08. simulando modelos quantitativos objetivos: 1. escrever uma equação para a variação da...

08. SIMULANDO MODELOS QUANTITATIVOS

OBJETIVOS:

1. Escrever uma equação para a variação da quantidade, em um tanque de depósito onde existe uma drenagem;

2. Usando uma tabela, calcular a quantidade e fluxo por hora, plotando os resultados em um gráfico de quantidade versus tempo, explicando como estes cálculos são capazes de simular processos representados por modelos;

3. Representar a simulação com um fluxograma;

4. Escrever um programa em linguagem BASIC que faça a mesma simulação em um computador;

5. Preparar um modelo de produção-consumo, fazer uma simulação e comparar com a simulação do computador.

08. SIMULANDO MODELOS QUANTITATIVOS

Neste capítulo se introduzirá nas técnicas para simulação de modelos quantitativos de sistemas.

Primeiro, usando um modelo de tanque com água, serão feitos os cálculos a mão e será preparada uma tabela e um gráfico com as mudanças em quantidade de água armazenada em um tanque versus o tempo.

Aqueles que dispõem de um computador poderão fazer os cálculos nele ("rodar o programa“).

8.1 INTRODUÇÃO.

Os diagramas de energia são uma maneira de visualizar o comportamento os sistemas. Seis modelos de sistemas com diferentes tipos de fontes de energia e depósito foram introduzidos nos capítulos 6 e 7.

Logo após a leitura do capítulo e seus exercícios, estará apto para fazer gráficos de como cada ecossistema responde em função do tempo.

A linguagem simbólica de energia se tornará muito mais compreensível, sobretudo quando se usar números reais para mostrar o comportamento do sistema.

8.1 INTRODUÇÃO. A linguagem de diagramas de energia, que temos estado utilizando, são expressões matemáticas. Com ele temos representado os processos e suas relações.

Eles se converterão em expressões matemáticas quando colocaremos números nos símbolos de processo, depósito e nas razões de fluxo, em cada trajetória de energia.

Se fizermos isto, teremos uma linguagem próxima a aquela que os computadores conseguem compreender.

8.1 INTRODUÇÃO.

Se tiver acesso a um computador, poderá fazer exercícios de simulação desta seção usando a máquina.

Se você tem um acesso restringido, pode obter uma demonstração de simulação de computador usando os programas do Capítulo 8.

Se não tem acesso a um computador, não se preocupe, poderá fazer os cálculos manualmente.

8.2 Coeficientes para parâmetros simples.

Para representar quantitativamente o que está sucedendo em um modelo, a qualquer hora, se escreve números sobre diagramas. As razões de fluxo se escrevem sobre parâmetros de linhas e quantidades em depósito se escrevem nos símbolos de depósito.

Imagine um tanque contendo 20 litros (20 l) de água. Uma mangueira drena 10% do fluxo de água restante por hora. Durante as primeiras horas, o tanque drenará 2 l de água. Os diagramas para quantidade de energia destes sistemas são assim:

Figura 8.1 Modelo de tanque de drenagem.

Vazão de saída proporcional ao estoque

8.2 Coeficientes para parâmetros simples.

Este diagrama descreve quantitativamente o sistema durante a primeira hora.

Não obstante, ao início da segunda hora, as coisas mudam; a quantidade de água restante no tanque é agora 18 l e a razão de fluxo de saída é 10% deste, ou seja 1.8 l/h.

Como a cada hora que passa, mais água corre, e os valores diminuem.

8.2 Coeficientes para parâmetros simples.

Devemos encontrar uma equação para estes cálculos:

• Primeiro, representamos a quantidade de água em depósito com Q (e admitimos que Q mudará com o tempo).

• Segundo, descrevemos o fluxo como um coeficiente de parâmetro, chamado k, que indica a fração de água restante drenada por hora. Quanto maior o diâmetro da mangueira, maior é o coeficiente. Neste exemplo o coeficiente de parâmetro é 0.1 (ou 10%).

8.2 Coeficientes para parâmetros simples.

Note que:

Fluxo = coeficiente de fluxo x quantidade no depósito

Fluxo= k x Q,

onde

Coeficiente de fluxo = fração decimal do fluxo de depósito por unidade de tempo.

O modelo para o tanque com drenagem seria assim:

Figura 8.2 Modelo de tanque mostrando Q e kQ, sendo k = 0.1.

8.3 SIMULAÇÃO MANUAL. Tabela 8.1 Cálculos do fluxo do depósito por hora.

Tempo

(horas)

Quantidade Q (litros)

Taxa de saída (litros/hora)

0 20 2

1 18 1.8

2 16.20 1.62

3 14.58 1.46

4 13.12 1.31

5 11.81 1.18

8.3 SIMULAÇÃO MANUAL.

Vamos examinar os cálculos que foram feitos para formar a Tabela 8.1. O processo se calculou repetindo uma série de subtrações, passo a passo, do depósito.

O processo de fazer cálculos repetidos como este se chama interação. O processo nas Figuras 8.1 e 8.2 poderia ser exposto como segue:

A quantidade, a um intervalo de tempo próximo, é a quantidade no momento presente, menos o fluxo:

(novo Q) = (anterior Q) - (k x Q)

8.3 SIMULAÇÃO MANUAL. Em outras palavras, a equação diz:

“O novo Q igualará ao anterior Q menos k vezes o anterior Q.”

Vamos escrever esta equação da forma como aparece na tela de um computador, onde:

* significa multiplicação,

= significa "será igual".

Q = Q - k * Q

8.3 SIMULAÇÃO MANUAL. No modelo do tanque com drenagem (Figura 8.1) o valor inicial para Q é 20 lt e k = 0.1 por hora. Na tabela 8.1 o início é indicado pela primeira linha, quando o tempo é 0, e Q é 20 l.

1.Para a primeira hora:

Fluxo de saída = K*Q

= 0.1/h * 20 lt

= 2 l/h (2 litros por hora)

Ao final da primeira hora a água no depósito se calcula pela subtração do fluxo por hora:

Novo depósito = depósito anterior - fluxo

= 20 l - 2 l = 18 l

8.3 SIMULAÇÃO MANUAL. 2.Para a segunda hora:

Fluxo de saída = k*Q

= 0.1 l/h * 18 l

= 1.8 l/h

Ao final da segunda hora:

Novo depósito = depósito anterior- fluxo

= 18 l - 1.8 l

= 16.2 lt

A Tabela 8.1 mostra os cálculos para as primeiras cinco horas. Se estendemos esta tabela para 20 horas e se plotamos os pontos sobre o gráfico se obteria a seguinte figura:

Figura 8.3

Gráfico da quantidade em depósito (Q) versus tempo, como foi

calculado na Tabela 8.1, simulando o modelo da Figura 8.2.

8.4 DIAGRAMA DE FLUXO.

Quando uma série de cálculos são feitos uma e outra vez, pode-se escrever os passos do procedimento de cálculo, como um diagrama de fluxo.

A Figura 8.4 é o diagrama de fluxo para os cálculos que são feitos na Tabela 8.1.

Lendo desde o início até o fim, é necessário fornecer os números iniciais; transladar os valores sobre um gráfico, calcular os valores depois do intervalo de tempo, retornar, graficar e calcular novamente, assim sucessivamente até chegar a 20 horas.

8.4 DIAGRAMA DE FLUXO.

A lista de passos, no procedimento, é chamado programa.

O gráfico de fluxo (Figura 8.4) é uma maneira de escrever um programa.

Escreve-se uma lista de instruções para um computador, conhecido como programa de computador.

Figura 8.4

Fluxograma para simular o modelo da Figura 8.2 e

calcular os valores da tabela 8.1

8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.

Para fazer que um computador realize cálculos, devemos dar uma lista de instruções na linguagem na qual ele esteja programado para responder.

As palavras e símbolos que necessitamos usar para instruir um computador, estão na Tabela 8.2. Eles são parte da linguagem BASIC.

8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.

As instruções necessárias se dão na Tabela 8.3, estas se numeram: 10, 20, 30, etc.

Depois de que o programa tenha sido digitado e esteja armazenado na memória

de trabalho e na tela, digite RUN e o computador seguirá a lista de instruções até que os cálculos estejam completos.

Os números calculados a mão na Tabela 8.1 serão listados na tela. Para que o programa apareça na tela, digite LIST. Para salvar o programa em um disquete, digite SAVE e o nome do programa.

8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR. Tabela 8.2. Algumas instruções em linguagem

Comando O que faz

run Roda o programa, listando as instruções em ordem numérica

go to Vai à instrução designada pelo número e o executa no texto

if Dá uma instrução para realizar alguma coisa, como ir a outra linha ( ex: IF T é menor que 20, GO TO )

print Mostra na tela o valor numérico das quantidades que se listaram depois do comando PRINT

pset Mostra na tela um ponto relativo aos novos valores das variáveis

8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR. Tabela 8.2. Algumas instruções em linguagem

Comando O que faz

end Detém o programa

= Dispõe uma parte igual para o que é especificada

+ Adiciona a próxima quantidade

* Multiplica a próxima quantidade

/ Divide entre a próxima quantidade

> Menor que

< Maior que

8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.

Se o computador é compatível com IBM-PC, imprima o programa teclando LLIST.

Para imprimir os cálculos,

tecle CTRL PRTSC e então RUN.

8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.

O que segue, é uma explicação das instruções no programa (Tabela 8.3 e Figura 8.2).

Primeiro, dissemos ao computador o tamanho das quantidades com as que se trabalharam ao princípio. Assim, teremos (na Tabela 8.3):

10 Q = 20 (quantidade em depósito = 20).

20 k = 0.1 (coeficiente de parâmetro = 0.1).

30 T = 0 (tempo = 0).

8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR. Logo diremos ao computador que imprima estes números:

40 PRINT T, Q, k*Q

A seguir, diremos ao computador o que fazer com estes números:

50 Q = Q - k*Q

o qual significa, "novo Q é igual ao anterior Q menos k multiplicado pelo anterior Q".

(Note: * significa multiplicar, para evitar confusão sobre o significado de x).

8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR. Havendo feito isto, diremos ao computador para avançar no tempo uma unidade:

60 T = T + 1

e então, se T é menor de que 20, repetirá as instruções 40, 50 e 60:

70 IF T < 20 GO TO 40

O computador repete os cálculos para cada novo intervalo de tempo, imprime os resultados e avança o tempo até chegar a T = 20. Neste ponto, quando chega à instrução 70, não volta a 40, em lugar disto, vai à linha 80 a qual diz:

80 END

8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR. A seqüência inteira dos cálculos leva poucos segundos; os resultados são listados na tela em forma de tabela. Agora pode simular a mão.

Tabela 8.3. Programa em BASIC para uma simulação de modelo na Figura 8.1.

10 Q = 20

20 K = .1

30 T = 20

40 PRINT T, Q, K*Q

50 Q = Q – K*Q

60 T = T + 1

70 IF T < 20 GO TO 40

80 END

8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR. Para pôr o computador em modo gráfico e mudar a cor do fundo para branco, é necessário outra instrução:

Em IBM PC as instruções são:

SCREEN 1,0: COLOR 0,0 e

PSET (T/0.07, 180-Q/200) , 3

A curva na Figura 8.3 mostra que a taxa de fluxo diminui proporcionalmente à diminuição da pressão de água no tanque. Um programa similar está no Apêndice Tabela A.8.

8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA. Se puder trabalhar na simulação do tanque com drenagem sem

dificuldade, está pronto para um modelo mais complexo. Figura 8.5 – Diagrama de ecossistema

8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA.

Este modelo representa qualquer ecossistema.

Mostra que, a luz solar que chega aos produtores, é capturada durante a fotossíntese e se armazena como biomassa até ser consumida por tecidos animais ou tecidos vegetais durante a noite.

Agora vamos adicionar alguns dados.

8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA.

A incidência da luz do sol varia durante o ano, pode prover as seguintes quantidades de energia:

Ano EstaçãoLuz Solar

(E3 J/m²/estação)

1 Inverno 5.000

1 Primavera 10.000

1 Verão 15.000

1 Outono 10.000

8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA. Se as plantas capturam e armazenam 1% da energia solar disponível (k1 = 0.001), e se os animais consomem 20% da energia total armazenada nos tecidos das plantas (k2 = 0.2), então o modelo quantitativo se parece à Figura 8.6. Diagrama de ecossistema com coeficientes de parâmetros.

8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA

A simulação manual do sistema poderia começar com Q=0.1.

Faça os cálculos em cada linha de esquerda a direita, para ver se pode reproduzir os números da Tabela 8.4.

Trabalhe com duas casas decimais.

8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXATabela 8.4. Cálculos para simulação manual do diagrama na

Figura 8.6. As unidades são E3 joules/m2/estação.

Ano EstaçãoLuz Solar

S

Vegetal P= 0.001*S

Consumo Animal C=0.2*(anterior Q)

Quantidade de matéria vegetal

Novo Q= anterior Q+P-C

0 Começo - - - 0.1

1

Inverno

Primavera

Verão

Outono

5.000

10.000

15.000

.

5

10

15

.

0.2*0.1=0.02

0.2*5.1=1

0.214=2.8

.

0.1+5-0.02=5.1

5+10-1=14

14+15-2.8=26

.

2

Inverno

Primavera

Etc...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA.

Continue os cálculos em outra folha de papel até obter dados de cinco anos.

Grafique os valores para luz solar e quantidade de matéria vegetal sobre a Figura 8.7, continuando o gráfico iniciado acima.

8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA.

Figura 8.7 Gráfico da simulação do modelo do sistema P-R versus tempo.

8.7 COMPUTADOR PARA SIMULAÇÃO DE PRODUÇÃO E MODELO DE CONSUMO

O modelo na Figura 8.5, que foi "simulado manualmente" na Figura 8.7 e que pode ser escrito para simulações em computador como se mostra na Tabela 8.5.

Os programas para este e outros modelos estão listados no Apêndice A.

8.7 SIMULAÇÃO DE PRODUÇÃO E CONSUMO

Tabela 8.5. Programa de computador em BASIC para o modelo P-R na Figura 8.6. (resultados multiplicados por 1000.)

10 Q = 0.1

20 K1 = 0.001

30 K2 = 0.02

40 N = 1

50 IF N=1THEN S=5.000

60 IF N=2 THEN S=10.000

70 IF N=3 THEN S=15.000

80 IF N=4 THEN S=10.000

90 N = N + 1

100 IF N=5 THEN N=1

110 PRINT T, S, P, C, Q

120 P = K1*S

130 C = K2*Q

140 Q = Q + P – C

150 T = T + 1

200 IF T>20 GO TO 50

8.7 COMPUTADOR PARA SIMULAÇÃO DE PRODUÇÃO E MODELO DE CONSUMO

Para o IBM PC, as mudanças seriam:

5 SCREEN 1,0: COLOR 0,0

6 LINE (0,0)-(320,180),1,B

110 PSET (T/.07, 50-S/350)

115 PSET (T/.07, 180-Q/.5)

200 IF T/.07<320 GO TO 50

8.7 COMPUTADOR PARA SIMULAÇÃO DE PRODUÇÃO E MODELO DE CONSUMO

Para imprimir o gráfico na folha de papel, no IBM PC pressione a tecla SHIFT com a tecla PRINT SCREEN (PrtSc).

8.8 DISCUSSÃO. O anterior gráfico de quantidade, mostra o crescimento e o estado estacionário como no Modelo 3 (Figura 6.3). O sol é uma fonte renovável fixa com fluxo constante.

Em conseqüência, a produção de material vegetal aumenta rapidamente ao princípio, mas desde que o consumo animal é uma porcentagem fixa de material vegetal disponível, os consumidores começam a aumentar rapidamente até que a produção e consumo são iguais.

8.8 DISCUSSÃO. O crescimento não é uniforme por causa das variações da luz solar e o pico de crescimento vegetal está depois do pico de luz solar porque há um atraso na formação do depósito da energia (armazenamento).

Um exemplo deste tipo de crescimento é a sucessão ecológica. O crescimento rápido de plantas em um campo aberto muda a um crescimento líquido mais lento de arbustos e logo árvores, e culmina em um estado estacionário onde árvores e outros produtores estão em balanço com os consumidores.

8.9 Perguntas e atividades para o capítulo 8

1. Defina os seguintes termos:

a. simulação

b. quantitativo

c. coeficiente

d. programa

e. interação

f. equação diferencial

g. BASIC

2. Faça o diagrama de uma descrição quantitativa de um tanque de depósito mostrando depósito e fluxos.

8.9 Perguntas e atividades para o capítulo 8

3. Calcule os coeficientes de parâmetro de seu tanque de depósito, se a quantidade armazenada é 100 litros e o primeiro fluxo é de 5 litros/hora.

4. Usando Tabela 8.1 como guia, faça uma lista dos dados da pergunta #3 em forma de tabela, esta será estendida para um mínimo de 15 horas.

5. Use seus dados do #4 para graficar quantidade (Q) versus tempo (T) sobre eixos cartesianos.

8.9 Perguntas e atividades para o capítulo 8

6. Grafique os valores para luz solar e quantidade de matéria vegetal na Figura 8.7, continuando o gráfico já começado.

7. Explique porque o gráfico que completou na Figura 8.7 é semelhante a um gráfico de sucessão ecológica.

8. Como provavelmente você sabe, há muito mais sobre programação de computadores em linguagem BASIC, mas você conhece o suficiente para simular os Modelos nos Capítulos 6 e 7. Tente então.