simulando a ocm (olimpÍada campinense de matemÁica) nÍvel ii

17
SIMULANDO A OCM (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL II MODELO DA PROVA: INSTRUÇÕES 01. Cada questão da 1 a parte vale 10 (DEZ) pontos, enquanto que cada problema da 2 a parte vale 40 (QUARENTA) pontos. 02. Todas as soluções da 2 a parte devem ser justificadas. Uma simples resposta, sem indicar como foi obtida, receberá uma pontuação inferior. 03. Não é permitido o uso de calculadoras nem consulta a notas ou livros. É permitido o uso de régua, esquadro e compasso. 04. Nas 10 (dez) primeiras questões da 1 a parte, assinale com X a alternativa que julgar correta na tabela abaixo. Assinale somente uma alternativa para cada questão, de preferência com caneta. 01 (A) (B) (C) (D) (E) 06 (A) (B) (C) (D) (E) 02 (A) (B) (C) (D) (E) 07 (A) (B) (C) (D) (E) 03 (A) (B) (C) (D) (E) 08 (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (A) (B) (C) (D)

Upload: macon

Post on 29-Jan-2016

23 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

SIMULANDO A OCM (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL II. MODELO DA PROVA : INSTRUÇÕES 01. Cada questão da 1 a parte vale 10 (DEZ) pontos, enquanto que cada problema da 2 a parte vale 40 (QUARENTA) pontos. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

SIMULANDO A OCM (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA)NÍVEL II

MODELO DA PROVA:INSTRUÇÕES01. Cada questão da 1a parte vale 10 (DEZ) pontos, enquanto que cada problema da 2a parte vale 40 (QUARENTA) pontos.02. Todas as soluções da 2a parte devem ser justificadas. Uma simples resposta, sem indicar como foi obtida, receberá uma pontuação inferior.03. Não é permitido o uso de calculadoras nem consulta a notas ou livros. É permitido o uso de régua, esquadro e compasso.04. Nas 10 (dez) primeiras questões da 1a parte, assinale com X a alternativa que julgar correta na tabela abaixo. Assinale somente uma alternativa para cada questão, de preferência com caneta.

01 (A) (B) (C) (D) (E) 06 (A) (B) (C) (D) (E)

02 (A) (B) (C) (D) (E) 07 (A) (B) (C) (D) (E)

03 (A) (B) (C) (D) (E) 08 (A) (B) (C) (D) (E)

04 (A) (B) (C) (D) (E) 09 (A) (B) (C) (D) (E)

05 (A) (B) (C) (D) (E) 10 (A) (B) (C) (D) (E)

Page 2: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

1.Se então, quando y = 12, x é igual a:

A.1/8B.3/7C.7/3D.7/2E.8

Solução:

Quando 2x e 3y , então 9

1

153

42.3

kk . Logo, quando 12y ,

3

7343

9

1

27

43

1512

43

xxx

kx

Page 3: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

2.Na adição abaixo, 2a3 e 5b9 são números de três dígitos. Se 5b9 é divisível por 9 , então a + b é igual a:

A.2 B.6 C.4 D.8 E.9

Solução:

Podemos escrever 9)50(10910100595 bbb . Então,

19

)50(10

9

95

bb é um inteiro, onde b = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para

9

50 b

ser um inteiro, b = 4.

Como 22233265493269532 aba . Então, 6ba

Page 4: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

3.A expressão , é equivalente a:

A) 1 B) xy2 C) 22 22 yx D) x

y

y

x 22 E)

xyxy

22

Solução:

xy

yxyx

xy

yxyx

x

y

y

x

y

y

x

x 111111 222222222222

xyxy

xy

yx 22

22 22

Page 5: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

4.

1. O número de dígitos do numero N = 224 x 520 é igual a:

A. 22

B. 20

C. 23

D. 24

E. 21

Solução:

zeros

N20

202020204 0001610165216522

Page 6: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

5.O valor de 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ... + 1999 - 2000 + 2001 é igual a:A.1001 B.1000 C.1002 D.1003 E.1004

Solução:

20012000199910987654321

2001)20001999()109()87()65()43()21(

1001200110002001)111111(1000

vezes

Page 7: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

6.Se a e b são inteiros positivos tais que a + b + ab =14 , então a + b é igual a:

A.8 B.7 C.6 D.9 E.10

Solução:

53)1)(1(15)1()1(14)1(14 baaabaababba

011

14151

bb

aa (b=0 não serve) ou ainda

14151

011

bb

aa

(a=0 não serve).

231

451

bb

aa ou ainda

451

231

bb

aa.

Logo, 6 ba

Page 8: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

7.

1. Assinale a opção que representa o maior número:

A. 360

B. 448

C. 736

D. 1924

E. 30012

Solução : 1212560 243)3(3 ; 1212448 256)4(4 ;

1212336 343)7(7 ; 1212224 361)19(19 . Logo, 603 < 484 < 12300 < 367 <

2419

Page 9: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

8.

1. Se a0 = 1, a1 = 3 e a relação geral para . Então a3 é igual

a:

A. 13

27

B. 33

C. 21

D. 10

E. –17

Solução:

Para 1n , temos 12021 aaa e como 10 a , 31 a , então

1019 22 aa .

Para 2n , temos 1)1( 231

22 aaa , então 3313100 33 aa .

Page 10: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

9.

1. No triângulo ABC , o ângulo , AB =20 , AC = 12 e os pontos D no lado AB e E no lado BC são tais que AD=DB , e DE é perpendicular ao lado AB . Então, a área do quadrilátero ADEC é igual a:

A. 75

B. 48

C. 75

2

D. 117

2

E. 115

2

Solução:

C

E

A D B

Pelo teorema de Pitágoras, 222

ACABBC , então:

162561444002

BCBC

O ∆ABC ~ ∆DBE (pois têm 2 ângulos iguais), então DB

BC

DE

AC , ou seja,

2

15

10

1612 DE

DE.

Como A∆ABC = 962

1612

2

BCAC, A∆DBE =

2

75

2

102

15

2

DBDE e

A ADEC = A∆ABC - A∆DBE = 2

117

2

7596

Page 11: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

10.

10.Se ou e ou , então é equivalente a:

a)4 3x y xy b)

4

6

xy

y

c)2

2 3

x y

d)

4

6

yx

y

e)4 6y xy x

Solução:

xyyxxyyxyyxxy

yx

yx)6(46446

2

123

2

132

xy

y

6

4

Page 12: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

QUESTÕES ABERTAS

Page 13: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

1.Qualquer are do terreno retangular abaixo tem o mesmo preço. Os terrenos A e B juntos custam R$ 53.000,00. Calcule o custo do terreno D. (Informação: Are é uma medida de superfície).

Como a diagonal do retângulo divide o mesmo em dois triângulos de mesma área, temos que 6 + 11 + 25 = 24 + AD AD = 18 are. De acordo com o enunciado, podemos calcular o custo do terreno “D” através de uma regra-de-três simples:

17 are ____ 53.000,00 reais

18 are ____ X

Page 14: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

2.Na adição abaixo, 2A3 e 5B7 são números de três dígitos. Se 5B7 é divisível por 7 . Que dígitos representam as letras A e B ?

Solução:

7)50(10710100575 BBB , onde 75B =0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9

17

)50(10

7

7

7

)50(10

7

75

BBB é um número inteiro. Para

7

50 B ser

um um inteiro, 6B .

Como 2433245673247532 BA , logo 4A

Page 15: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

3) Descubra o número, de acordo com as informações dadas a seguir:

i) é um número de dois algarismos;ii) o algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das unidades;iii) trocando os dois algarismos de lugar, obtêm-se um segundo número. Se, do primeiro, subtrai-se o segundo número, o resultando é 36

Solução:

O número procurado é da forma: AB, onde A e B são dígitos. Podemos

escrever AB=10A+B e, como A=2B, então AB=20B+B=21B.

O segundo número é BA=10B+A=10B+2B=12B. Mas AB-BA=21B-12B=9B=36, logo B=4 e A=8. O numero procurado é 84.

Page 16: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

4.Os números 1, 2, 3, 4, 5 são colocados na tabela abaixo, de modo que cada um apareça exatamente uma vez em cada coluna, linha ou diagonal.A.Calcule o valor de A+B.B.Complete a tabela.

Solução:

a) Calcule o valor de A+B =6

b) Complete a tabela

1 5 4 3 2

3 2 1 5 4

5 4 3 (A) 2 1

2 1 5 4 3

(B) 4 3 2 1 5

Page 17: SIMULANDO A OCM  (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL  II

5.O diretor de um colégio interno tem uma garrafa cheia de vinho trancada a chave no seu armário. Um aluno conseguiu uma cópia da chave, abriu o armário, bebeu metade do conteúdo da garrafa, completou a garrafa com água e recolocou-a no lugar. Deu a chave para um colega que fez a mesma coisa. Quando o diretor percebeu, já havia menos de 2% de vinho na garrafa. Quantos alunos, no mínimo, beberam da garrafa?

Seja iV a fração de vinho na garrafa após a i-ésima manipulação . Temos

10 V e se i 0, 21i

i

VV . Segue que

n

n

nV 2

1

2

1

. Se queremos que nV

seja menor que 2%, devemos ter 50

1

100

2

2

1

n, ou seja, 502 n , o que

implica 6n . Logo, pelo menos 7 alunos beberam da garrafa.