/V
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
60
80
100
120
140
160
180
n
/º
35
Espectro de uma onda rectangular
0.25
40
1V
n
A
nc
sen 0 ,k
n n k
cn/V
Θn/º
n
n
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Espectro de uma onda rectangular
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
n
cn/d
Bc
n/d
B
n
10 10
1
20log 20logncn
c
/ dBnc
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Síntese da Série de Fourier
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
t /s
u (t ) /V
N = 1
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
t /s
u (t ) /V
N = 3
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
t /s
u (t ) /V
N = 5
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
t /s
u (t ) /V
N = 7
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
t /s
u (t ) /V
N = 9
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
t /s
u (t ) /V
N = 11
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
t /s
u (t ) /V
N = 13
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
t /s
u (t ) /V
N = 17
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
t /s
u (t ) /V
N = 15
s(t)/V
t /s
1
s 0 cosN
n nn
t c n t
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38
Série de Fourier – Complexos
• A formulação de Euler permite uma representação eficiente da SF que será igualmente útil para a transformada,
1 1
1cos sen
2
j t j t
n n n n n n
n n
a n t b n t a jb e a jb e
cos ; sen2 2
jn t jn t jn t jn te e e en t n t
j
1.
1
10
1 1
2 2
jn t jm t jn t
n n m m n n
n m nn
a jb e a jb e a jb e2.
;
jm t jn t
m n m n
e em n
a a b b 0 0
2
jn t jn tn nn
n nn n
a jbe c e
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39
Série de Fourier – Complexos
• para n≠0 temos,
• para n=0 temos,
0
1s cos sen
2 2
T
n nn
a jbc t n t j n t dt
T
0
1s s
T
jn t jn tt e dt E t eT
0 0 sc a E t
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40
s2
jn t jn tn nn
n n
a jbt e c e
Série de Fourier – Complexos
0
1T
jn t jn t
nc E s t e s t e dtT
Formulação por complexos da SF (Laplace 1782). Harmónicas cn distanciados por f = 1/T no eixo das frequências.
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41
As componentes de Fourier {un} formam uma base ortonomal do
espaço de sinais:
Def.: Produto Interno:
(Lembre-se: (ejt)* = e-jt )
Neste caso,
i.e. (1/ T) vezes a projecção de s(t) segundo a componente un.
SF – Base Trigonométrica Ortonormada
0
1,jn t
n e nT
u
,
1
0m n m n
m n
m nu u
T
*
n m n m
0
dtu u u u
s n
n
tc
T
u
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42
• Na representação complexa da SF
temos: n = -∞, ,0, ,+ ∞
•
• n > 0, amplitude complexa gira no sentido
contrário ao dos ponteiros do relógio (laranja).
• n < 0, amplitude complexa gira no sentido do ponteiro dos relógios
(verde),equivalente a tempo negativo inversão temporal.
• Cuidado: Fases são extremamente importantes quando se
combinam sinais.
SF – Frequências negativas e inversão temporal
cn
n
an
bn
nn > 0
n < 0
,n n nn t
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43
Análise Espectral – Sinais não periódicos
• Estamos interessados em estender a representação espectral
a sinais não periódicos.
• Um sinal aperiódico pode ser entendido como um cenário
limite de um sinal periódico para o qual,
0Ts t
00T0
2T0
2T
0T t
0T
00T0
2T0
2T
0T t
0T
t
s t 0sT t
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44
• No limite as duas funções serão idênticas,
• A expansão em SF do sinal periódico corresponde a,
• Integrar no intervalo é o mesmo que
integrar no intervalo
Análise Espectral – Sinais não periódicos
0sT t 0 0;
2 2
T T
s t ;
00
lim s ( ) s( )TT
t t
0
0s ( )
jn t
T n
n
t c e
02
0
0
02
0
1s ( )
T
T
jn t
n Tc t e dtT
0
0
1s
jn t
nc t e dtT
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45
Análise Espectral – Sinais não periódicos
• É interessante analisar como evolui o espectro com o incremento do período. Com esse intuito definimos,
• Os coeficientes correspondem às amostras de
(multiplicadas pelo factor ) e uniformemente espaçadas de um
intervalo
S s j tt e dt 0
0
1Snc n
T
nc S
01 T
1
0 rads
nc
S
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46
Análise Espectral – Sinais não periódicos
• No limite, , as componentes do espectro
têm um espaçamento nulo e a amplitude esvanece
(infinitésimal).
• Substituindo na expressão de sinal sinal periódico,
– quando , torna-se infinitésimal e podemos recorrer à
notação,
0 0, 0, 0nT c
nc
0
0
0
0
Ss
jn t
T
n
nt e
T
0T
0
2
T 0
Ss
2
jn t
T
n
nt ee
0
00 , 0, TT s t s t0
1s lim S
2
jn t
n
t n e
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47
Análise Espectral – Sinais não periódicos
• A expressão
pode ser entendida como a área sob a função (Integral de Riemann)
0
1s lim S
2
jn t
n
t n e
S j te
S jnn e
S j te1
s S2
j tt e d
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48
Análise Espectral – Sinais não periódicos
• Transformada de Fourier
02
02
2
0
0
1, S s
T
T
j n f t
nf n f t e dt c TT
0 0 S( ) S( )T f n f f n f f
2S s( ) j ftf t e dt
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1º Semestre 2007/2008
49
Transformada de Fourier - Propriedades
s t S
1. Linearidade
2. Desloc. no tempo
3. Desloc. na Frequência
4. Derivada temporal
5. Convolução (tempo)
6. Correlação (tempo)
1 2s sa t b t 1 2S Sa b
0s t t 0 Sj t
e
0 sj t
e t0S
sn
n
dt
dtS
nj
s f s ft t t d S F
s f s ft t t d*S F
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50
Transformada de Fourier - Propriedades
s t S
7. Integral no Tempo
8. Inversão no Tempo
9. Conjugado
10. Simetria
s t S
*s t *S
S t 2 s
s t dtS
S 0j
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TF de algumas ondas importantes
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• Considerando uma função arbitrária como uma tensão aos terminais de uma resistência unitária
• Sinais de Energia são limitados no tempo.
• Como regra, transitórios (sinais esporádicos determinísticos não periódicos) são sinais de energia.
• A média da potência num longo intervalo temporal (→∞) é zero.
Energia e Potência
s t
2spotência (VA)
1
t
2s t dt Sinal de Energia
2s (J)
b
a
E t dt
Energia
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Energia e Potência
• Um sinal de potência finita corresponde a um sinal com um período infinito e energia infinita, mas que tem uma média de potência finita,
• Como regra, sinais estocásticos e sinais periódicos determinísticos são sinais de potência.
• Sinais de potência cumprem sempre os critérios de Dirichlet para a convergência da série de Fourier.
2
0
10 lim s
T
TP t dt
T
Sinal de Potência
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Série de Fourier - Potência
• A potência pode ser determinada a partir da descrição em frequência do sinal, como estabelecido pelo,
• Nem a potência, nem o valor eficaz, dependem das fases das harmónicas Θn !!
2
2
0 0
10 0
22 2
0
1
1 1s cos
S2
T T
s n n
n
nRMS
n
P t dt a c n t dtT T
ca
Teorema de Parseval: Um sinal periódico s(t) é um sinal de
potência, assim como cada uma das componentes da série de Fourier
correspondente. A potência P de s(t) é igual à potência da sua
descrição em série de Fourier,
Potências somam-se
algebricamente !!!
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Séries de Fourier - Potência
2
2
0
1
1 1u cosef n n
nT T
U t dt c c n t dtT T
0
0 1
u cos cosn n n n
n n
t c n t c c n t
2
01cos cos 2
0
n
n n m m
T
cm n
c n t c m t dtT
m n
2
2
0
1
s s2
nef
n
cU c t t
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Transf. de Fourier - Potência
• Para sinais não periódicos (Transformada de Fourier), o teorema de Parseval é expresso analiticamente por,
• A Densidade Espectral de Potência DEP (Power Spectral Density - PSD) corresponde a,
2 2*1s S S S
2E t dt d f df
2* 2 1S S S V HzPSD
Nota: Em ambas as definições, S( ) e S(f), correspondem à TF de s(t)
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Transf. de Fourier - Correlação
• A autocorrelação de um sinal s(t) pode ser expressa
analiticamente (sinais estacionários) por,
• O teorema de Wiener-Khinchin estabelece uma importante relação entre a auto-correlação de um sinal e a sua densidade espectral de potência,
R s s s st t dt E t t
*S S R RjPSD e d
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Transf. de Fourier - Correlação
• Em particular, é verdadeira a seguinte identidade para sinais estocásticos estacionários,
• Uma forma particularmente eficiente de numericamente determinar a auto-correlação de um sinal consiste em determinar a transformada de Fourier inversa da DEP,
1
0R 0
tP PSD
*1R S S
2
jne d
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Transf. de Fourier - Correlação
• O teorema de Wiener-Khinchin é extensível à correlação cruzada,
*1R
2
jn
xy Y X e d
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Correlação Cruzada – um Exemplo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
s
V
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
s
V
f1 f2 f3 f4 f5x(t
)y(t
)R
xy(
)
f4
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Correlação Cruzada – um Exemplo
0 5 10 15 20 25 30 35-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
1.00 Hz2.90 Hz 5.00 Hz 7.00 Hz 15.00 Hz
Hz
dB
VX(
) /d
BV
Hz
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Série de Fourier Discreta - DFS• Em sistemas digitais, nos quais o tempo não é contínuo, torna-
se necessário formalizar a variante de tempo discreto da Série de Fourier… Discrete Fourier Series.
• Para um sinal de largura de banda limitada s[k] com um período N, i.e., s[k] = s[k+N], a DFS é definida por,
0
1T
jn t
nc s t e dtT
Nota: cn+N = cn igual período N
Periodicidade propaga-se para as frequências
Síntese: Soma finita s[k] com larg. de banda finita
s jn t
n
n
t c e
21
0
1s
nkN jN
n
k
c k eN
21
0
nkN jN
n
n
s k c e
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Série de Fourier Discreta - DFS
• DFS gera coeficientes cn periódicos, com o mesmo período do sinal.
• N amostras consecutivas de s[k] descrevem completamente s nos domínios do tempo ou da frequência.
• Ortogonalidade da DFS,
2 ( )1
,
0
1n m kN jN
n m
k
eN
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Série de Fourier Discreta - Representação
• Representação DFS de uma onda quadrada com 1V de amplitude,
s[k]: período N, factor de ciclo fc/N
-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k
0 dc N
1
s[k]
1
, 0, , 2 ,
sen
, caso contrário
sen
n dcj
n N
fcn N N
N
n dcc
e N
nN
N
0.6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
1
0 2 4 5 6 7 8 9 10 n
-0.4
0.2 0.24 0.24
0.6
0.6
0.24
1
0.24
-0.2
0.4
0.2
-0.4
-0.2
0.4
0.2
0.6 |cn|
n
Sinais discretos Espectro Periódico
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Discrete Time Fourier Transform - DTFT
• Tal como no contínuo, há uma extensão para a decomposição em frequência de sinais não periódicos, a Discrete Time Fourier Transform – DTFT.
• A DTFT é definida por,
• Derivado da DFS fazendo N ∞,
21
0
1s[ ]
nkN jN
n
k
c k eN
Domínio da frequência contínuo!!!
2
0
1[ ]
2
j ks k S f e d
2s j f k
k
S f k ek
s[k] 1 período
s[k]
k
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Sistemas Digitais Lineares Invariantes no Tempo
• Obedecem ao princípio da sobreposição,
0 f
1
DTFT( [k])
DIGITAL LTI
SYSTEM
h[k]
x[k] y[k]
h[k] = impulse response
DIGITAL
LTI
SYSTEM 0 k
[k] 1
0 k
h[k]
DIGITAL
LTI
SYSTEM
0m
h[m]m]x[nh[n]x[n]y[n]x[n] h[n]
X(f) H(f) Y(f) = X(f) · H(f)
Convolução
Transformada de Fourier
h[k] = resposta impulsiva
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DTFT - Amostragem & Convolução
Amostrar s(t)corresponde amultiplicar s(t)pela função depente iii(t)
s[k] = s(t) x iii(kts)
s(t) S(f)
Time Frequency
t f
t f
tsfs= 1/tsiii(t) III(f)
k f
s[k] S(f)
{}
s iii S *IIIF
t t f f
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Discrete Fourier Transform - DFT
•A DFT é definida por
•Resolução na frequência
•Domínios do tempo e da frequência discretos.
•Forma similar à DFS mas para sinais não periódicos: algoritmicamente o sinal é tratado como periódico com período N.
21
0
1[ ]
nkN jN
n
k
c s k eN
21
0
snkN j
Nn
n
k c e
“Cestos” DFT localizados nas freq. de análise
DFT – como se existissem N filtros passabanda centrados em fm
Freq. de análise fm
, 0,1,2... 1Sm
m ff m N
N
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Discrete Fourier Transform - Espectro
• Espectro da Transformada Discreta de Fourier
• N é o número de amostras (total) na série temporal.
• T é a duração, em segundos, da série temporal.
• fs é a freq. de amostragem em amostras/segundo (Hz) or (Aps).
• f é a resolução em frequência ou espaçamento entre “cestos”
consecutivos (Hz).
• Para um número de pontos potência de 2, existe um algoritmo extremamente eficiente que explora a simetria, a FFT.
21
0
1S s
s
nkN j tN
n
k
n c k eT
n f1 1s
s t
ff
N Nt Tskt
1s
s
tf
0,1, , 1n N,
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Discrete Fourier Transform - Exemplos
• Exemplos da DFT: onda rectangular.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
[k]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
[n]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
[k]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.05
0.1
0.15
0.2
[n]
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71
Discrete Fourier Transform - Exemplos
• Exemplos da DFT: sinc.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5
0
0.5
1
[k]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
[n]
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Discrete Fourier Transform - Propriedades
1. Linearidade
2. Multiplicação
3. Convolução
4. Desl. no tempo
5. Desl. na frequência
6. Correlação
1
1 2
0
s [ ] s [ ]N
m
m k m
2
S( )n m
jTe n
2
s[ ]h t
jTe k
1 2s sa k b k 1 2S Sa n b n
1 2s sk k1
1 2
0
1S S
N
h
h n hN
1 2S Sk k
s k m
S n h
1
1 2
0
s [ ] s [ ]N
m
m k m*
1 2S Sk k
s[k] S[n]
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t 0 T/2 T 2T f
s[k] S(f)
f t
s[k] DFTIDFT
cn
DFT – DFS - DTFT
(a)
(a) Sinal discreto não periódico.
(c) Versão periódica de (a).
(e) Estimativa da DFT inversa de um único período de s[k].
(f) Estimativa da DFT de um único período de (d).
(b)
(b) DTFT transform.
(d) DFS coefficients – samples of (b)
(c)
(d)(e) (f)
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Distorção Harmónica
• Qualquer circuito de amplificação introduz não linearidades que devem ser conhecidas e acondicionadas, de outra forma constituem erro grosseiro.
• Para uma entrada sinusoidal pura, a existência de não linearidades resultam no aparecimento de harmónicas na saída..
• Este resultado tem sido extensamente utilizado como métrica de não linearidades num sistema, nomeadamente em amplificadores comerciais.
• Distorção harmónica é o rácio entre a amplitude eficaz da fundamental e a amplitude eficaz do sinal sem a fundamental,
2
10 22 1
120 logdB n
n
THD cc
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Bibliography
• Eric W. Weisstein, from MathWorld, A Wolfram Web Resource
– Fourier Series
• http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html
– Fourier Series-Triangle Wave
• http://mathworld.wolfram.com/FourierSeriesTriangleWave.html
– Fourier Transform
• http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html
• Paul Falstad, Fourier Series Simulation• http://www.falstad.com/fourier/
• eFunda, Fourier Series• http://www.efunda.com/math/fourier_series/fourier_series.cf
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