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BCC 101 –Matemática Discreta
Regras de Inferência
BCC101 - Matemática Discreta I
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Inferência Formal (lógica matemática) Linguagem – notação para enunciar teoremas
(premissas e conclusões): fórmulas da linguagem
Regras de Inferência – regras para concluir novas fórmulas a partir de fórmulas já provadas ou hipóteses
Inferência Formal (Prova) – um conjunto de hipóteses juntamente com uma sequência de aplicações de regras de inferência para obter uma conclusão
Inferência Lógica
BCC101 - Matemática Discreta I
Inferência – exemplo 1
A soma de 2 números pare é um número par 10 é par 14 é par Portanto, a soma 10+14 é um número par
(∀x∀y. par(x) par(y) → par(x+y)),
par(10), par(14) ⊢ par(10+14)
3BCC101 - Matemática Discreta I
hipóteses conclusãosímbolo de sequente
Quais são as regras de inferência usadas?
Inferência – exemplo 1
4BCC101 - Matemática Discreta I
par(14)
par(10)
par(10+14)
par(10) par(14)
∀x∀y. par(x) par(y) → par(x+y)
∀y. par(10) par(y) → par(10+y)
par(10) par(14) → par(10+14)
hipóteses
conclusão
a a → b {→E} b
∀x. p(x) {∀E} p(t)
a b {I} a b
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Algumas Regras de Inferência
a b {I} a b
E Introdução
a b {EL} a
E Eliminação Esq
a b {ER} b
E Eliminação Dir
Como as regras funcionam: Se temos provas das proposições acima da linha (ou se elas são premissas do sequente a ser provado), podemos inferir a proposição abaixo da linha.
Implica Eliminação
a ab {E} b
Nom
e e
m
Lati
n:
Mod
us
Pon
en
s
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Exemplo 2a b, b -> c |– a c
a b{ER} ba b
{EL} a
{I}
a c
prova de adado a bhipótese
prova de bdado a b
Pode-se reusar uma hipótese do teorema
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prova de cdado a b e b -> c
{⇒E}b ⇒ c
c
hipótese
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Outro Teorema e sua ProvaTeorema
a b, ac, bd |– c dProva
a b{ER} b
a b{EL} a
{I}c d
{E}ac
{E}bd
c d
a ab {E} b
E ruleModus Ponens
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Regras de Inferência
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Introdução da Implicação uma regra um pouco diferente
Implica Introdução
[a] |– b {I} ab
Se existe um prova da proposição b supondo a
proposição aEntão podemos inferir a proposição
ab O que é diferente? A proposição suposta, a, não precisa ser uma premissa do teorema
Suposição Temporária A suposição de a é “admitida” temporariamente na prova Mais tarde, quando usamos a regra I, a hipótese a é descartadaO que! Posso supor o que quiser? Qual é a lógica nisso?O parte de cima da regra não requer que a seja verdadeiro, nem bEla requer apenas que, se a for verdadeiro, então se pode provar b
Também não precisa ser provada a partir das premissas
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Como a Introdução da Implicação é usada
|– P Q Q
Prova
P Q{ER} Q {I}
P Q Q
Isso prova o sequenteP Q |– Q
Nesse ponto a prova adimite, temporariamente, a hipótese extra P Q
Implica Introdução
[a] |– b {I} ab
Aplicando a regra Icom a = P Q e b = QTemos P Q |– Qe podemos inferir P Q Q
Aplicando I descarrega-se hipótese extra
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Transitividade da ImplicaçãoPaciência ... – provas, provas, e mais provas
Teorema (Transitividade da Implicação)ab, bc |– ac
Suponha que podemos provar o sequente a |– c Então a regra I levaria à conclusão ac Estratégia da prova
Suponha a Prove a |– c Conclua ac (pela aplicação da regra I)
prova
bc{E} c
a ab{E} b
{I} ac
hipótese adimitida temporariamente
descartada
demais hipóteses
por Iconclusão
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Descarga de hipóteses
Quando se usa uma das seguintes regras I descarrega a 1 hipótese E descarrega as 2 hipóteses PBC descarrega a 1 hipótese
Porque isso ocorre nessas regras? Essas regras têm sequentes como premissas
Nenhuma outra regra descarrega hipóteses
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Descarga de hipóteses
a |– b {I} ab
Ori
gin
a 1
desc
arg
a
Ao final, as folhas restantes são premissas do teorema
{IL} a b
{E}
{I}
a
a Falso
Falso
(a b) Falso
descarrga
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Como encontrar a hipótese a descarregar
Implica Introdução
[a] |– b {I} a b
a b [a] |– c [b] |– c{E} c
Ou Eliminação
hipótese descarregada nasubárvore a |– b deve seridêntica à fórmulacorrespondente a a em ab
[a] |– False{PBC} a Redução ao Absurdo
hipótese descarregada nasubárvore a |– c deve seridêntica à fórmulacorrespondente a a em ab
de modo análogo em b |– c, mas casando b em ab
hipótese descarregada nasubárvore a |– False deveser idêntica a a, onde a é a fórmula abaixo da linha
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Um exemplo mais complicado
a b, c → a, b d |– c d
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{modus tollens} c
c aa
c d
a b
{E}d
b db
{ IL} c d { IR} c d
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hipóteses descarregardas
a b a |– c b |– c{E} c
hipóteses restantes
a{E }
que hipóteses
descarregar?
{E} {ID}b
a b b b{E} b
a
a b a |– c b |– c{E} c
Plano Derive b de a Derive b de b Use E
a b, a |– b (silogismo disjuntivo)
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Uma Prova Usando Contradição
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{E} a
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a (a)
Redução ao Absurdo
(a) |– a
[a] |– {PBC} a
Plano Derive Falso de a, dado (a) Conclua a (usando PBC)
{E }
{PBC} a
hipótese restante
Que hipótese descartar?
(a){ F} a
Negação Dupla Dir
Qual a regra para isso?
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((a) a)
Lei do Terceiro Excluído |– (a) a
{()ER} a
((a) a){()EL} (a)
{PBC} (a) a
{ E}
[a] |– {PBC} a
o que descarregar?que hipóteses
restam?conclusão
(a b){()ER} b
o que mais?
Plano Derive Falso de ((a) a) Conclua (a) a, usando PBC
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Lei de DeMorgan — Direto (a b) |– (a) (b)
(a) (b)
Plano Derive a b de ((a) (b)) Note o conflito com a hipótese Conclua (a) (b), usando PBC
(a b){DeMF}(a)(b)
DeMorgan E Direto((a) (b)){()EL} (a){F} a
((a) (b)){()ER} (b){F} b
{I} a b (a b)
{PBC}
{E }
Descarregar?
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