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06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 1

Universidade Federal de Itajubá

Matemática Financeira

Engenharia Econômica

Início dos estudos sobre engenharia econômica

Estados Unidos em 1887, quando Arthur Wellington publicou seu livro: The Economic Theory of Railway Location.

Engenharia econômica

Importantes para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas;

Fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais;

Todo fundamento se baseia na matemática financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.

Exemplos de aplicação

Cálculo do Valor de um Negócio ou Empresa;

Elaborar Planos de Negócios;Projetos para solicitação de

Financiamentos.

Matemática Financeira(Princípio básico)

“Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não estejam nas mesmas datas!”

O que foi feito?

Significado dos juros

Trabalho Terra

Fatores de Produçãoconsiderados em economia

Salário Aluguel

Royalty Lucros

Administração

Técnica

Capital

Juros: presença no dia a dia

compras à crédito;

cheques especiais;

prestação da casa própria;

desconto de duplicata;

vendas à prazo;

empréstimos.

Juros Simples:• J: Juros

• i: Taxa de juros

• n: Número de Períodos

• P: Principal

• F: Valor Futuro

Matemática financeira

J = P * i * nF = P + J

F = P + P * i * n

F = P (1 + i * n)

P F F F

Matemática financeiraJuros Compostos: • J: Juros

• i: Taxa de juros

• n: Número de Períodos

• P: Principal

• F: Valor FuturoF1 = P (1 + i)

F2 = F1 (1+ i) = P (1 + i)2

F3 = P (1 + i)3

F = P (1 + i)n

Exemplo II.1Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. durante3 anos, qual o valor futuro para os casos de considerarmos jurossimples e juros compostos?Solução:

Ano Juros Simples Juros Compostos

R$ 100.000,00 R$ 100.000,00

R$ 120.000,00 R$ 120.000,00

R$ 140.000,00 R$ 144.000,00

R$ 160.000,00 R$ 172.800,00

Juros de 60,0%

Juros de 72,8%

Terminologia:

Excel i: Taxa de juros Taxa

n: Número de Períodos Nper

P: Principal VP

F: Valor Futuro VF

Fluxo de Caixa

0 1 2 3 n

Entradas (receitas)

Saídas (despesas operacionais, manutenção, etc...)

Investimento

Valor residual

Vida do projeto

Terminologia:

Excel i: Taxa de juros Taxa

n: Número de Períodos Nper

P: Principal VP

F: Valor Futuro VF

Pagamento PGTO

Relações de Equivalência

Relação entre VP e VF

VF = VP(1 + i)n

VP: Valor Presente

VF: Valor Futuro

Relação entre VF e VP

VP: Valor Presente

VF: Valor Futuro

VP = VF/(1 + i)n = VF (1 + i) - n

Relação entre VP e VF – Exercício II.3

• Conseguiu-se um empréstimo de R$10.000,00em um banco que cobra 5% ao mês de juro. Quanto deverá ser pago se o prazo do empréstimo for de cinco meses?

Relação entre VP e VF – Uso do Excel

VF = ?

i = 5%

VF = ?

i = 5%

Planilha

VF = ?

i = 5%

Planilha

Exemplo II.2

Qual o valor de uma aplicação em Fundo de renda fixa de R$ 30.000 a uma taxa de 1,4 % ao mês para um período de 1 ano?

• Qual o valor dos juros?• Quais os juros líquidos?• Qual o valor da rentabilidade líquida mensal?• Em relação à poupança esta aplicação é

interessante?

Matemática financeiraExemplo II.2Solução:

F = P (1 + i) n = 30.000 (1 + 0,014) 12

F = 35446,77 Juros = F - P = 5446,77

I.R. (20%) = 0,20 x 5446,77 = 1089,35

Juros líquidos = 5446,77 – 1089,35 = 4357,42

De fato temos: F = 34357,42

34357,42 = 30.000 (1 + i) 12 i = 1,137%

Lei nº. 11.033, de 21 de dezembro de 2004

O PRESIDENTE DA REPÚBLICA Faço saber que o Congresso Nacional decreta e eu sanciono a seguinte Lei:

• Art. 1º Os rendimentos de que trata o art. 5º da Lei nº 9.779, de 19 de janeiro de 1999, relativamente às aplicações e operações realizadas a partir de 1º de janeiro de 2005, sujeitam-se à incidência do imposto de renda na fonte, às seguintes alíquotas:

– I - 22,5% (vinte e dois inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações com prazo de até 180 (cento e oitenta) dias;

– II - 20% (vinte por cento), em aplicações com prazo de 181 (cento e oitenta e um) dias até 360 (trezentos e sessenta) dias;

– III - 17,5% (dezessete inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações com prazo de 361 (trezentos e sessenta e um) dias até 720 (setecentos e vinte) dias;

– IV - 15% (quinze por cento), em aplicações com prazo acima de 720(setecentos e vinte) dias.

Regra para depósitos a partir de 03 de maio de 2012

Nada muda para depósitos feitos até 3 de maio de 2012. Nesse caso, a poupança continua rendendo 0,5% ao mês (ou 6,17% ao ano), mais a variação da TR (Taxa Referencial). Para depósitos feitos a partir de 4 de maio e contas abertas a partir dessa data, sempre que a Selic (taxa básica de juros) ficar em 8,5% ao ano ou abaixo disso, o rendimento da poupança passa a ser de 70% da Selic mais a TR.

Matemática financeira(Taxa Referencial de Juros – TR)

http://www.yahii.com.br/tr.html

Matemática financeira(Taxa Referencial de Juros – TR)

http://www.yahii.com.br/tr.html

Matemática financeira(poupança)

http://www.yahii.com.br/poupanca.html

Matemática financeira(TBF)

http://www.yahii.com.br/tbf.html

Matemática financeira(TBF)

http://www.yahii.com.br/tbf.html

Matemática financeira(SELIC)

http://www.portalbrasil.net/indices_selic.htm

O que eu façocom este

apartamento?

http://www37.bb.com.br/portalbb/tabelaRentabilidade/rentabilidade/gfi7,802,9085,9089,1.bbx?tipo=1&nivel=1000&codigoMenu=1092&codigoRet=5489&bread=8_1

http://www3.tesouro.gov.br/tesouro_direto/rentabilidade_novosite.asp

http://www.bb.com.br/portalbb/page106,116,2137,1,1,1,1.bb?codigoNoticia=1363&codigoMenu=1092&codigoNoticia=1363&codigoMenu=1092

Relação entre VP e PGTO

PGTOVP

VP = PGTO (1 + i) - 1 + PGTO (1 + i) - 2 + . . . + PGTO (1 + i) - n

VP = PGTO [ (1 + i) - 1 + (1 + i) - 2 + . . . + (1 + i) - n ]

VP: Valor Presente

PGTO = Pagamento uniforme

PGTOVP

VP = PGTO [ (1 + i) - 1 + (1 + i) - 2 + . . . + (1 + i ) - n ]

.rna - 1a = Sn

i ) i + 1 (1 ) i + 1 (

PGTO =VP n

i ) i + 1 (1 ) i + 1 (

PGTO =VP n

1 - ) i + 1 (i ) i + 1 (

VP = PGTO n

Relação entre VP e PGTO – Exercício II.6

• Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá US$ 100.000 por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, sabendo-se que o empresário trabalha com taxa de 6% ao ano?

Relação entre VP e PGTO – Excel

VP = ?

i = 6% ao ano

100000

VP = ?

i = 6% ao ano

100000

Planilha

VP = ?

i = 6% ao ano

100000

Planilha

• O que é mais interessante, comprar uma TV LED por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00 em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato da compra?

Antes de resolver este problema,vejamos alguns exemplos como as lojas divulgam

suas ofertas!

O que tem de errado?

Código do consumidor

DA OFERTA DE PRODUTOS E SERVIÇOS

Art. 31 - A oferta e apresentação de produtos ou serviços devem assegurar informações corretas, claras, precisas, ostensivas e em língua portuguesa sobre suas características, qualidade, quantidade, composição, preço, garantia, prazos de validade e origem, entre outros dados, bem como sobre os riscos que apresentam à saúde e segurança dos consumidores.

Código do consumidor

DA PUBLICIDADE

Art. 37 - É proibida toda publicidade enganosa ou abusiva.

§ 1º - É enganosa qualquer modalidade de informação ou comunicação de caráter publicitário, inteira ou parcialmente falsa, ou, por qualquer outro modo, mesmo por omissão, capaz de induzir em erro o consumidor a respeito danatureza, características, qualidade, quantidade, propriedades, origem, preço e quaisquer outros dados sobre produtos e serviços.

• O que é mais interessante, comprar uma TV LED por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00 em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato da compra?

Solução

Quais são as opções de compra?

Solução

Nper = 2

O que esta faltando?

Planilha

Solução

A vista ou a prazo?

O que significa a taxa?

a.m. 10,63%i%

• Vale a pena pagar à vista com 20% de desconto ou a prazo em 3 pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje?

Solução

Quais são as opções de compra?

X = preço de etiqueta

Solução

0,8X-X/3

Solução

0,8X-X/3

Nper = 2

O que esta faltando?

Solução

0,8X-X/3

A vista ou a prazo?

O que significa a taxa?

a.m. 27,47%i%

Caso Real

IPVA 99 – Espírito Santo

Veículo: Quantum 1988• Opção 01 – à vista: R$ 217,37 (14/10/99)• Opção 02 – 2 vezes:

Primeira: R$ 163,77 (14/10/99)Segunda: R$ 89,31 (12/11/99)

• Qual a taxa de juros para a opção de parcelar?

Caso Real

IPVA 99 – Espírito Santo

P = 217,37 – 163,77 = 53,6

F = 89,31

VF = VP (1 + i) n

89,31 = 53,6 (1 + i) 1

i = 66,62% a.m.

Como as lojas divulgam seus preços

Sem juros?

Algumas taxas

http://www.anucc.org.br/servicos/index/25

Portal Globo 05/08/2008

Algumas taxas DEMONSTRATIVO DAS TAXAS DE JUROS

PRATICADAS EM 2007

Bancos Empréstimo Pessoal

Cheque Especial

HSBC 4,67% 8,47% Banespa 5,80% 8,38% Bradesco 5,57% 8,01% Banco do Brasil 4,62% 7,68% Caixa Econômica Federal 4,68% 7,20%

Itaú 5,95% 8,47% Santander 5,80% 8,38% Nossa Caixa 4,25% 8,10% Real 6,50% 8,40% Unibanco 5,87% 8,39%

Algumas taxas

http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012010.asp

Algumas taxas

Relação entre VF e PGTO

VF = PGTO + PGTO (1 + i)1 + PGTO (1 + i)2 + . . . + PGTO (1 + i)n-1

VF = PGTO [1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n-1 ]

1 ) i + 1 ( PGTO =VF

1 - ) i + 1 (

iVF = PGTO n

Relação entre VF e PGTO

Relação entre PGTO e VF

• Exemplo II.10 - Quanto deve-se depositar anualmente numa conta a prazo fixo que paga juros de 12% ao ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui a 14 anos?

Relação entre PGTO e VF – Exercício II.10

PGTO = ?

i = 12% ao ano

VF = 500000

Séries Infinitas

i ) i + 1 (1 ) i + 1 (

PGTO =VP n

i ) i + 1 (

1 ) i + 1 ( PGTOlim =VP n

i ) i + 1 (

1 i ) i + 1 (

) i + 1 ( PGTOlim =VP nn

• Exemplo II.11 - Quanto deverei depositar em

um fundo com a finalidade de receber para

sempre a importância anual de R$ 12.000,00

considerando ser a taxa anual de juros igual a

Séries Perpetuas – Exercício II.11

VP = ?

i = 10% ao ano

VP = PGTO / i

VP = 12000 / 0,1

VP = 120000

• Exemplo II.12 - Qual a menor quantia que um

grupo deve cobrar hoje, para dar uma renda

anual de R$ 6.000?

Séries Perpetuas – Exercício II.12

VP = ?

PGTO = 6000

Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente

Equivalência entre Taxas Efetivas

VF = VP*(1 + i a) 1

VF = VP*(1 + i m) 12

(1 + i a) 1 = (1 + i m) 12

(1 + ia) = (1 + i sem)2 = (1 + im)12 = (1 + i d)360

1 ano ou12 meses

Taxa Nominal

O período de capitalização é diferente do expresso na taxa

Exemplos:• Poupança - 6 % a.a. com capitalização mensal = 0,5 % a.m.• SFH - 12 % a.a. com capitalização mensal = 1 % a.m.

12 % a.a.c.m. = 12 / 12 meses = 1 % a.m.c.m. = 12,68 % a.a.c.a.

Nominal Efetiva Efetiva

• Exemplo II.18 - Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se antecipadamente uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo?

Exercício II.18 – Calcular a taxa de juros

VP = ?

VF = ?

1 mês

Exercício II.18 – Calcular a taxa de juros

VP = 850

VF = 1000

1 mês VF = VP (1 + i) n

1000 = 850 (1 + i) 1

i = 17,64% a.m.

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