a trigonometria no triÂngulo retÂngulo

A TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO

RETÂNGULO

Na Grécia antiga, Na Grécia antiga, entre os anos de 180 a.C. e entre os anos de 180 a.C. e 125 a.C., viveu Hiparco, um 125 a.C., viveu Hiparco, um matemático que construiu a matemático que construiu a primeira tabela primeira tabela trigonométrica. Esse trabalho trigonométrica. Esse trabalho foi muito importante para o foi muito importante para o desenvolvimento da desenvolvimento da Astronomia, pois facilitava o Astronomia, pois facilitava o cálculo de distâncias cálculo de distâncias inacessíveis, o que lhe valeu o inacessíveis, o que lhe valeu o título de PAI DA título de PAI DA TRIGONOMETRIA. TRIGONOMETRIA.

Mais tarde, no primeiro Mais tarde, no primeiro século da era cristã, Ptolomeu século da era cristã, Ptolomeu da Alexandria escreveu uma da Alexandria escreveu uma coleção de livros conhecida coleção de livros conhecida como Almajesto, que significa como Almajesto, que significa “o maior”. Nela aparece uma “o maior”. Nela aparece uma tabela trigonométrica mais tabela trigonométrica mais completa que a de Hiparco.completa que a de Hiparco.

Foram muito Foram muito importantes as contribuições importantes as contribuições de Ptolomeu para a de Ptolomeu para a Trigonometria estudada nos Trigonometria estudada nos dias atuais.dias atuais.

45º

Você já parou para imaginar como os navegadores da antiguidade faziam para calcular a que distância da terra eles encontravam-se enquanto navegavam?

Distância da terra

ASTROLÁBIO

TEODOLITO

Um dos mais antigos instrumentos científicos, que teria surgido no século III a.C. A sua invenção é atribuída ao matemático e astrônomo grego Hiparco.

Instrumento geodésico, que serve para levantar plantas, medir ângulos reduzidos ao horizonte e as distâncias zenitais.

ONTEM HOJE

USANDO ÂNGULOS PARA MEDIR ALTURAS

Com a ajuda de um transferidor e de um canudinho de refrigerante podemos medir o ângulo necessário para calcular alturas como a de um prédio, de uma árvore ou uma torre. Esse ângulo é chamado ÂNGULO DE ELEVAÇÃO.

hipotenusa

cateto oposto

sen = cateto opostohipotenusa

hipotenusa

cos = cateto adjacentehipotenusa

cateto adjacente

tg = cateto opostocateto adjacente

cateto adjacente

cateto oposto

sen = cateto opostohipotenusa

cos = cateto adjacentehipotenusa

tg = cateto opostocateto adjacente

Construindo um teodolito

O teodolito é um instrumento muito usado na engenharia para medir ângulos.

Você pode construir um teodolito, fixando um extremo de um fio no centro de um transferidor e o outro extremo em um peso:  

Para entender como se usa esse aparelho, imagine que você alinhe a base do transferidor com o topo de um prédio e que o fio estacione sobre a marca 60º da escala. Desse modo, você pode concluir que seu raio visual forme 60º com a vertical e 30º com a horizontal

EXEMPLO EXPICATIVO

Dados

Ângulo= 37

Hipotenusa= 10

Cat. Oposto= h

Cat. Adjcente = ---

Seno

C.op

HipSen 37=

0,601 = h

10h = 10 x 0,601

h = 6,01 m

Que fórmula

devo usar?

EXEMPLO EXPICATIVO

Uma estação espacial que gira numa órbita estacionária afastada 600km da superfície da Terra avista um OVNI (objeto voador não identificado) numa direção perpendicular à linha imaginária de distância à Terra. Sabendo-se que a estação terrestre avista o mesmo objeto sob um ângulo de 30º desta linha imaginária, pergunta-se: a que distância o OVNI encontra-se da Terra?

EXEMPLO EXPICATIVO

Dados

Ângulo= 30

Hipotenusa= x

Cat. Oposto= -

Cat. Adjcente =600

cos

C.ad

Hipcos 30=

0,866= 600

xx = 600/0,866

x =692,8 km

Que fórmula

devo usar?

EXEMPLO EXPICATIVO

Dados

Ângulo= 60

Hipotenusa= x

Cat. Oposto= -

Cat. Adjcente = 50

cos

C.adj

HipCos 60=

0,5 =50

xx = 50/ 0,5

x= 100 m

O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo da encosta?

Que fórmula

devo usar?

EXEMPLO EXPICATIVO

Dados

Ângulo= 30

Hipotenusa= -

Cat. Oposto= x

Cat. Adjcente = 45

tg

C.op

C.adjtg 30=

0,577 = x

45x = 45 x 0,577

x = 25,66m

Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo, de 45 m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60º. A que distância o barco está da plataforma ?

Que fórmula

devo usar?

A TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Autoria e Produção: Prof. Eduardo V. Gaudio modificações feitas por José Camilo Chaves

Bibliografia:

BIANCHINI, Edwaldo; Miani, Marcos. Construindo conhecimentos em Matemática: 8ª série. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2000.

GIOVANNI, José Ruy; PARENTE, Eduardo. Aprendendo Matemática: 8ª série. 1. ed. São Paulo: FTD, 1999.

SOUZA, Maria Helena; SPINELLI, Walter. Matemática: 8ª série. 1. ed. São

Paulo: Ática, 1999.