5. escoamentos internos 5.1. introdução

5. ESCOAMENTOS INTERNOS

5.1. Introdução

Neste capítulo serão estudados os efeitos da viscosidade em escoamentos internos e incompressíveis.

Compreende:

Escoamento em:

tubos circulares

dutos não circulares

canais abertos (Hidráulica)

O escoamento de fluidos viscosos se dá em dois regimes:

laminar e

turbulento.

O parâmetro empregado para identificar o regime de escoamento é o número de Reynolds.

ascosvisForças

inérciadeForçasVVRe

Quando essa razão torna-se grande, é esperado que as forças de inércias predominem sobre as forças viscosas.

Essa situação ocorre em mudanças de geometria repentinas (perdas localizadas).

Não é o caso de tubos longos ou canis abertos, onde os efeitos viscosos predominam (perdas distribuídas).

Tubos Re < 2000 escoamento laminar

Canal largo Re < 1500 escoamento laminar

u = u(y)

espessura da camada limite

(região na qual ocorre 99% da variação da velocidade)

V = cte. V

Camada limite

5.2. Escoamento de Entrada e Escoamento Totalmente desenvolvido

Camada limite

Camada Limite laminar

Sub camada laminar

u = u(y)

C. L. laminar C. L. turbulenta

transição

u = u(y)

Camada limite turbulenta

V = cte.

Estabelecimento de um escoamento laminar em um tubo

Núcleo sem efeitos viscosos; du/dy = 0.

Re065,0D

V = cte.

Estabelecimento de um escoamento turbulento

Escoamento laminar Sub camada laminar

Escoamento turbulento

D120LE

0máx )

r1(u)r(u

5.3. Escoamento Laminar em um Tubo

5.3.1. Abordagem elementar

Hipótese:

• regime laminar (totalmente desenvolvido),

• regime permanente e

• incompressível.

Um volume elementar do fluido é mostrado na Fig. 7.4.

Se o diâmetro é constante em um escoamento permanente e incompressível, é sinal que a aceleração em x é nula.

Assim, considerando a 2ª Lei de Newton, vem:

0sendxrdxr2r)dpp(rp 222 dividindo por r,

dh(dxrdx2dpr

dhsendx dx

dh(dxrdx2dpr

)dhdp(2

rdx )hp(d

)hp(dx

r Escoamento laminar ou turbulento

Para escoamento laminar unidimensional, considera-se a Lei da viscosidade de Newton.

Onde y = 0 na parede e cresce para dentro do escoamento.

Com estas considerações a Lei de viscosidade de Newton, passa a ser escrita como:

du Na Eq. anterior, vem:

)hp(dx

• u = u(r) não depende de “x”

• (p + h) = p* pressão de movimento

• p* = p*(x) não depende de “r”

Como no problema em estudo a variável é o raio (r), há necessidade de se proceder a uma mudança de variável.

rry 0 drdy

Considerando a condição de contorno:

p/ r = r0 u = 0 (parede do tubo condição de aderência).

A)hp(dx

)hp(dx

)rr)(hp(dx

perfil parabólico.

Escoamento de Poiseuille.

Jean L. Poiseuille (1799 – 1869).

Separando as variáveis e integrando,

drr)hp(dx

1du A)hp(

5.3.2 Resolvendo as equações de Navier–Stokes

5.3.3. Quantidades do escoamento em um tubo

• Velocidade média V

Pelo teorema do valor médio,

dA = 2r dr

drr2ur

drr)rr(dx

dr)rrr(dx

No caso de tubos horizontais

h = Cte. dh = 0.

Para escoamento totalmente desenvolvido,

de modo que:.Ctedx

p + dp

Lp p - p

p queda de pressão.

p)dpp( L

Assim, para tubos horizontais

ou, explicitando a queda de pressãoL

A vazão será de:

Eq. de Hagen-Poiseuille.

Para tubos inclinados basta substituir “p” por “p + h”.

A velocidade máxima ocorre no centro do tubo (r = 0).

Ou seja:

)rr)(hp(dx

Foi visto que:

máxu2

No caso do escoamento em tubos, foi mostrado que a tensão de cisalhamento é dada por:

Na parede do tubo, r = r0 e = 0, de modo que:

= (r) distribuição linear.

f fator de atrito (tensão de cisalhamento adimensional).

Considerando que,

p queda de pressão (perda).

Tem-se:

L Eq. de Darcy-Weisbch

Henri P. G. Darcy (1803 – 1858); Julius Weisbach (1806 – 1871).

Combinado a Eq. abaixo com a Eq. de Darcy-Weisbach

Portanto, para o escoamento laminar, tem-se:

Observa-se, ainda, que para o escoamento laminar a perda de carga varia linearmente com a velocidade.

Exemplo 7.1

Um tubo horizontal de diâmetro pequeno é conectado a um reservatório, como mostra a Fig. E7.1. Se 6600 mm3 são capturados na saída em 10 s, estime a viscosidade da água.

FIGURA E7.1

Dados: = 6600 mm3 = 6,60·10-6 m3,

t = 10 s,

L = 1,20 m,

D = 1 mm = 10-3 m,

H = 2,0 m.

Solução:

Escoamento viscoso Equação da Energia.

200 hz

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0Hzh 0L

.s/m1060,610

1060,6

13821008,610

101060,64

Q4DVRe

Re < 2000 escoamento laminar. OK!

Hagen – Poiseuille

21081,9

1060,6128

)10( 3

kg1008,6 4

Exemplo 7.2

Obtenha uma expressão para a distribuição de velocidades entre tubos horizontais e concêntricos, no caso de um escoamento permanente, incompressível e totalmente desenvolvido (Fig. E7.2).

(regime laminar)

FIGURA E7.2

Solução:

dA = 2r dr

Considerando a Eq. da continuidade

mas: v = w = 0

pp(drr2

dr)dxr2(r

Ou seja: u = cte. em x. Então: ax = 0.

Da Lei de movimento de Newton,

0]dr)dxr2(r

dxr2[dxr2)dxx

pp(drr2drr2p

dxdrr2d 0)r(rr

dxdrr2

pdxdrr2

0)r(rr

)x(ppcom

0)r(ddrdx

Considerando a Lei da viscosidade de Newton (Laminar)

pp(drr2

dr)dxr2(r

dxr2 integrando,

0urr:contornodeCondições

2BrlnA

2 1 )rlnr(lnA

dp)rr(

integrando,

O que leva a:

Brlndx

)rrln(

22 rrln

)rrln(

222 rrln

)rrln(

urduulnur

Para se obter a vazão, integra-se a distribuição de velocidades

rAdrr2udAuQ

)rrln(

)rrln(4

)rrln(

Incompressível;

permanente;

totalmente desenvolvido.

5.4. Escoamento Laminar entre Placas Paralelas

5.4.1. Abordagem elementar

Escoamento:

Figura 7.5 Escoamento totalmente desenvolvido

Considere a Lei de movimento de Newton na direção “x”.

0sendzdydxdzdx)d(dzdxdzdy)dpp(dzdyp

0sendzdydxdzdxddzdydp dzdydxpor

Uma vez que “d(p + h)/dx = Cte.” em y, vem:

)hp(dd

integrando,

dzdy)dpp(

dzdx)d(

dzdydx

du Lei de Newton da viscosidade.

)hp(d1du

integrando,

Levando em conta as condições de contorno,

• p/ y = 0 u = 0 e B = 0.

• p/ y = a u = U. Então:

U)yay(

Escoamento com:

• U 0

• U = 0

Escoamento de Couette.

Escoamento de Poiseuille.

5.4.2. Integrando as equações de Navier–Stokes

5.4.3. Situação de escoamento simplificado

A distribuição de velocidades entre placas fixas é obtida fazendo U = 0.

)yay(dx

1)y(u 2

A vazão é obtida da equação:

dAuQ dA = 1dy (unidade de largura)

2 dy)yay(dx

Por outro lado, a velocidade média é dada por:

Para o caso de placas horizontais, h = Cte. e:

dp de modo que:

A velocidade máxima é encontrada a partir da distribuição de velocidades.

)yay(L2

0)ay2(L2

Logo, a velocidade máxima ocorre no meio da distância entre as placas.

Assim, a velocidade média é

máxu3

A tensão de cisalhamento pode ser encontrada

)ay2(L2

p)ay2(

Considerando as condições de contorno,

• p/ y = 0 = 0.

• p/ y = a = 0.

Uma vez que = (y) é uma distribuição linear, vem:

Na parede, na qual y = 0, resulta:

A queda de pressão em um comprimento L de um trecho horizontal é

Considerando o fator de atrito (tensão de atrito adimensional), introduzida no item 5.3.3, vem:

aLV48f

então

Perda de carga

LV12ph

L Eq. de Darcy-Weisbch

Exemplo 7.3

Água a 15° C escoa com um número de Reynolds de 1500, entre placas horizontais de 500 mm de largura, como mostra a Fig. E7.3. Calcule: a) a vazão, b) a tensão de cisalhamento na parede, c) a queda de pressão sobre 3 m, e d) a velocidade em y = 5 mm.

3,00 m

Figura E7.3

Dados:

T Re b L y a

15º 1500 500 3,00 5,00 13,00

C / mm m mm mm

0,500 0,005 0,013

Solução:

= 999,1 kg/m3;Água a 15° C = 1,128·10-3 kg/(m s).

1,999013,0

10128,11500 3

.s/m1317,0

Pa97,3100,366,10LL

)ayy(L

1)ayy(

)005,0013,0005,0(66,1010128,12

1317,010128,112

m/Pa66,10

66,102

013,0 .m/N06927,0 2

.s/m1870,0

Exemplo 7.4

Encontre uma expressão para o gradiente de pressão que resulte em uma tensão de cisalhamento igual a zero na parede inferior de duas placas paralelas, na qual y = O; esboce também os perfis de velocidade para uma velocidade U da placa superior, com vários gradientes de pressão. Suponha placas paralelas horizontais.

Figura E7.4

Solução:

U)ayy)(hp(

1)y(u 2

Placas horizontais, logo dh/dx = 0 e,

U)ayy(

1)y(u 2

A tensão de cisalhamento é dada pela Lei de Newton.

= 0 em y = 0 , então du/dy = 0 em y = 0 ( 0) e:

de modo que,

Se dp/dx é maior que esse valor, a inclinação du/dy, em y = 0 é negativa e assim, a velocidade u será negativa perto de y = 0.

Se dp/dx = 0, observa-se que resulta uma distribuição de velocidades linear, isto é,

U)ay2(

Se dp/dx é negativo, u(y) é maior que a distribuição linear em cada localização y, pois (y2 – ay) é uma quantidade negativa para todos os y de interesse.

5.5. Escoamento Laminar entre Cilindros em Rotação

5.6. Escoamento Turbulento em um Tubo

O estudo de um escoamento turbulento totalmente desenvolvido em um tubo circular é de substancial interesse em escoamentos reais.

Na prática a maioria dos escoamentos se dão em tubos circulares.

Laboratórios Escoamento laminar Re 40.000.

Na prática sob condições de

operação padrão Re 4.000 Esc. turbulento

2.000 < Re < 4.000 o escoamento oscila ao acaso entre laminar e turbulento.

Em termos práticos:

• Re = 2.000 – limite inferior para o escoamento turbulento

• Re = 4.000 – limite superior para o escoamento laminar.

Considere por exemplo, água a 20º C escoando em um tubo com diâmetro de 5 mm.

• Água a 20º C = 10-6 m2/s.

DVRe .s/m80,0

100004

Na maioria das situações de engenharia o regime de escoamento é turbulento.

Em um escoamento turbulento todos os três componentes da velocidade são diferentes de zero.

Com os componentes medidos em função do tempo, gráficos semelhantes aos da Figura 7.7 são obtidos para o escoamento em um tubo em que u, v e w são os componente da velocidade nas direções x, r e , respectivamente.

Figura 7.7 Componentes da velocidade

Raramente existe algum interesse (para o engenheiro) nos detalhes das flutuações aleatórias dos componentes da velocidade.

Assim, é introduzido a noção de uma quantidade média no tempo.

Tomando o componente u como exemplo, a média temporal é definida como:

dt)t(uT

Onde “T” deve ser suficientemente grande, para eliminar toda a dependência do tempo.

Em um escoamento totalmente desenvolvido em um tubo,

Exemplo 7.7

Mostre que para um escoamento turbulento.,y

Solução:

'uu)t(u T

0dt)t(u

1dt)'uu(

1u 'uu'udt

0u'uuuu 0'u

?0'u a)

Tomando a média temporal da derivada du/dy,

Já que T é constante. Então:

5.6.1. Equação diferencial

Figura 7.8 Escoamento turbulento em um tubo horizontal

Considere um escoamento turbulento em um tubo horizontal

Partículas de fluido movendo através da área elementar dA, troca q.d.m. com as camadas adjacentes.

O componente em x da força devido ao movimento aleatório de uma partícula de fluido passando através da área dA é:

'udA'vdF

u’ flutuação da velocidade em x.

v’dA fluxo de massa através do elemento de área.

Veja que:

v’Pela continuidade,

um v’ (+), produz um u’ (-).

Portanto u’v’ (-).

Dividindo por dA,

'u'vdA

dFturb tensão de cisalhamento turbulenta.

Cuja média temporal é:

'u'vturb

Observe que:

(u = Cte. em ).

(v = Cte. em ).

Não altera a energia da camada adjacente, portanto o cisalhamento é nulo, (mesma velocidade em ).

A tensão de cisalhamento total em uma localização particular é devido à viscosidade e a troca de quantidade de movimento descrita.

turblam

Já foi mostrado que:

Viu-se que a tensão de cisalhamento é linear, tanto para o escoamento turbulento, quanto para o escoamento laminar.

Figura 7.9.

Figura 7.9 Distribuição da tensão de cisalhamento

u’ = 0 na parede, portanto:

na parede.

Fora da sub-camada laminar (viscosa)

.0lam !0y

Considerando o raio do tubo no lugar de y, vem:

rry 0 ,edrdy

A primeira tentativa para exprimir a tensão de cisalhamento no escoamento turbulento foi feira por Boussinesq, que, seguindo o modelo do escoamento laminar, escreveu:

ud'v'uturb

Ou seja:

De modo que:

Prandtl introduziu o “comprimento de mistura” “m” e sugeriu que a variação de velocidade sofrida por uma partícula fluida que se move na distância m é proporcional a u’ e v’.

Isto é:

Com este raciocínio e associando o coeficiente de proporcionalidade ao comprimento de mistura, vem:

2mturb dy

ud'v'u

De modo que:

Comparando as propriedades do perfil de velocidades na turbulência com as variações de m em função de y, Von Kármán (1936) propôs a seguinte relação:

22uvm dyud

Onde Kuv é uma constante (adimensional) da turbulência.

Por outro lado, medidas experimentais demonstram que Kuv não é estritamente constante.

Exemplo 7.8

Note que na Fig.7.9b há uma região perto da parede onde o cisalhamento turbulento está próximo de seu máximo e é relativamente constante, como mostra a Fig. E7.8, e o cisalhamento viscoso é bastante pequeno. Suponha que o comprimento de mistura seja diretamente proporcional a distância da parede. Com essa hipótese, mostre que a distribuição de velocidades é logarítmica nessa região perto da parede.

Figura E7.8

Solução:Cisalhamento viscoso desprazível, então

turbturblam

2mturb dy

ud'v'u

Por outro lado, viu-se que:

Por hipótese, o cisalhamento turbulento é relativamente constante, ou seja:

1turb c.cte

Lembrando que o comprimento de mistura é tomado diretamente proporcional a distância da parede, então:

2221 dy

substituindo, vem

extraindo a raiz quadrada,

separando as variáveis,

43 cylnc)y(u

O que mostra que um perfil logarítmico é previsto para a região de tensão de cisalhamento turbulento constante.

dycud 3 integrando, resulta:

5.6.2. Perfil de velocidades

Figura 7.10 a) Superfície lisa b) Superfície rugosa

O perfil da média da velocidade no tempo é sensível a altura média da rugosidade “e”.

Vide Fig. 7.10.

Como observado no item anterior, o cisalhamento laminar é significativo apenas perto da parede, na subcamada viscosa com espessura .

Se a espessura é suficientemente grande, ela sobrepõe os elementos de rugosidade da parede de tal forma que eles têm efeito desprezível sobre o escoamento; é como se a parede fosse lisa.

Tal condição é muitas vezes citada como hidraulicamente lisa.

Por outro lado, se a subcamada viscosa é relativamente fina, os elementos de rugosidade projetam-se para fora dessa camada e a parede é considerada hidraulicamente rugosa.

A rugosidade relativa “e/D” e o número de Reynolds, podem ser usados para determinar se um tubo é liso ou rugoso.

Como u’v’ não pode ser determinado analiticamente, não se tem uma equação analítica para a distribuição de velocidades no escoamento turbulento.

O primeiro método para expressar empiricamente a distribuição de velocidades, envolve escoamentos com paredes lisas e escoamentos com paredes rugosas.

Se o escoamento tem paredes lisas, como na Fig. 7.10a, identifica-se duas regiões do escoamento:

• a região da parede e

• a região externa.

Na região da parede, a velocidade e o comprimento característico são:

• velocidade de atrito e

• comprimento de viscosidade.

Observe que:

Expressões empíricas para o perfil de velocidades

Tubos lisos:

Subcamada viscosa.

ln44,2u

No intervalo 5 < uy/ < 30 (zona intermediária), os dados experimentais não se ajustam a nenhuma das curvas anteriores, mas unem as duas curvas como mostra a Fig. 7.11.

Figura 7.11 Relações empíricas para o esc. Turbulento a) turbulento liso

A subcamada viscosa tem espessura .

É na subcamada viscosa que se imagina que a turbulência seja iniciada.

Essa camada possui uma distribuição de velocidades média no tempo linear, mas instantaneamente a camada é altamente dependente do tempo.

O limite externo da região da parede é completamente dependente do número de Reynolds, conforme mostrado.

Para Reynolds baixo ele pode ser localizado perto de uy/ = 3000.

Tubos rugosos:

Neste caso a subcamada viscosa não é importante, pois a turbulência inicia-se a partir dos elementos de rugosidade da parede que se projetam para fora desta subcamada, de forma que é necessário apenas um perfil logaritmo na região da parede.

O comprimento característico passa a ser a altura média da rugosidade “e”.

Assim:

yln44,2

(região da parede)

Na região externa o comprimento característico é r0, Fig. 7.11b.

Figura 7.11 Relações empíricas para o esc. Turbulento b) turbulento rugoso

A deficiência de velocidade é normalizada com u.)uu( máx

rln44,2

uu 0máx

(região externa)

Uma equação empírica adicional é necessária para completar o perfil para 0,15 < y/r0 1.

A região da parede e a região externa sobrepõe-se, como mostrado na Fig. 7.11a.

Na região de sobreposição

ruln44,2

u 0máx

(tubos lisos)

rln44,2

u 0máx

(tubos rugosos)

Para calcular umáx, deve-se conhecer u.

Para calcular u, deve-se conhecer 0.

0 é calculado a partir do gradiente de pressão,

Ou do fator de atrito,

Quando nem dp/dx, nem f são conhecidos, pode-se usar a lei de potência.

0máx r

(perfil da lei de potência)

Com 5 n 10.

Considerando esta distribuição de velocidades, a velocidade média é calculada.

drr2)r(ur

Fazendo uma mudança de variável, com:

0máx r

máx drrr

Os novos limites de integração, serão:

• para r = 0 a = 1

• para r = r0 a = 0.

Com r = r0(1 – a), vem:

máx da)r)(a1(rar

máx da)aa(u2V

máx a2

)1n2)(1n(

)1n1n2(nu2 máx

u)1n2)(1n(

Figura 7.12 Perfil de velocidades turbulento

Re 4·103 105 106 > 2·106

n 6 7 9 10

Tabela 7.1 Expoente n para tubos lisos

A distribuição de velocidades é comparada com o perfil laminar na Fig. 7.12.

Por seu lado, n é relacionado ao fator de atrito f, pela expressão empírica

Observações:

O perfil da lei de potência não pode ser usado para obter a inclinação na parede, pois sempre fornecerá:

parede

ud (não pode ser usado)

Do mesmo modo,

centro

(não pode ser usado)

0 é calculado pela expressão:

Fatores de correção da energia cinética “”.

n = 5 = 1,11

n = 7 = 1,06

n = 10 = 1,03.

Portanto, 1, para n > 7.

Exemplo 7.9

A água a 20°C escoa em um tubo de 10 cm de diâmetro a uma velocidade média de 1,6 m/s. Se os elementos de rugosidade têm 0,046 mm de altura, a parede é considerada lisa ou rugosa? Tome como referência a Fig.7.10

Dados:

Ta D V e

20º 10-6 103 10 1,60 0,046

C m2/s kg/m3 cm m/s mm

0,100 0,000046

Solução:Da Fig. 7.11

1060,110

10,06,1DVRe

Da Tabela 7.1, para Re = 1,6·105 tem-se n 7,5. Assim

018,05,7

Da definição do fator de atrito

22320 m/N80,5018,060,110

limite da subcamada viscosa (y = )

A velocidade de atrito será

.s/m076,010

E a espessura da subcamada viscosa

m106,6076,0

e = 0,046 mm < = 0,066 mm. Portanto, a superfície é lisa.

.mm066,0

Exemplo 7.10

O tubo liso horizontal de 4 cm de diâmetro da Fig. E7.10 transporta 0,004 m3/s de água a 20º C. Usando o perfil da lei da potência, faça uma aproximação para: a) o fator de atrito, b) a velocidade máxima, c) a posição radial em que u = V, d) o cisalhamento na parede, e) a queda de pressão sobre um comprimento de 10 m e f) a velocidade máxima usando a Eq. 7.6.16.

Figura E7.10

D Q Ta g L

4 0,004 20º 10-6 103 9,81 10

cm m3/s C m2/s kg/m3 m/s2 m

Dados:

Solução:a) Cálculo do fator de atrito

.s/m18,304,0

004,04

1027,110

04,018,3DVRe

Da Tabela 7.1, para Re = 1,27·105 tem-se n 7,5. Assim

018,05,7

b) Cálculo da velocidade máxima

18,35,7

)15,72)(15,7(V

)1n2)(1n(u

22máx

c) Cálculo da posição radial em que u = V

0máxmáxmáx r

.s/m84,3

máx0 84,3

Ou, y = 0,49 cm..m0049,0

Assim, a posição radial será:

.cm51,149,02yrr 0

d) Cálculo do cisalhamento na parede

e) Cálculo da queda de pressão

223 m/N0,23018,018,3108

Pa2300002,0

100,232

.kPa23pou

f) Cálculo da velocidade máxima usando a fórmula 7.6.16

s/m152,010

ln44,2u

u 0máx

)7,5ru

ln44,2(uu 0máx

)7,510

02,0152,1ln44,2(152,0

.s/m84,3

5.6.3. Perdas em um escoamento totalmente desenvolvido em um tubo

Considerando a Eq. Da energia em um tubo retilíneo, sem adição ou extração de energia, vem:

211 hh

)hh(pp

h 2121

Equação de Darcy-Weisbach

)g,,e,D,V,,(Fh 1L

m = 3 n – m = 8 – 3 = 5 parâmetros .

)hp()hp( 2211

D [D] = [L] L = D

[] = [ML-3] M = D3

V [V] = [LT-1] T = DV-1

m = 3 3 grandezas de base

1) [] = [ML-1T-1] = D3D-1D-1V = DV

2) [e] = [L] e = D

3) [] = [L] = D

4) [g] = [LT-2] g = DD-2V2 = D-1V2

5) [hL] = [L] hL = D

e(Re,F

Estes parâmetros podem ser agrupados na seguinte relação funcional.

É razoável supor que a perda de carga varie diretamente com o comprimento da tubulação, como também que a perda varie diretamente com o termo cinético (Bernoulli). Assim, chega-se a uma nova relação funcional.

e(Re,F

De modo que a perda de carga passe a ser escrita como:

e(Re,Fh

e(Re,ff)

e(Re,F3 fator de atrito

e(Re,f diagrama de Moody

Lewis F. Moody (1880 – 1953)

L Eq. de Darcy-Weisbach

Tubos lisos e Tubos rugosos

Subcamada viscosa

Figura 1 Superfície hidraulicamente lisa

v = espessura da subcamada viscosa

e = altura das projeções rugosas

Subcamada viscosav e

Figura 2 Superfície rugosa

Experiência de Nicuradse

Grãos de areia

Superfície interna do tubo

Figura 3 Rugosidade artificial de Nikuradse (homogênea)

rugosidade resultantediâmetro original do tubo

diâmetro resultante

= rugosidade relativa

resultante

e/D = rugosidade relativa adotada por

Nikuradse

diâmetro dos grãos de areia

Figura 4 Diagrama de Nikuradse

Estes resultados ilustram as seguintes observações fundamentais.

1. A diferença física entre o escoamento laminar e o turbulento é indicada pela variação da relação de f com Re, próximo do número de Reynolds crítico (2000).

2. O regime laminar é caracterizado por uma única curva dada pela equação f = 64/Re, para qualquer rugosidade das superfícies. Donde se conclui que, em escoamentos laminares, a perda de carga é independente da rugosidade da superfície.

3. No escoamento turbulento uma curva de f versus Re pode ser

feita para cada rugosidade relativa, e/D, e do aspecto horizontal

das curvas podemos concluir que para tubos rugosos a

rugosidade é mais importante que o número de Reynolds, para

determinar o módulo do fator de atrito.

4. Para números de Reynolds elevados os fatores de atrito de tubos rugosos se tornam constantes, dependentes inteiramente da rugosidade do tubo; e portanto, independentes do número de Reynolds. Da equação de Darcy podemos concluir que hL V2 para escoamento com turbulência completa sobre superfícies rugosas.

5. Embora a curva inferior tenha sido obtida de testes com tubos hidraulicamente lisos, muitos dos resultados de Nikuradse com tubos rugosos coincidem com esta curva para 5.000 < Re < 50.000. Nestes casos, a rugosidade fica submersa na subcamada viscosa e em geral não produz efeito sobre a perda de carga e o fator de atrito, que neste caso dependeriam somente dos efeitos de viscosidade.

6. A série de curvas para tubos rugosos diverge da curva do tubo liso à medida que o número de Reynolds cresce. Ou seja, tubos lisos, para baixos valores de Re, tornam-se rugosos para valores elevados de Re. Isto pode ser explicado pela espessura da subcamada viscosa que decresce à medida que o número de Reynolds cresce, produzindo uma exposição menor das protuberâncias ao escoamento turbulento e fazendo com que o tubo se comporte como se fosse um tubo rugoso.

Fórmulas Para o Cálculo das perdas em escoamento em tubos

a) Fórmula de Darcy-Weisbach (universal)

b) Escoamento laminar

Fórmula de Poiseuille

Re/64f Reta de Poiseuille

51,2log28,0)flog(Re2

c) Escoamento turbulento liso

Fórmula de Prandtl-Von Kármàn

Re 105. Reta de Blasius4/1Re

3164,0f

d) Escoamento turbulento liso

Fórmula de Blasius

e) Escoamento turbulento rugoso

Fórmula de Nikuradse

D/elog214,1

Figura 4 Diagrama de Nikuradse

Reta d

iseuille

Retas de Nikuradse (horizontais)

Reta de Blasius

Experiências de Colebrook - rugosidade equivalente

Colebrook mostrou que os resultados das experiências de Nikuradse podem ser usados em medidas quantitativas de rugosidade de tubos comerciais, chegando-se a uma rugosidade “equivalente”.

Ou seja, se o valor do fator de atrito (f), para um tubo comercial operando na região de escoamento turbulento rugoso, for conhecido, obtido com o auxilio da equação de Darcy-Weisbach, pode-se calcular um valor de “e”, equivalente à rugosidade artificial de Nikuradse, usando para tanto a equação proposta por ele para tubos rugosos.

Assim, a altura da rugosidade “e”, para tubos de rugosidade artificial de areia, é usada como uma medida da rugosidade de tubos comerciais.

Posteriormente, verificou-se que o valor desta rugosidade não dependia do diâmetro do tubo, mantendo-se aproximadamente constante.

Esse valor é como se fosse uma propriedade hidráulica do tubo e foi denominada “rugosidade equivalente”.

Deste modo, a rugosidade indicada para tubos comerciais é na realidade, uma “rugosidade equivalente” à rugosidade artificial de grãos de areia introduzida por Nikuradse.

Na região de transição, onde o fator de atrito (f) depende da rugosidade relativa (e/D) e do número de Reynolds (Re), os resultados dos ensaios com tubos de rugosidade artificial diferem dos resultados obtidos com tubos comerciais.

Este fato fica evidente num gráfico baseado nas equações para tubo liso e tubo rugoso, onde resultados de ensaios com tubos comerciais e com tubos de rugosidade artificial são mostrados.

eflog(Re2

Rearranjando a expressão para tubos rugosos,

e somando 2log(e/D) em ambos os lados da equação para tubos lisos,

Tomando:

1 como ordenada e,

eflog(Re como abscissa,

Colebrook obteve o interessante diagrama da Figura 5.

eflog(Re

Tubo liso

Figura 5 Função de Colebrook para a transição

Os resultados de Nikuradse com rugosidade artificial formam a curva tracejada na região de transição e os resultados dos ensaios com tubos comerciais formam a linha curva inferior.

Visando resolver o problema, não só na região de transição, mas para todo o escoamento turbulento, Colebrook, a partir de uma associação por soma das equações para tubos lisos e para tubos rugosos, propôs a seguinte equação.

D/elog(2

a qual é a base para o diagrama de Moody.

Figura 6 Diagrama universal = (D/k, Re)

Figura 7.13 Diagrama de Moody

8,0)fln(Re86,0f

As equações empíricas que seguem, representam o diagrama de Moody para Re > 4000.

Tubo liso:

51,2ln86,0

Ou, em termos de logaritmo decimal,

51,2log2

1 Prandtl-Von Kármán

316,0f Re 105 (1913) Eq. de Blasius

(0,86859)

Tubo rugoso:

eln86,014,1

D/eln86,0

D/elog2

1 fórmula de Nikuradse

Região de transição:

D/eln86,0

D/elog2

1 Eq. de Colebrook (1938)

Problemas Tipo:

Tipo Dados Incógnita

I Q,D,e, hL

III Q,hL,e, D

II hL,D,e, Q

Fórmulas de Swamee e Jain (1976) para o cálculo do fator de atrito.

9,0Re74,5

7,3D/e

325,1f

10Re5000

10De10

9,0Re74,5

7,3D/e

10Re5000

10De10

Fórmulas de Swamee e Jain (1976) para a solução dos problemas de perda em escoamento em tubos.

LQ07,1h

103Re5000

10De10

hDg965,0Q 4000Re

04,02,5

QLe66,0D

103Re5000

10De10

Exemplo 7.11

A água a 20º C é transportada por 450 m em um tubo de ferro forjado, horizontal, com diâmetro de 38 mm a uma vazão de 3,0 /s. Calcule a queda de pressão sobre o comprimento de 450 m de tubo usando: a) o diagrama de Moody e b) o método alternativo.

Ta L e D Q g

20° 10-6 998,0 450 0,046 38 3,00 9,81

C m2/s kg/m3 m mm mm /s m/s2

0,038 0,003

m m3/s

Dados:

Solução:

a) Cálculo pelo diagrama de Moody.

10005,110038,0

003,04

9,0Re74,5

7,3D/e

325,1f

0230,0

10005,1

74,57,3

38/046,0ln

325,12

00121,038

023,0f

Considerando a Eq. da energia

211 hh

.m14,97003,0

0230,082

L21 hppp

.Pa95100026,9781,9998hgp L

b) Cálculo pelo Método alternativo.

.Pa94870090,9681,9998hgp L

LQ07,1h

.m90,96003,0

038,01062,4

38/046,0ln

038,081,9

450003,007,1h

%246,010014,97

90,9614,97100

Exemplo 7.12

Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300 m de um tubo (horizontal) em ferro forjado de 100 mm de diâmetro que transporta óleo (S = 0,9; = 10-5 m2/s). Calcule a vazão usando: a) o diagrama de Moody e b) o método alternativo.

Dados:

p L e D S a g

700 300 0,046 10 0,9 10-5 1000 9,81

kPa m mm cm m2/s kg/m3 m/s2

7105 4,610-5 0,100

Pa m m

Solução:a) Cálculo pelo diagrama de Moody.

.m28,7981,9109,0

Solução por tentativas.

1ª tentativa – calcula-se um primeiro valor para f = f1.

Escoamento rugoso. (Nikuradse)

Dados: D

Incógnita: Q

Problema Tipo II

7,3D/e

325,1f

11 1063,5

100,0625,5DVRe

Com o número de Reynolds, calcula-se um novo valor para f.

Re74,5

7,3D/e

325,1f

0164,0

7,3100,0106,4

325,12

.s/m625,53000164,0

28,79100,081,92

0220,0

1063,5

74,57,3100,0

106,4ln

325,12

.s/m851,43000220,0

28,79100,081,92V2

452 1085,4

100,0851,4Re

0226,0

1085,4

74,57,3100,0

106,4ln

325,1f 2

f2 f1 procede-se a uma nova tentativa com f = f2.

0226,0

1079,4

74,57,3100,0

106,4ln

325,1f 2

f4 = f3 assim o problema está resolvido e V = 4,790 m/s.

.s/m03762,0790,44

100,0V

f3 f2 nova tentativa com f = f3.

.s/m790,43000226,0

28,79100,081,92V3

453 1079,4

100,0790,4Re

1055,05

28,79100,081,9

3001017,3

7,3100,0

106,4ln

28,79100,081,9965,0Q

.s/m03761,0Q 3

%0369,010003762,0

03761,003762,0100

QQDif A

hDg965,0Q

Exemplo 7.13

Que diâmetro de tubo estirado deve ser escolhido para transportar 0,002 m3/s de água a 20º C por um comprimento de 400 m, de modo que a perda de carga não exceda a 30 m? a) use o diagrama de Moody e b) o método alternativo.

e Q Ta L hL g

0,0015 0,002 20º 10-6 998 400 30 9,81

mm m3/s C m2/s kg/m3 m m m/s2

1,510-6

Dados:

Solução:a) Pelo diagrama de Moody.

(cálculo por tentativas)

f08488,0f002,0

D/254610D

002,04

9,0Re74,5

7,3D/e

325,1f

D/2546

74,57,3D

105,1ln

Com estes valores pode-se montar a seguinte tabela:

f D Re e/D f

/ m / / /

1ª tentativa 0,0300 0,0421 6,05104 3,5610-5 0,0201

O resultado indica um diâmetro de 0,0387 m. Ou D = 39 mm.

3ª tentativa 0,0197 0,0387 6,58104 3,87 10-5 0,0197 O.K!

2ª tentativa 0,0201 0,0388 6,56104 3,86 10-5 0,0197

04,02,5

QLe66,0D

04,02,5

75,4225,16

3081,9

400002,010

3081,9

002,0400)105,1(66,0D

.m0391,0D

Novamente, o resultado indica um diâmetro D = 39 mm.

Porem, a solução do problema será obtida com um diâmetro comercial imediatamente superior a 39 mm.

Talvez 50 mm.

4.6.4. Perdas em condutos não circulares

Boas aproximações são conseguidas com o conceito de “raio hidráulico” (Rh). Ver Streeter.

molhadoPerímetro

ÁreaR h

Exemplo:

Tubo circular operando à plena seção

hh R4Dou

Utiliza-se desse conceito apenas para calcular o número de Reynolds e o fator de atrito.

Exemplo 7.14O ar, nas condições normais, está para ser transportado através de 500 m de um duto retangular horizontal e liso medindo 30 cm x 20 cm, e uma vazão de 0,24 m3/s. Calcular a queda de pressão.

L b h Q g

500 30 20 0,24 1,510-5 9,81 1,20

m cm cm m3/s m2/s m/s2 kg/m3

0,300 0,200

Dados:

Solução:

.m240,0060,04R4D hh

.s/m00,420,030,0

h 1040,6105,1

240,04DVRe

Tubo liso, Re < 105 Blasius

0199,0)1040,6(

3164,0

3164,0f

25,044/1

.m060,0)20,030,0(2

20,030,0

Tubo liso, Prandtl-Von Kàrmán

51,2log2f

.m64,3381,92

5000198,0h

%505,010064,33

64,3381,33Dif

.Pa0,39664,3381,920,1hgp L

.m81,3381,92

5000199,0

0198,00199,01040,6

51,2log2

4.6.5. Perdas singulares

Para o caso de alargamento brusco seção, viu-se que:

V maior velocidade (menor seção).

Fazendo tem-se:,KA

L fórmula geral (perdas singulares)

Figura 7.14 Escoamento em um cotovelo

Figura 7.15 Coeficientes de perda em uma expansão cônica

Figura 7.16 Vena Contracta em contrações e orifícios

Muitas vezes é habitual expressar o coeficiente de perda como um “comprimento equivalente (Le)” de tubo.

Ou seja:

O que leva a:

TABELA 7.2 Coeficientes de perda nominais K (escoamento turbulento)

Tipos de AcessórioDiâmetro

Rosqueado Flangeado

2,5 cm

5 in10 cm

Válvula globo (totalmente aberta) 8,2 6,9 5,7 8,5 6,0 5,8

(meio aberta) 20 17 14 21 15 14

(um quarto aberta) 57 48 40 60 42 41

Válvula em ângulo (totalmente aberta) 4,7 2,0 1,0 2,4 2,0 2,0

Válvula de retenção (totalmente aberta) 2,9 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0

Válvula de gaveta (totalmente aberta) 0,24 0,16 0,11 0,35 0,16 0,07

Curva de Retorno (em “U”) 1,5 0,95 0,64 0,35 0,30 0,25

Tê (ramal) 1,8 1,4 1,1 0,80 0,64 0,58

Tê (em linha) 0,9 0,9 0,9 0,19 0,14 0,20

Cotovelo-padrão 1,5 0,95 0,64 0,39 0,30 0,26

Cotovelo de grande diâmetro 0,72 0,41 0,23 0,30 0,19 0,15

Cotovelo de 45° 0,32 0,30 0,29

Entrada com quinas vivas 0,5

Entrada reentrante 0,8

Entrada arredondada 0,03

Saída do tubo 1,0

Razão de área

Contração súbita

2:1 0,25

5:1 0,41

10:1 0,46

Razão de área A/A0

Placa de orifício

1,5:1 0,85

2:1 3,4

4:1 29

Alargamento súbito

Exemplo 7.15Se a vazão através de um tubo de ferro forjado de 100 mm de diâmetro (Fig. E7.15) é de 0,04 m3/s, encontre a diferença de elevação H para os dois reservatórios.

Figura E7.15

Dados:

e D Q L g

0,046 0,100 0,040 50 10-6 9,81

mm m m3/s m m2/s m/s2

KEn KVg KCo KSa

0,50 5,70 0,64 1,00

Solução:

211 hz

Hzzh 21L

= 0 (pb)

Eq. da Energia

Como ilustração, a perda distribuída será calculada separada da perda localizada.

.s/m093,5100,0

040,04

1009,510

100,009,5DVRe

00046,0100

0175,0

1009,5

74,57,3

00046,0ln

Re74,5

7,3D/e

325,1f 2

V)KK2KK(H

SaCoVgEn

500175,0

09,5)164,0270,550,0(H

.m8,2257,1121,11H

4.6.6. Linha piezométrica e linha de energia

Considere a Eq. da Energia:

211 hHz

Linha piezométrica

Linha de energia

Lugar geométrico dos pontos que têm como elevação

Figura 7.17 Linha piezométrica (LP) e linha de energia (LE)

• Ocorre um salto na LP e na LE quando energia útil é adicionada ao fluido, como acontece com uma bomba, e uma queda ocorre, se energia útil é extraída do escoamento, como ocorre com uma turbina.

• Nos pontos em que a LP passa através da linha central do tubo, a pressão é zero. Se o tubo é localizado acima da LP, há um vácuo no tubo, uma condição que muitas vezes é evitada, se possível, nos projetos de tubulações; uma exceção seria um projeto de um sifão.

Exemplo 7.17Água a 20º C escoa entre dois reservatórios a uma vazão de 0,06 m3/s, como mostra a Fig. E7.17. Esboce a LP e a LE. Qual é o diâmetro DB mínimo permissível para evitar a ocorrência de cavitação?

Figura E7.17

Dados:

Ta Q D L1 L2 e Kent HCon g

20º 0,060 0,200 30 20 0,260 0,500 0,250 9,81

C m3/s m m m mm m/s2

Solução:

.s/m918,120,0

060,04

= 103 kg/m3

Água a 20° C, logo: = 10-6 m2/s

pv = 2450 Pa (abs).

561 1082,3

20,091,1DVRe

0217,0

1082,3

74,57,3200

26,0ln

Re74,5

7,3D/e

325,1f 2

No segundo trecho, o que se procura é o diâmetro. Explicitando em função deste valor, vem:

07639,0

060,04

10639,7

D07639,0DVRe

00026,0

)p( 22

22abs2

A pressão barométrica é tomada igual a 101 kPa. Então:

totalL2

22abs2

21abs1 hz

Só não haverá cavitação no ponto 2 se a pressão neste ponto for mantida acima da pressão de vapor.

Uma vez que a pressão de vapor é expressa na escala de pressões absolutas, deve-se: ou trabalhar com pressões absolutas, ou converter a pressão de vapor para a escala efetiva. Assim,

D81,92

07639,020f

D81,92

07639,0)25,01(

300217,050,0(20

1081,9

10)45,2101(

25,107639,0/91,1)

300217,050,0(2)81,92055,98(

25,198660

Resolvendo por tentativas,

Nº D e/D Re f 1,25/D4 f×20/D5

1ª 0,10000 0,002600 7,64105 0,0254 12500 50836 63336

Logo, para não haver cavitação D2 > 91,55 mm.

Portanto, D = 100 mm resolve satisfatoriamente o problema.

4ª 0,09155 0,0028408,3410

5 0,0260 17793 80867 98660

2ª 0,09000 0,0028898,4910

5 0,0261 19052 88480 107532

3ª 0,09200 0,0028268,3010

5 0,0260 17449 78816 96264

4.6.7. Sistema simples de tubo com bomba

Característica da bomba fornecida pelo fabricante.

Figura 7.18 Curvas características

Característica de cano

Característicade rotor

Exemplo 7.18Estime a vazão na tubulação simples da Fig. E 7.18a, se as curvas características da bomba são como mostrado na Fig. E7.18b. Calcule também a potência requerida pela bomba.

Figura E7.18 a)

Figura E7.18 b)

z1 z2 D e Ke KSa

60 90 0,2 0,046 10-6 0,50 1,00

m m m mm m2/s

Dados:

Solução:

Da Eq. da energia, com:

L12B21

21 h)zz(H0VV

LfKK()zz(H

saen12B

Como primeira tentativa para a solução do problema, pode-se supor que o escoamento se dá na região de escoamento turbulento rugoso.

Assim, considerando a Eq. de Nikuradse para escoamento turbulento rugoso, vem:

0141,0

7,3200046,0

7,3D/e

325,1f 221

Levando na Eq. anterior,

2B 20,0

4000141,00,15,0()6090(H

2B Q153030H Eq. do sistema.

Entrando com valores de vazão na Fig. E7.18 b),

tira-se os valores correspondentes para a altura total de elevação, o que permite montar a tabela a seguir.

68,70 0,25

73,90 0,20

77,70 0,15

80,00 0,10

Agora, entrando com valores para a vazão, na equação do sistema, chega-se a seguinte tabela relacionando valores de H e Q do sistema.

Sistema

30,00 0,00

46,30 0,10

66,68 0,15

95,20 0,20

Considerando estas duas tabelas e com o auxilio do excel, chega-se ao seguinte gráfico, sendo a solução o cruzamento da duas curvas.

Ou seja:

HB = -290 Q2 + 26,1 Q + 80,295R2 = 1

H = 1530 Q2 + 30R2 = 1

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

Vazão

s Bomaba

Sistema

Operação

O gráfico nos dá a Eq. da linha de tendência para a característica de rotor. Ou seja:

295,80Q1,26Q290H 2R

Uma vez que o ponto de operação vai estar no cruzamento destas duas equações, a vazão é obtida ao se igualar uma com a outra.

295,80Q1,26Q290Q153030 22

0295,50Q1,26Q1820 2 Resolvendo,

285,50182041,261,26Q

.s/m159,0''Q

s/m174,0'Q3

O valor significativo é o positivo. Levando em uma das duas equações, chega-se à altura total de elevação da bomba.

.m1,76174,0153030H 2

Com o valor da vazão tem-se como calcular o número de Reynolds e retornar no diagrama de Moody, de modo a verificar o valor obtido para o fator de atrito.

Com esse procedimento se chegaria ao valor correto para a vazão (0,169 m3/s) e para a altura de elevação (76,4 m).

Do gráfico da Fig. E7.18 b), tira-se = 0,65%.

Com esse valor a potência pode ser calculada.

.kW8,1991065,0

1,7681,9174,010HgQP 3

4.7. Escoamento Turbulento Uniforme em Canais Abertos

Figura 7.19 Escoamento uniforme em um canal aberto

S declividade (inclinação) – (I)

Para muito pequeno, sen S.

Considere a Eq. da energia:

211 hz

O que leva a:21L zzh

Por outro lado,

LfSLsenLh

Antoine Chezy (1718 – 1798).

SRCV h Eq. de Chezy.

.inglessistemadounidades49,1c

SIdounidades00,1c

n coeficiente de Manning

Robert Manning (1816 – 1897).

Para o SI,

2/13/2h SRA

1Q Eq. de Chezy Manning.

TABELA 7.3 Valores médios do n de Manning

Material da Parede n de Manning

Madeira aplainada 0,012

Madeira não-aplainada 0,013

Concreto acabado 0,012

Concreto inacabado 0,014

Cano de esgoto 0,013

Tijolo 0,016

Ferro fundido, ferro forjado 0,015

Tubo de concreto 0,015

Aço rebitado 0,017

Terra, tal qual 0,022

Canalete de metal enrugado 0,025

Cascalho 0,03

Terra com pedras e plantas rasteiras 0,035

Corredeiras de montanhas 0,05

Exemplo 7.19

A profundidade medida de água a 15º C, escoando em um canal aberto retangular de concreto acabado, de 3,60 m de largura é de 1,20 m. A inclinação (declividade) medida foi de 0,0016. Estime a vazão usando: a) a equação de Chezy-Manning e b) a equação de Darcy-Weisbach.

Dados:

Tág b h S g

15º 3,6 1,2 0,0016 1,1410-6 9,81

C m m m2/s m/s2

Solução:

O raio hidráulico pode ser calculado.

.m720,06,32,12

2,16,3

.s/m57,11016,072,02,16,3012,0

1Q 32/13/22/13/2

.m88,2720,04R4D hh

a) Chezy – Manning

Concreto acabado n = 0,012

b) Darcy – Weisbch

Concreto 0,30 e 3 mm acabado e = 0,46 mm.

Eq. de Nikuradse,

0131,0

7,3288046,0

7,3D/e

325,1f 221

.s/m625,20131,0

0016,088,281,92

h1 1063,6

1014,1

88,2625,2DVRe

Pela Eq. de Swamee - Jain,

0134,0

)1063,6(74,5

7,3288046,0

Re74,5

7,3D/e

325,1f 2

.s/m601,20134,0

0016,088,281,92V2

662 1057,6

1014,1

88,2601,2Re

!K.O0134,0

)1057,6(74,5

7,3288046,0

325,1f 2

Desta forma o problema está resolvido e:

.s/m601,2V

.s/m24,1120,160,3601,2AVQ 3

%94,210024,11

24,1157,11100

DarChe

Exemplo 7.20

Um tubo de concreto de 1,0 m de diâmetro transporta água a 20º C em uma profundidade de 0,4 m. Se a inclinação é 0,001, encontre a vazão usando:

a) a equação de Chezy-Manning e

b) a equação de Darcy-Weisbach.

Dados:

D Tág h S

1,00 20º 0,4 0,001 10-6

m C m m2/s

Figura E7.20

Solução:

Cálculo dos ângulos e .

m10,040,02

00,1hR

º9,15654,1121802180

º54,1150,0

10,0arcsen

.m4899,0º54,11cos50,0cosR2

m2934,04899,01,02360

m2147,0369,1

2934,0

AR h m8569,02147,04R4D hh

Os demais valores são calculados.

m369,1360

a) Chezy – Manning

Tubo de esgoto (concreto) n = 0,013

.s/m255,0001,02142,02934,0013,0

1Q 32/13/22/13/2

b) Darcy – Weisbch

Tubo de concreto e = 2 mm.

Por Colebrook

hL Dg2

3L 1011,1

8569,0001,081,92

Dhg2fR

0246,0

1011,151,2

7,38572

51,27,3D/e

325,1f 2

.s/m8261,010246,0

857,0001,081,92

Dhg2V hL

.s/m2423,02934,08261,0AVQ 3

%43,5100242,0

242,0255,0100

DarChe

Característica da bomba

100,00

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

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