1 calculo e instrumentos financeiros parte 2 faculdade de economia da universidade do porto...

Calculo e Instrumentos Financeiros

Parte 2

Faculdade de Economia da

Universidade do Porto

2013/2014

1ª Aula

Risco e sua diversificação

Introdução

• Quando alguém empresta um capital, tem como objectivo receber mais tarde esse capital que emprestou acrescido dos juros

• Mas existe sempre uma probabilidade de não receber nem uma coisa nem outra (no todo ou em parte).

Introdução

• Na análise de um investimento, porque é baseada em previsões quanto ao desempenho futuro do negócio– preços dos inputs, preços e quantidades dos

outputs, depreciação do capital, falhas e descobertas tecnológicas

• A medida calculada a priori na avaliação pode, a posteriori, vir a concretizar-se de forma menos favorável.

Introdução

• No sentido de compreendermos o risco, controlá-lo e utilizá-lo na tomada de decisão, vamos neste capítulo apresentar a modelização estatística do risco.

Introdução

• Já consideramos um modelo de riscop => Prob. de não receber nada

(1-p) => Prob. de receber capital e juros

V.(1+r) = 0 x p + V.(1+i).(1-p)

i = (1+r) / (1-p) -1

r => taxa de juro sem risco

i => taxa de juro com risco

Seguro de vida

• Ex.2.1- Num seguro de vida em que é paga a indemnização na data da morte.

• A seguradora capitaliza os prémios pagos pelo segurado de forma a ter reservas para pagar a indemnização.

• A seguradora tem uma margem de 10%

• Qual o prémio anual por cada 1000€ de indemnização?

Seguro de vida

• Se a seguradora soubesse a priori quantos anos faltavam para o segurado morrer e a taxa de juro, calculava facilmente o prémio do seguro que lhe permitiria capitalizar a indemnização e ter algum lucro

• Mas na data de assinatura do contrato essas grandezas não são conhecidas

Seguro de vida

• Se a duração fosse N e a taxa de juro r tínhamos

• Valor actual da indemnização

• Valor actual da soma de todos os prémios (prestações) pagos pelo segurado (antec.)

NrI )1(

)1()1(1 rrr

Seguro de vida

• Igualando obtemos o prémio que a seguradora precisa cobrar (sem margem)

1)1()1(1

)1()1(1)1(

Exemplo: seguro de vida

• Se N=40 e r = 2% resultava:– Paga 40 anualidades

• Mais os 10%, seriam 17.854€/ano/1000€

= 1.7854%/ano

€23.1602.102.11

02.0100014040

• O seguro tem risco porque a seguradora não conhece N nem r=>O risco pode resultar de um fenómeno

aleatório, e.g., o euromilhões.

=> Mas o mais normal é resultar de uma concretização futura, e.g., a ocorrência de uma inovação tecnológica

• Sem conhecermos N nem r o melhor que pode ser feito é a construção de alguns cenários

• Dividimos cada variável em cenáriosComo exemplo, consideramos os cenários

Adverso, Médio, favorável

M.Mau, Mau, Médio, Bom, M.Bom

M.Mau, Mau, Médio- , Médio+, Bom, M.Bom

• Cada cenário é uma combinação de valores possíveis para as variáveis relevantes desconhecidas

• No caso de variáveis contínuas, esse valor é o representante de um intervalo, e.g., o valor do meio.

Seguro de vida

• Seguradora cobrar 17.856€/ano por cada seguro de 1000€, terá prejuizo nos cenários Mau e Mmau e uma margem maior que 10% nos cenários Bom e Mbom.

• Também podemos usar uma combinação de cenários individuais.

• Se temos 5 cenários para a taxa de juro e 6 para a longevidade, da combinação resultam 30 cenários

• Cobrando um prémio anual de 17.86€, podemos identificar os cenários em que a seguradora tem prejuizo e lucro

F5: =$C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2)

Área F6:K10 com formatação condicionada (se <17.854)

Introdução

• Os cenários conseguem dar uma ideia dos potenciais perdas e ganhos mas não nos ajudam quantitativamente na decisão

• Vamos necessitar de alguns conceitos estatísticos que permitam agregar a informação.

Conceitos estatísticos básicos

• A Estatística descreve, organiza e relaciona objectos e fenómenos demasiado difíceis de apreender com as ferramentas conceptuais da matemática clássica (i.e., funções reais de variáveis reais).

• A estatística reduz a dimensão do fenómeno considerando

• Poucas variáveis (as mais relevantes) e

• Conhecimento parcial dessas variáveis

• Por exemplo, quando se constrói um avião, é necessário colocar bancos adequados para acomodar Pessoas com Necessidades Especiais (PNE). – Cada lugar implica um custo– Mas deixar passageiros em terra tem uma

penalização

• Eu não sei quantas pessoas aparecem em cada voo.

• Dados passado:• Olhando para as pessoas que viajaram no

passado, 3.0% são PNE.

• Partindo desta informação pouco pormenorizada– Calculada com os passageiros do passado

• podemos calcular, com a ajuda da estatística, estimativas para as necessidades das viagens futuras– Supomos a estabilidade das características

da população

Sabendo-se que 3% dos indivíduos são PNE, em x% das viagens futuras (com 200 passageiros) haverá necessidade de N lugares –

Função distribuição de Poisson

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15PNE

Probabilidade

• Agora, podemos optimizar uma função objectivo.

• H1) cada lugar especial dá 50€ de prejuizo

• H2) Deixar um PNE em terra tem 1000€ de penalização

• Podemos minimizar o prejuizo esperado

• A variável de decisão é N.

x é o número de PNE que aparecem num voo qualquer

n é o número de cadeiras especiais do avião

nxsenx

nxsenxnf

)(1000

050),(

-7000 €

-6000 €

-5000 €

-4000 €

-3000 €

-2000 €

-1000 €

0 5 10 15 20 25 30

Prejuizo esperado

Número de cadeiras especiais

• Para já não interessa saber como a figura anterior foi calculada.

• Com os 3% de PNE, foi possível construir um modelo de apoio à decisão.O valor óptimo depende da percentagem de

PNE (estimativa)

2.0% => 11 lugares

3.0% => 14 lugares

4.0% => 17 lugares

Noção de variável estatística

• Na primeira parte da disciplina aprendemos modelos que nos permitem quantificar o impacto da nossa decisão em função das variáveis relevantes (e.g., taxa de juro, taxa de crescimento as vendas)

• O risco resulta de não conhecermos os valores concretos que as variáveis vão assumir no futuro.

• Por exemplo, na construção de um automóvel não sei a altura nem o peso do futuro condutor.– Será um valor “sorteado” da população

• Vou ultrapassar a falta de informação assumindo que será um valor retirado aleatoriamente da população da qual conheço estatísticas – e.g., o valor médio e a dispersão

• Numa extracção aleatória os indivíduos são obtidos sem ter em atenção nenhuma das suas características– e.g., a extracção de uma bola no Euromilhões

não tem em atenção o número.

• Depois, agrego a população numa função objectivo a optimizar– Valor esperado do lucro ponderado pelo risco

Probabilidade

• A cada um dos valores possíveis (i.e., cada cenário) é atribuído uma probabilidade-> Atirando uma moeda ao ar, a probabilidade

de sair cara é 50%.

-> Retirar o número 33 de um saco com os números 1 a 50 é 1/50.

-> A probabilidade de nascer uma rapariga é 49.03% (INE, Jan2013:Jul2013).

Interpretações de probabilidade

• Probabilidade de se concretizar o valor x• Clássica: é a proporção de vezes em que

observo o valor x se repetir a experiência de forma independente e muitas vezes

• Bayesiana: é uma conjectura construída por peritos sobre o fenómeno ainda desconhecido se concretizar com o valor x

• Em termos práticos, a perspectiva bayesiana é mais flexível mas não tem tanto suporte teórico

Probabilidade

• A probabilidade não garante qual o valor que se vai obter no concreto e.g., sabe-se que a probabilidade de numa

viagem haver 6 PNE é de 16% não diz que vão aparecer 6 pessoas

• mas contém um certo grau de informação que ajuda a avaliar a importância relativa dos cenários construídos

Probabilidade

• Opinião de peritos:

• Ex.2.4. Foram identificados 8 cenários possíveis quanto ao comportamento do preço do Brent em dólares daqui a 10 anos e inquirida a opinião de 100 peritos sobre a probabilidade de se concretizarem (proporcional à escala de 0 a 10).

Probabilidade

• Com base na soma dos pontos atribuídos por todas as pessoas, determine a probabilidade assumida para que cada um dos cenários possa vir a acontecer.

B5: =B4/$J4 J4: =Soma(B4:I4)

2ª Aula

• Concluindo,

• 1 - Eu tenho um modelo de cálculo das implicações financeiras da minha decisão onde me falta a informação sobre o cenário concreto que se vai realizar

Tenho o modelo que funciona bem quando conheço os valores

• 2 – Quando não tenho os valores, o melhor que posso fazer é substituir o valor desconhecido por uma variável aleatória de que eu tenho informação quanto à probabilidade de cada cenário se vir a concretizar.

• Por exemplo, não conheço a duração

Substituo o valor desconhecido por uma variável aleatória

• Uso uma variável aleatória como modelo do risco

• Esta substituição (do cenário futuro desconhecido pela variável aleatória) implica que tenha como resultado não um valor mas também uma variável aleatória (como se fosse toda uma população de resultados).

Exemplo

• Ex.2.5. Conhecida a probabilidade de o individuo durar determinados anos e a taxa de juro ser determinada

• retome o Ex.2.1 e calcule a probabilidade da seguradora ter uma margem das vendas abaixo dos 10% pretendidos

Caracterização da v.e.

• População dividida em cenários– Intervalos

• Pego nos indivíduos todos da população e calculo a proporção que cai dentro de cada classe

• e.g., divido a longevidade de uma pessoa nos intervalos [0, 30]; ]30,60]; ]60,90] e ]90, 120]

Caracterização da v.e.

• Não podendo medir toda a população, utilizo uma amostra no cálculo da probabilidade

• Quando (parte) da população está no futuro, tenho que considerar o presente como uma amostra dessa população do futuro

Exemplo

• a probabilidade de cada cenário é determinada com informação passada e pela opinião de um painel de peritos

• Vamos supor a seguinte informação quanto à probabildaide de ocorrencia de cada cenário:

Exemplo

• R. Agora que tenho informação quanto à probabilidade de cada um dos cenários poder ocorrer, olhando para o resultado de cada cenário (apresentado no Ex. 2.1) somo a probabilidade dos cenários em que o prémio deveria ser maior que o adoptado (1.785%/ano)– São os cenários a vermelho

• A probabilidade da margem das vendas ficar abaixo dos 10% pretendidos é 57.78%.

F5: =$C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2)

Área F6:K10 com formatação condicionada (se <17.854)

Tabelas de sobrevivência

• As seguradoras têm tabelas que dão a probabilidade de uma pessoa estar viva decorridos x anos desde que nasceu.

• Quantificado em partes por 100000

• Por exemplo, o INE estima que a probabilidade de um individuo nascido em 2007 estar vivo em 2040 é 98439/100000

Tabela de sobrevivência

Tabelas de sobrevivência

• A probabilidade de uma pessoa de 20 anos durar apenas 10 anos é de

(99267-98685)/99267 = 0.586%

Exercício

• Ex.2.6. Uma empresa contrata um financiamento de 10M€ com 3 anos de diferimento e amortizado nos restantes 7 anos, pagamentos trimestrais postecipados.

• TAE é a EURIBOR mais 2.5 p.p.

• Usando um quadro de probabilidades conhecido, determine P(prest>500k€)

D6: =(A6+B6)/2; E6: =D6+E$1; F6: =(1+E6)^(1/4)-1

G6: =B$3*F6/(1-(1+F6)^-E$2); E3=Soma(C12:C18)

Exercício

• Ex.2.7. Uma família adquire um imóvel a crédito– > 150k€ a 40 anos– > Prestação mensal iguais em termos reais– > Antecipada

• Quero saber o esforço financeiro– > Prestação/Rendimento

Exercício• Vamos fazer a análise a preços

constantes e calcular a prestação anual paga no meio do ano da renda cujo valor actual é 150k€:– que evita saber a taxa de inflação

)1()1(1

150000

)1()1(1150000

Exercício

• Podíamos fazer mensal

• Mas a ideia é visualizar a simplificação de considerar o pagamento a meio do período.

)1()1(1

150000

1)12/1()^1(

480 rmrm

Exercício

• Eu não sei qual vai ser a taxa de juro real nem o rendimento futuros.

• Vou assumir cenários e probabildiades para cada cenário.

J5: =$B$1*$D5/(1-(1+$D5)^-$B$2)/(1+$D5)^0,5/E$4

O5: =IF(J5>$P$2;E5;0) P3: =SUM(O5:S9)

Valor médio

• Na tomada de decisão é conveniente agregar todos os cenários em apenas algumas medidas.

• Em termos económicos, o valor esperado (médio) é a medida que contém mais informação

• é a “componente sem risco” do fenómeno que estamos a analisar.

Valor médio

• Havendo n cenários caracterizado cada um por xn, com determinada probabilidade de ocorrência, pn, o valor médio será

– Porque as probabilidades somam 1

pxpxpx

......

Valor médio

• O valor médio já nos permite um critério quantitativo que nos ajuda a decidir numa situação com risco.

• Mas é muito limitado porque não tem em atenção o risco (a variabilidade)

• Ex.2.8. Um empresa fornece refeições a aviões.

• Que confecciona durante a noite para responder às solicitações do dia seguinte que são incertas.

• Por cada refeição que fornecer recebe 15€ (com um custo de produção de 5€) e tem uma penalização de 15€ por cada refeição que seja pedida e não possa ser fornecida.

• As refeições que sobram são destruídas no fim do dia.

• i) Determine, em média, a rentabilidade do fornecimento em função do número de refeições confeccionadas.

• ii) Determine o número de refeições que maximiza a rentabilidade média.

• A empresa constrói cenários em que a variável desconhecida é o número de refeições encomendadas

• Calcula, para cada dia e com base na sua experiência, a probabilidade de cada um dos cenários se verificar.

• Com essas probabilidades, a empresa determina o resultado médio do dia em função do número de refeições confeccionadas (que é a variável de decisão).

E6: =MÍNIMO(C6;$D$1) F6: =C6-E6G6: =E6*E$4-D$1*D$2+F6*F$4H6: =D6*G6 H15: =SOMA(H6:H14)

• Alterando o valor da variável de decisão, D1, determino qual o número de refeições que maximiza o resultado médio, H15

Optimização

• O Excel tem a ferramenta Solver que permite maximizar ou minimizar o resultado de um modelo. No Excel 2007:

• Office Button+ Excel Options + Add-ins category +no Manage clickar em Go…,

• +Solver Add In

• Depois, aparece no Analysis

3ª Aula

Desvio padrão

• Ao agregarmos os cenários no valor médio ficamos sem uma medida de risco

• o desvio padrão, , é uma boa medida do risco de assumirmos o valor médio dos cenários possíveis como o valor do cenário que vai acontecer (e que é desconhecido)

Desvio padrão

• Algebricamente é a raiz quadrada da

• Média dos desvios ao quadrado

Desvio padrão

• Como a soma de todas as probabilidades dá 1

Nn PxPx ..... 21

Desvio padrão

• O desvio padrão é uma expressão derivável e que tem interpretação geométrica.– Se, e.g., uma população se agrega no

valor médio 25€/dia e desvio padrão 5€/dia, é equivalente a ter metade dos indivíduos em 20€/dia e outra metade em 30€/dia.

Desvio padrão

• Ex.2.9 - Uma empresa pretende internacionalizar-se e traçou vários cenários possíveis

• Determine o valor médio e o desvio padrão do resultado financeiro que resulta da internacionalização.

D2: =$B2*C2 D10: =SUM(D2:D9)E2: =(C2-$D$10)^2 F2: =$B2*E2F10: =SUM(D2:D9) F11: =F10^0,5

Desvio padrão

• Podemos ler este resultado como:

• Em média o resultado será 28.3k€ mas

• em metade dos casos o resultado será

4.3k€ = 28.3 – 24.06

• e na outra metade será

52.3k€ = 28.3 + 24.06

• Ex.2.10. Supondo que nos baralhos de 52 cartas uma figura vale 10 pontos.

• Determine o valor médio e o desvio padrão dos pontos de uma carta retirada aleatoriamente.

• Nesta população teórica eu posso calcular os valores da população

• 4 cartas valem 1 ponto,

• 4 cartas valem 2 pontos

• ….

538.613

1049...21134

104494...2414

• O desvio padrão será

153.313

)538.610(4...)538.61(

)538.610(44...)538.61(4

• Ex.2.11. Relativamente ao Ex. 2.8, determine o desvio padrão dos resultados.

• Determine o número de refeições que maximiza o valor médio do resultado menos o seu desvio padrão.– As pessoas preferem não infrentar risco pelo

que, quando ele existe, é preciso retirar alguma coisa ao valor médio

I6: =(G6-$H$15)^2 J6: =I6*D6

J15: =SOMA(J6:J14) J16: =J15^0,5

Função de distribuição

• Quando a variável é contínua podemos partir o domínio em intervalos, cenários, e apontar uma probabilidade de o acontecimento vir a pertencer a cada um dos cenários.

• Em cada cenário adoptamos como valor representativo o meio do intervalo

• Apesar de atribuirmos uma probabildaide a cada cenário– Se temos 30 cenários, precisamos de 29

números

• Mas não existe informação para ter rigor nesses números.

• Temos informação para 1 ou 2 números

• É aceitável pensar que os cenários vizinhos têm associadas probabilidade semelhantes.

• A Estatística propõe o uso de uma função F(x) que quantifica a probabilidade de ser observado um valor menor que ou igual a dado valor x.

• A função de distribuição é caracterizada por alguns parâmetros

• No ex.2.1 usei a Função Distribuição de Poisson que se caracteriza por 1 parâmetro (os 3%)Valor médio = Desvio Padrão

Distribuição Normal

• É caracterizada por dois parâmetros– O valor médio– O desvio padrão (ou a variância)

• Variância = desvio padrão ao quadrado

• É importante porque é a “distribuição limite” da soma de acontecimentos estatisticamente pouco dependentes

• A probabilidade de acontecer o cenário

] –; + ] é de 68.3% 2/3;

] – 2; +2] é de 95.5% 19/20

] – 3; +3] é de 99.7% 997/1000.

Ex. o QI -coeficiente de inteligência é uma variável aleatória com distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15

A probabilidade de encontrar aleatoriamente um indivíduo com QI > 145 é 0.13% (i.e., uma em cada 740 pessoas)

=1-DIST.NORM(145;100;15;VERDADEIRO)

Inglês: NORMDIST

Distribuição NormalA Distribuição Normal concentra a maior

probabilidade nos cenários em torno do valor médio

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

P(x = k )

Exercício

• Ex.2.12. Comprei obrigações a 25 anos à taxa de juro nominal fixa de 3%/ano, sem possibilidade de mobilização antecipada.

• A taxa de inflação média prevê-se seguir distribuição N(0.02, 0.01)/ano

• Determine o valor real a receber no fim do prazo de aplicar 10000€ e a probabilidade de esse valor ser menor que a quantia aplicada.

Exercício

• 1) Vou dividir o domínio da taxa de inflação em cenários e calcular o valor capitalizado para cada cenário

• 2) Calculo o valor médio e o desvio padrão do V.F. em termos reais e a probabilidade de vir a ser recebido uma quantia menor que a aplicada.

Exercício

A7: =G1-4,25*G2 B7: =A7+$G$2/2 A8: =B7D7: =(A7+B7)/2C7: =DIST.NORM(B7;G$1;G$2;true)-DIST.NORM(A7;G$1;G$2;true)E7: =(1+C$1)/(1+D7)-1 F7: =C$2*(1+E7)^C$3

G7: =F7*C7 H7: =(F7-G$25)I7: =H7^2*C7 C24: =SOMA(C7:C23) G25: =SOMA(G7:G22)/C24I24: =SOMA(I7:I22)/C24I25: =I24^0,5I26: =DIST.NORM(C2;G25;I25;true)

4ª Aula

Distribuição Uniforme

• Na F.D. Uniforme os valores no domínio são todos igualmente prováveis.

• Pode se caracterizada pelos extremos– valores mínimo e máximo

• Pelo valor médio e amplitude

• Pelo valor médio e desvio padrão

• Sendo dados

= valor médio

= desvio padrão

O Valor mínimo = - 1.732 O Valor máximo = + 1.732

• Sendo dados

Mx = valor máximo

Mn = valor mínimo

Valor médio = (Mn + Mx)/2

Desv. padrão = 0.2887(Mx - Mn)

• A probabilidade de um cenário é a sua proporção no domínio possível.

• Ex., com a distribuição uniforme

U(Min,Mx) = U(5; 10)

A probabilidade do cenário [5;6] é 1/5

Escolha da F.Distribuição

• A função distribuição não é conhecida sendo uma proposta da Teoria.

• No entanto, em termos de decisão económica, a função distribuição não é um factor crítico (ver ex.2.13).

• e.g., considerar uma função distribuição normal é idêntico a considerar uma função de distribuição uniforme.

Distribuição não simétrica

• No entanto, quando o fenómeno é caracterizado por uma função muito assimétrica,– Existe uma probabilidade mais elevada de alguns

acontecimentos catastróficos– Mede-se com

– m é zero nas F.D. simétricas

• não posso utilizar uma função simétrica

3 3 ii xPm

• Exemplo de uma distribuição assimétrica é o caudal de um rio

• É normal ter– m / > 5– 80% dos dias um caudal ao valor médio– 1 dia em cada 100 anos haver um caudal 30

vezes superior ao caudal médio

• Os caudais muito elevados (e.g., que ocorrem com a probabilidade de 1 dia em 100 anos) têm muito poder destrutivo

• Os seguros contra danos de cheias têm que quantificar com rigor a probabilidade destes acontecimentos extremos– As barragens e pontes têm que ser feitos de

forma a resistir a estes caudais extremos.

• O caudal médio do rio Douro no Porto é 714m3/s

• A ponte de Entre-os-Rios caiu com o caudal no Porto de ~13500m3/s– A maior cheia conhecida no Porto ocorreu em

23 de Dezembro de 1909 (e 6 Dez. de 1739) com >20000m3/s

– A barragem de Lever-Crestuma está dimensionada para 26000m3/shttp://www.wikienergia.pt/~edp/index.php?title=Central_de_Crestuma_-_Lever

Ribeira, 1962/01/03 10:00, ~17000m3/s, 1909 foi > em 68cm

Operações algébricas com uma variável aleatória

Operações algébricas simples

• Se somarmos uma constante a uma variável aleatória– O valor médio vem aumentado– O desvio padrão mantêm-se

Ex. A altura das pessoas é N(1.75, 0.15)

Supondo-as em cima de uma cadeira com 0.5m, a altura total será N(2.25, 0.15)

)()()(

Xaxpap

xpapxapXa

))(()()(

XaxapXa

• Se multiplicarmos uma constante por uma variável aleatória– O valor médio vem multiplicado– O desvio padrão vem multiplicado pelo valor absoluto

da constante

)()()(

xapxapXa

))(()()(

xaXxpa

XaxapXa

• Ex.2.14. Um marceneiro tem 1000€/mês de despesas fixas e tem de margem das vendas, em média, 15€ por cada móvel que produz. Supondo que projecta produzir este mês 100 móveis, qual será a sua remuneração em termos médios?

• R. Atendendo às propriedades, teremos

100 – 1000 = 100 15 – 1000 = 500€

Ex.2.15

• Um empresário está a avaliar o aluguer de um barco de pesca pelo qual paga 3mil€/dia.

• Demora um dia de viagem para cada lado e pesca, durante 5 dias, 2500kg/dia

• O preço de venda segue distribuição N(2,1)€/kg

• Quanto será o lucro? • Qual a probabilidade de ter prejuízo?

Ex.2.15

• O lucro será 52500N(2; 1) – 30007 =12500N(2; 1) – 21000 = N(25000; 12500) – 21000 = N(4000; 12500)• Em média 4mil€ com desvio padrão de 12.5mil€

• A probabilidade de ter prejuízo será 37.45%, =NORMDIST(0;4000;12500;TRUE).

Exercício

• Compro os legumes a 0.50€/kg, pago 75€ pelo transporte e o preço de venda é desconhecido tendo distribuição N(0.60; 0.15)€/kg.

• i) Determine qual vai ser o meu lucro de intermediar 1000kg de legumes.

• ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.

Exercício

i) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte

= 1000[N(0.60, 0.15) – 0.50] – 75

Lucro = N(600, 0.15x1000) – 575 = N(25, 150)

ii) No Excel teríamos

A1: =Dist.Norm(0; 25; 150; Verdadeiro) 43.38%

Exercício

• Ex.2.16. O empresário A fez uma descoberta que lhe permite desenvolver um negócio cujo q de Tobin é N(1.5, 0.25) e onde é necessário investir 1M€.

• Sendo que o empresário A vendeu ao empresário B metade do negócio por 625k€,

• qual será o q de Tobin de A e de B?

Exercício

• R. A investe 375k€ que terá

• B investe 625k€ que terá

)333.0,2()25.0,5.1(375.0

INVEST

RECEBq

)2.0,2.1()25.0,5.1(625.0

5.0NNq

Acções - obrigações

• O Ex.2.16 ilustra porque é vantajoso o empreendedor emitir acções da sua empresa.

• Uma acção é uma parte do capital próprio da empresa tendo, em termos contabilísticos, um certo valor nominal, normalmente 1€.

5ª Aula

• Por exemplo, uma empresa com um capital social de 10M€ divide-se em 10M de acções com valor nominal de 1€ cada.

• A acção dá direitos de voto na condução dos destinos da empresa e é remunerada com uma parte dos lucros, o dividendo, que é incerto.

• As acções têm maior risco que as obrigações porque, em caso de insolvência, os activos da empresa pagam primeiro as obrigações e apenas o que sobrar (i.e., nada) é que é dividido pelas acções.

• Além disso, no contrato de emissão o resultado das obrigações é conhecido (o cupão e o valor de remissão) enquanto que o lucro da empresa é variável.

• Interessa ao empresário dispersar o capital da empresa porque, normalmente, a empresa emite as acções, numa operação denominada por OPV (mercado primário), a um preço superior ao valor contabilístico.

• As acções são depois transaccionadas entre investidores (mercado secundário) sendo o seu preço, denominado por cotação, determinado pela expectativa que os agentes económicos têm da evolução futura do negócio (i.e., dos dividendos e da cotação).

Operações algébricas não simples

• Se quisermos calcular um prémio de um seguro de vida em que a duração do individuo é uma variável aleatória, as operações algébrica não são simples:

)1)()1(1()1( rrr

PrV LL

1)1)()1(1(

• Cálculo expedito. Sendo que temos y = g(x), obtemos um valor aproximado da distribuição usando os dois pontos notáveis

x1 = - e x2 = +

• Calculamos y1 = g(-) e y2 = g(+)

• Valor médio = (y1 + y2)/2

• Desv. padrão = |y2 - y1|/2

• Nas distribuições simétrica é indiferente usar• Valor médio = (g(-) + g(+))/2 g()

• Nas distribuições assimétricas é melhor usar• Valor médio = (g(-) + g(+))/2

Exercício

• Ex.2.17. O prémio de um seguro de vida com r = 2%/ano, L ~ N(50, 10)

• i) Determine qual devem ser as reservas Y/1000€ de forma a ter Y = (P) + (P).

• ii) Se a seguradora propõe um prémio antecipado de 15€/ano por 1000€ seguros, qual será o seu lucro?

Exercício

• P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.• a seguradora precisará reservas com média

(16.23+8.60)/2 = 12.42€/ano e desvio padrão (16.23-8.60)/2 = 3.82€/ano aconselhando a prudência a que as reservas sejam 12.42+3.82 = 16.23€/ano.

1)1)()1(1(

Exercício

• P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.• Lucro(40) = 15–16.23 = –1.23€/ano; • Lucro (60) = 15–8.60 = 6.40€/ano. • Para uma longevidade genérica, o lucro do

seguro terá • valor médio = (–1.23 + 6.40)/2 = 2.59€/ano• desvio padrão = (6.40+1.23)/2 = 3.82€/ano.

• Divisão em cenários. Já utilizamos esta abordagem (ex.2.8 + ex.2.11).

• Divide-se o domínio da variável em cenários sendo conveniente utilizar a folha de cálculo.

• Ao considerarmos intervalos mais pequenos, estamos a diminuir o “erro de cálculo”.

• C7: =NORMDIST(B7;C$2;C$3;TRUE)- NORMDIST(A7;C$2;C$3;TRUE)

• D7: =(A7+B7)/2+0,5• E7: =F$1-H$1*F$2/(1-(1+F$2)^-D7)/(1+F$2)^(D7+1)• F7: =C7*E7• G7: =E7-F$40• H7: =G7^2*C7• C39: =SUM(C7:C38)• F40: =SUM(F7:F38)/$C39• H39: =SUM(H7:H38)/$C39• H40: =H39^0,5

Método de Monte Carlo

• Método de Monte Carlo. • 1) Sorteamos vários valores para a variável de

acordo com a sua função distribuição.• 2) Aplica-se o modelo aos “dados” e determina-

se uma população de resultados possíveis.• Calcula-se o valor médio, o desvio padrão, faz-

se um histograma, etc., dos resultados.Tools + Data Analyses + Random Number

Generation **

**Excel 2007Instalamos o Data AnalysesOffice Button + Excel Options + Add Ins + Excel Add Ins Go…

Depois, aparece em Data o Data Analysis

• Quando derem o R, verão que o Método de Monte Carlo é de simples implementação

• É muito flexível e poderoso

• Permite determinar o “erro de cálculo”

Comparação dos métodos

• O método expedito, por usar apenas dois pontos notáveis, será o de menor grau de confiança

• A divisão em cenários está dependente do detalhe dos cenários

• O método de monte carlo está dependente do número de elementos extraídos

Comparação dos métodos

• No caso do Ex.2.17

Diversificação do risco

• O modelo estatístico ajuda a decidir num problema com risco

• Podemos diminuir o risco juntando actividades – diversificando

• Em termos estatísticos, são operações de soma de variáveis aleatórias.

• Em termos económicos trata-se de construir uma carteira de activos

• “Não pôr os ovos todos no mesmo cesto”

• Uma concretização negativa de um activo será estatisticamente compensada por uma concretização positiva de outro activo

• Por exemplo, na praia podemos vender gelados e gabardines.

• Quando faz calor, a venda de gabardines dá prejuízo e a de gelados dá lucro

• Quando chove, a venda de gabardines dá lucro e a de gelados dá prejuízo

• Vender de ambos diminui o risco

Faz Calor Chove

Gelados +200 -100

Gabardines -100 +200

Total do negócio

+100 +100

Duas variáveis

• Divisão das variáveis em cenários– Probabilidades cruzadas

• Já utilizamos no ex.2.5

• O método é semelhante à situação em que temos uma variável estatística, mas agora serão cenários que envolvem a concretização de vários contingências.

Exercício

• Ex.2.18. Um pescador precisa decidir se vai pescar ou não.

• Não sabe a quantidade que vai pescar nem o preço a que vai vender.

• A intuição permite-lhe construir cenários e atribuir-lhes probabilidades.

• De, em simultâneo, se verificar uma quantidade pescada (em kg) e um preço (em €/kg).

Exercício

Pesca \ preço [1; 2]€/k ]2; 3]€/k ]3; 4]€/k

[0; 100]kg 0% 4% 10%

[100; 250]kg 1% 35% 15%

]250; 400]kg 5% 10% 10%

]400; 500]kg 9% 1% 0%

Exercício

• O pescador pode agora calcular a receita (em termos médios e desvio padrão) multiplicando a quantidade (do meio do intervalo) pelo preço (do meio do intervalo) e decidir ir pescar se, e.g., a receita média menos o desvio padrão for maior que os custos fixos

Exercício

• B8: =$A2*B$1

• F2: =B8*B2

• H6: =SUM(F2:H5)

• F8: =(B8-$H$6)^2*B2

• H12: =SUM(F8:H11)

• H13: =H12^0,5

Decisão

• Depende agora dos custos fixos necessários para poder pescar. Se fossem, por exemplo, 500€ ficaria

• Lucro médio = 61,50€

• Des.Pa.lucro = 270,76€

• Se a função objectivo fosse LM-DP = 61.50-270.76, não ia pescar por ser <0.

6ª Aula

Exercício

• Ex.2.19. Uma empresa com 1000 trabalhadores pretende contratar um seguro de trabalho que dura 5 anos

• O seguro, em caso de morte, paga 60 meses de salário à viúva.

• Quanto deve ser o prémio mensal, antecipado?

Exercício

• R. Temos 3 variáveis desconhecidas,

• a taxa de juro, a longevidade e o salário

• Vamos supor que a seguradora assumiu 45 cenários, calculou as probabilidades de cada um e construiu um modelo no Excel.

• Assume-se que a probabilidade de nos 5 anos o trabalhador morrer é 0,140%

Exercício

• K3: =I3*$O$2*H3/(1-(1+H3)^-G3)/(1+H3)

• L3: =K3*J3

• M3: =(K3-$L$52)^2*J3

• L51: =SOMA(L3:L49)

• M50: =SOMA(M3:M49)

• M51: =M50^0,5

Exercício

• As reservas médias são de 4.91€ pelo que a seguradora tem lucro médio positivo com um prémio baixo, 6€/mês

• Mas, este negócio tem um risco tão elevado (d.p.=166.85€/mês) para a seguradora que é inviável.

• Apenas será possível se a seguradora conseguir diversificar este seguro.– Segurar os 1000 trabalhadores?

Associação entre variáveis - FD

• No caso de termos duas variáveis aleatórias, além da F. Distribuição e dos parâmetros (valor médio e desvio padrão) que caracterizam cada uma das variáveis,

• haverá um parâmetro para quantificar o grau de associação estatística entre as variáveis.

Associação entre variáveis - FD

• Por exemplo, nas calças são importantes a largura da cintura e a altura de perna do cliente que, na hora de fabrico, são desconhecidas.

• Mas, num cliente aleatório, em média, quanto maior for a sua cintura, maior será a sua altura de perna.

As calças de número maior são mais compridas

Associação entre variáveis -FD

• Covariância: é um parâmetro que condensa a associação entre duas variáveis estatísticas.

Associação entre variáveis

• t1A covariância pode ser negativa, zero ou positiva.

• É crescente com os desvios padrão das variáveis

• A variância é um caso particular da covariância

• Coeficiente de correlação linear de Pearson, (x, y)

• Retira à covariância o efeito dos desvios padrão

)()(),(),(

),(),(

yxyxyx

• Coeficiente de correlação linear está no intervalo [–1; 1]

• Se for zero, as variáveis não estão associadas (linearmente).

• Se for –1 ou 1, estão perfeitamente associados em sentido contrário ou no mesmo sentido, respectivamente.

• Propriedades da covariância e do coeficiente de correlação linear

i) A covariância (e o coeficiente de correlação linear) entre duas constantes ou entre uma variável e uma constante é zero

(a, b) = 0; (a,X) = 0

ii) Somando uma constante a uma das variáveis, a covariância e o coeficiente de correlação linear mantêm-se:

(a+X,Y) = (X,Y);

(a+X,Y) = (X,Y)

iii) Multiplicando uma das variáveis por uma constante, a covariância vem multiplicada e o coeficiente de correlação linear mantém-se (a menos do sinal e de ser zero):

(a.X,Y) = a.(X,Y);

(a.X,Y) = sig(a). (X,Y)

iv) A covariância e o coeficiente de correlação são comutativos:

(X,Y) = (Y,X);

(X,Y) = (Y,X)

Exercício

X~N(10;5), Y~N(-1;3), (X; Y) = 0.7

Determine

a) (3X; 2Y) e (3X;2Y)

b) (-X; 2Y) e (-X;2Y)

c) (5-5X;-2-Y) e (5-5X;-2-Y)

Exercício

(X; Y) = 0.7*5*3 = 10.5

a) (3X; 2Y)=3*2*10.5 = 63, (3X;2Y)=0.7

b) (-X; 2Y)= -1*2*10.5 = -21, (-X;2Y)=-0.7

c)(5-5X;-2-Y) = -5*-1*10.5 = 52.5, (5-5X;-2-Y) = -1*-1*0.7=0.7

Soma de variáveis estatísticasdiversificação do risco

Soma de variáveis estatísticas

• Até agora apenas somamos constantes com variáveis

• É muito relevante no contexto da M.F. porque modeliza o comportamento estatístico das carteiras de activos partindo-se das propriedades individuais dos activos que a constituem.

• Distribuição da soma de duas V.A. • Se as variáveis tiverem distribuição normal, então a

soma também terá distribuição normal. • Se não tiverem, a soma será mais próxima da

distribuição normal que as distribuições das parcelas.• A soma de + 30 variáveis aleatórias com distribuição

desconhecida que sejam pouco correlacionadas, pode assumir-se que tem distribuição normal.

• Média da soma.

• Sendo que existem duas variáveis, X e Y,

• a soma Z = X + Y terá como valor médio a soma dos valores médios de cada variável estatística.

• Variância e desvio padrão da soma.

• Sendo que existem duas variáveis, X e Y,

• a soma Z = X + Y terá como variância a soma das variâncias de cada variável mais duas vezes a covariância.

)(),(2)()( 222 yyxxz

Exercício

• t2 Ex.2.22. Um intermediário de legumes, quando encomenda desconhece o preço de aquisição e de venda dos legumes PC ~ N(0.50€/kg, 0.10€/kg).

• PV ~ N(0.60€/kg, 0.15€/kg).• Tem que pagar 75€ pelo transporte. • A correlação linear entre o preço de compra e de

venda é de 0.5• i) Determine qual vai ser o lucro de intermediar

1000kg de legumes. • ii) Determine a probabilidade de ter prejuízo.

Exercício

• Trata-se de operações algébricas com variáveis aleatórias.

• Lucro = 1000(PV – PC) –75.

PV – PC = N(0.60, 0.15) – N(0.50, 0.10)

= N(0.10, (0.152+2(– 0.5)0.150.10+0.102))

= N(0.10, 0.1323)Troca o sinal da correlação porque está a subtrair = *(-1)

Exercício

• 1000 N(0.10, 0.132) = N(100, 132.3)

N(100, 132.3) –75 = N(25, 132.3)

No Excel, =NORMDIST(0; 25; 132.3;TRUE)

Tem 42.5% de probabilidade de ter prejuízo

Exercício

• Ex.2.23. Duas acções, com rentabilidades X ~ N(5%; 5%)/ano e Y ~ N(10%, 7%)/ano e com correlação linear de 0.25.

• Determine a rentabilidade de uma carteira com a proporção 0.5 de X e 0.5 de Y.

Exercício

• Z = 0.5X+0.5Y

(Z) = (0.5X)+ (0.5Y)

= 0.5(X)+ 0.5(Y)

= 0.5x5%+ 0.5x10%

= 7.5%/ano

Exercício

• Z = 0.5X + 0.5Y2(Z) = 2(0.5X) + 2 (0.5X, 0.5Y) + 2(0.5Y) = (0.5x5%)2

+ 2x0.25x(0.5x5%)x(0.5x7%) + (0.5x7%)2

=0,0022875 (Z) = 4.78%

7ª Aula

Extensão à soma de N variáveis

• Se eu somar três variáveis, posso fazer

• X+(Y+Z)

• E retiro que2(X+Y+Z) =

= 2(X)+ 2(Y)+ 2(Z)

+ 2(X,Y)+2(X,Z) +2(Y,Z)

Facilmente estendo para N

• Ex.2.24. Uma empresa pretende lançar o seu produto em novos mercados.

• Moscovo tem custo Cm N(3, 0.5) e resultado actualizado das vendas Vm N(7, 1)

• São Petersburgo tem custo Csp N(2, 0.6) e resultado actualizado das vendas Vsp N(6, 2).

• O lucro resulta de subtrair os custos ao resultado actualizado das vendas,

• Os coeficiente de correlação linear são

Cm Csp Vm Vsp

Cm 1 0 0.5 0

Csp 0 1 0 0.5

Vm 0.5 0 1 0.7

Vsp 0 0.5 0.7 1

• i) Determine o lucro da representação de Moscovo e de São Petersburgo (separadas).

• ii) Determine o lucro de abertura das duas representações (em conjunto).

• i) Lucro da representação (separadas).

Lm = Vm – Cm = N(7; 1) – N(3; 0.5)

= N(4, (12 +210.5(-0.5) + 0.52))

= N(4, 0.866)

Lsp = Vsp–Csp = N(6; 2) – N(2; 0.6)

= N(4, (22 +220.6(-0.5) + 0.62))

= N(4, 1.778)

• i) Lucro das representações juntas.

Lm = Vm – Cm + Vsp–Csp

= N(7; 1) – N(3; 0.5) + N(6; 2) – N(2; 0.6)

= N(8, (12 + 0.52 + 22 + 0.62 + 210.5-0.5+ 220.6-0.5 + 21

20.7))

= N(8, 2.59)Para simplificar, só tenho 3 correlações diferentes de zero.

Exercício

• Ex.2.25. Um seguro de trabalho cobra um prémio de 6€/ano e obriga a seguradora a constituir como reservas F(4.91; 166.65)€/ano.

• i) Supondo que os acidentes não estão correlacionados, determine o lucro por trabalhador de segurar 1, 100 trabalhadores e 1000trabalhadores.

Exercício

• L1 = P-R = 6- F(4.91; 166.65) = F(1.09; 166.65)€/ano• L100 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/100 = = N(109; (100*166.652))/100 = N(1.09;16,67) €/ano• L1000 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/1000 = = N(1090; (1000*166.652))/1000 = N(1.09;5,27) €/ano

Exercício

• ii) Supondo que quando há um acidente é provável que morra mais que um trabalhador. Assim, recalcule o lucro por trabalhador com a correlação entre as fatalidades assumida como 0.1

Exercício

74.16;09.1

1000/65,166*1,0*999*100065.1661000;1090

02.55;09.1

100/65.16665.1661.02

99100265.166100;109

100/)65.166;09.1(...)65.166;09.1(

221000

Exercício

• Quanto menos correlacionados estiverem os acontecimentos e maior número de acontecimentos misturarmos,

• maior será a diminuição do risco e

• mais a função distribuição resultante se aproxima da função distribuição normal.

Exercício

• Ex.2.26. O “Seguro de Invalidez”, ex.2.21, obriga a F(7.27, 351.65)€/mês de reservas por cada 500€/mês de indemnização. O prémio será o valor médio das reservas mais o desvio padrão.

• Supondo que a invalidez dos trabalhadores não está correlacionada, determine o prémio em função do tamanho da carteira de seguros.

Exercício

n = 100 P = 42.44€/mês; n = 1000 P = 18.39€/mês; n = 10000 P = 10.79€/mês.

/65.35127.7

)/65.351;27.7(

/)65.351;27.7(Re 2

Diversificação do risco e avaliação de projectos

• A diversificação do risco pode tornar aceitáveis investimentos que avaliados de forma independente não seriam rentáveis (e.g., terem um VAL negativo).

• Isso acontece quando o investimento tem uma correlação negativa com outros investimentos o que permite diminuir o risco do conjunto dos investimentos.

• Ex.2.27. Uma investidora tem a possibilidade de adquirir uma participação

1. C. de golfe com q =N(1.2; 0.2)

2. Emp. agrícola com q = N(0.9; 0.45).Dá prejuízo

• A correlação entre os negócios é de –0.9

• Qual a proporção do investimento que minimiza a probabilidade de ter prejuízo.

Exercício

• D2: =DIST.NORM(1; B2; C2; VERDADEIRO)• E3: =1-E2• C5: =(E2*C2)^2+2*C2*E2*C3*E3*C4+(C3*E3)^2• B6: =E2*B2+E3*B3 C6: =C5^0,5

• Fiz um modelo no Excel e utilizei o solver para minimizar o risco.

• Contra a lógica da análise individual, aplicando 27% do investimento na empresa não rentável e com risco elevado o meu risco de ter prejuízo diminui de 18.87% para 3.22%.

• Reparar nas duas restrições do solver.

Alavancagem

• Em termos patrimoniais, uma empresa pode ser dividida num

• conjunto de destinos financeiros (os activos da empresa que têm determinada rentabilidade e podem ser recuperados) e

• um conjugo de origens financeiras (os passivos da empresa que têm que ser remunerados e devolvidos).

Alavancagem

• Em termos contabilísticos, o valor de cada unidade de participação (i.e., cada acção ou cota) será a soma dos activos menos a soma dos passivos alheios (o capital alheio) a dividir pelo número de acções ou cotas que representam a empresa.

Alavancagem

• A diversificação do risco trata da gestão do risco na parte do activo (e.g., das aplicações financeiras)

• A alavancagem trata da gestão do risco na parte do passivo (i.e., das origens dos recursos financeiros).– A proporção entre capitais próprios e alheios.

Alavancagem• Os capitais próprios têm voto na condução da

empresa enquanto que os capitais alheios não.

• Em tese, as obrigações não têm risco porque, na liquidação, são pagas antes dos capitais próprios

• Se a proporção de capitais próprios for pequena, as obrigações vêm o risco aumentado, exigindo o “mercado” uma taxa de juro maior.

Exercício• Um projecto de investimento a 10 anos necessita

de 10M€ de financiamento num projecto com uma rentabilidade R ~ N(15%, 15%)/ano.

• Para uma relação de alavancagem de 4 para 1 (i.e., detém 2.5M€ de acções e emite 7.5M€ de obrigações a uma taxa de juro fixa de 10%/ano)

• Determine o efeito da alavancagem na rentabilidade e risco dos capitais próprios.

Exercício

A rentabilidade média e o risco dos capitais próprios aumentam.

)0%,10(3%)15%,15(4

105.75.2

%)60%,30(NRCP

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