Álgebras de lie 2010

Á L G E B R A S D E L I E

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Universidade Estadual de Campinas

Reitor Fernando Ferreira Costa

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Sedi Hirano – Yaro Burian Junior


Luiz A. B. San Martin

Á L G E B R A S D E L I E


San Martin, Luiz Antonio Barrera.Álgebras de Lie / Luiz A. B. San Martin – 2a ed. – Campinas, sp: Editora da Unicamp, 2010.

1. Lie, Álgebra de. 2. Álgebra. 3. Matemática. I. Título.

Sa58a

isbn 978-85-268-0876-8

cdd 512.55 512 510

Editora da UnicampRua Caio Graco Prado, 50 – Campus Unicamp

cep 13083-892 – Campinas – sp – BrasilTel./Fax: (19) 3521-7718/7728

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1. Lie, Álgebra de 512.55 2. Álgebra 512 3. Matemática 510

Copyright © by Luiz A. B. San MartinCopyright © 2010 by Editora da Unicamp

1a edição, 1999

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ou outros quaisquer sem autorização prévia do editor.


Para

Nita,

Chica eZenesto

com carinho

Sumario

Prefacio 11

Prefacio da segunda edicao 15

1 Conceitos basicos 171.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Generalidades algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.1 Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.3 Quocientes e teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.4 Soma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.5 Extensao do corpo de escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.1 Representacao adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.2 Construcoes com representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.3 Decomposicoes de representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.4 Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4 Derivacoes e produtos semidiretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.1 Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.2 Produtos semidiretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.5 Series de composicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5.1 Serie derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5.2 Serie central descendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6 Algebras soluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7 Algebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.8 Radicais soluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.9 Algebras simples e algebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Algebras nilpotentes e soluveis 592.1 Algebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1.1 Representacoes nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1.2 Decomposicoes de Jordan de representacoes . . . . . . . . . . . 64

2.2 Algebras soluveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Radicais nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Criterios de Cartan 79

3.1 Derivacoes e suas decomposicoes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Criterios de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3 Aplicacoes as algebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4 Subalgebras de Cartan 101

4.1 Subalgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2 A abordagem algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3 Apendice: Teorema da aplicacao aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 Cohomologia 123

5.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Interpretacoes de H1 e H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.2.1 Existencia de complementares e H1 . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.2.2 Extensoes abelianas e H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.2.3 Representacoes afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.3 Lemas de Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.4 Teoremas de Weyl e Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.4.1 Teorema de decomposicao de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.4.2 Teorema de decomposicao de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.5 Algebras redutıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6 Algebras semi-simples 147

6.1 Representacoes de sl(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.2 Subalgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.3 A formula de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.4 Sistemas simples de raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.5 Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.5.1 Matrizes de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.5.2 Diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7 Diagramas de Dynkin 179

7.1 Classificacao dos diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.2 Realizacoes dos diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8 Algebras semi-simples. Complementos 193

8.1 Algebras isomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.2 Algebras classicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.3 Subalgebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8.4 Algebras excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.4.1 Construcao de G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.4.2 E6, E7 e E8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

8.4.3 F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9 Grupos de Weyl 235

9.1 Sistemas de raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

9.2 Camaras de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9.3 Decomposicoes minimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.4 Os grupos de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

9.4.1 Diagramas excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9.4.2 Involucao principal de E6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

9.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

10 Algebras envelopantes 271

10.1 Algebras universais envelopantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

10.2 Teorema de Ado e complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

10.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

11 Representacoes de algebras semi-simples 289

11.1 Representacoes irredutıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

11.2 Representacoes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

11.3 Algebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

11.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

12 Algebras semi-simples reais 325

12.1 Formas reais e algebras simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

12.2 Formas reais compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

12.3 Decomposicoes de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

12.4 Abelianos maximais e formas reais normais . . . . . . . . . . . . . . . . 347

12.5 Algebras classicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

12.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

13 Sistemas de raızes com involucoes 359

13.1 Sistemas restritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

13.2 Diagramas de Satake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

13.2.1 Diagramas Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

13.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

14 Algebras semi-simples reais. Classificacao 38714.1 Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38714.2 Sistemas de raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39314.3 Diagramas de Satake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39914.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

15 Representacoes de algebras reais 41115.1 Tipos de representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41115.2 Representacoes conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41515.3 Indice de representacoes autoconjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 42015.4 Algebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42215.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42915.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

A Algebra Linear 433A.1 Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433A.2 Decomposicao primaria e formas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 434A.3 Formas bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435A.4 Espacos reais e complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

A.4.1 Formas de Jordan reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438A.4.2 Realificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

A.5 Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

Referencias bibliograficas 447

Indice 451

Prefacio

O objetivo deste livro e oferecer um texto introdutorio as algebras de Lie. O mate-rial apresentado fornece ao leitor os princıpios fundamentais das algebras de Lie dedimensao finita, desde as primeiras nocoes ate resultados profundos que envolvem aclassificacao e as representacoes das algebras semi-simples.

As algebras de Lie formam o aparato basico do que e conhecido genericamentepor teoria de Lie. Essa teoria teve suas origens por volta de 1870 a partir da ideia,aparentemente singela, de abordar as equacoes diferenciais sob o mesmo ponto de vistaque o adotado por Galois para equacoes algebricas. O programa, lancado por SophusLie e Felix Klein, consistia em estudar as equacoes diferenciais via seus grupos desimetrias. Esse programa colocou em evidencia os grupos contınuos de transformacoespara os quais foi criada, ao longo dos anos, uma extensa teoria com ramificacoes nasmais diversas areas da matematica e de suas aplicacoes.

A alavanca basica na criacao desse vasto corpo do conhecimento matematico foi adescoberta, feita por S. Lie, dos grupos infinitesimais ou – como se diz hoje em dia –das algebras de Lie. Os resultados pioneiros da teoria, que foram posteriormente deno-minados de teoremas de Lie, estabelecem a relacao entre os grupos de transformacoes– denominados atualmente grupos de Lie – e as algebras de Lie, atraves da aplicacaoexponencial. Esses teoremas mostraram desde cedo uma das caracterısticas da teoriade Lie que e a de contrapor os conceitos complementares de grupos e algebras de Lie.Os grupos de Lie tem uma natureza geometrica enquanto que as algebras de Lie saoobjetos algebricos por excelencia.

Este livro considera apenas as algebras de Lie. Virtualmente o unico pre-requisitonecessario para sua leitura e a algebra linear, tanto no que diz respeito a linguagemquanto aos resultados preliminares. Boa parte dos argumentos se reduzem, em ultimainstancia, a uma aplicacao do teorema das formas canonicas de Jordan. Alias, osconceitos e resultados da teoria das algebras de Lie de dimensao finita estendem osda algebra linear, formando uma continuacao natural da mesma. Com o objetivo desituar o leitor foi incluıdo, ao final do livro, um apendice sobre algebra linear, onde saocomentados os principais resultados e a terminologia utilizada ao longo do texto.

Os diferentes capıtulos contem uma introducao que descreve o seu conteudo. Econveniente, no entanto, fazer aqui um comentario sobre os mesmos. No capıtulo 1 saointroduzidos os conceitos, a terminologia a ser usada ao longo de todo o texto. Sualeitura e imprescindıvel aqueles que se deparam com as algebras de Lie pela primeiravez. Este capıtulo e recheado de exemplos: quase nenhum conceito e apresentado semser acompanhado dos exemplos que melhor o representem. O capıtulo 2 apresenta dois

11

12 Prefacio

resultados que remontam os primordios da teoria das algebras de Lie. Eles descrevem,por alto, as algebras nilpotentes e as algebras soluveis como sendo – em essencia –algebras de matrizes triangulares superiores. Esses sao os teoremas de Engel e de Lie,que aparecem de forma recorrente nos desenvolvimentos posteriores. Ja o capıtulo 3 ededicado aos criterios de Cartan. Esses criterios servem para decidir se uma algebra deLie e soluvel ou semi-simples, em termos de uma forma bilinear na algebra – a formade Cartan-Killing. Eles desempenharam um papel fundamental tanto nos trabalhos deElie Cartan de classificacao das algebras simples quanto nos trabalhos posteriores deformalizacao da teoria. O conceito de subalgebra de Cartan e onipresente na teoriadas algebras semi-simples. Esse conceito e introduzido no capıtulo 4, cujo resultadoprincipal e o teorema que garante que duas subalgebras de Cartan arbitrarias saoconjugadas entre si por um automorfismo da algebra. Esse resultado e demonstrado deduas formas diferentes: uma delas, de natureza mais concreta, restrita a algebras sobreo corpo dos reais (ou complexos) e outra para corpos arbitrarios. Nessas demonstracoesaparecem um dos poucos casos, ao longo de todo o texto, em que e necessario lancarmao de recursos que extrapolam o contexto da algebra linear. A demonstracao, nocaso das algebras reais, se utiliza do teorema das funcoes implıcitas; ja o caso geralrequer resultados de geometria algebrica que generalizam, para funcoes polinomiais, oteorema da funcao implıcita. O capıtulo 5 contem uma introducao a cohomologia dasalgebras de Lie. O termo introducao aqui deve ser tomado ao pe da letra, ja que logoapos as definicoes o objetivo e dirigido a demonstracao de dois teoremas que fazemparte do folclore da teoria. Sao eles o teorema de Weyl sobre as representacoes dasalgebras semi-simples e o teorema de Levi que decompoe uma algebra de Lie arbitrariacomo soma direta de uma algebra semi-simples e uma algebra soluvel. Esses teoremassao demonstrados a partir dos lemas de Whitehead sobre cohomologias de algebrassemi-simples.

Com os cinco primeiros capıtulos se conclui o trabalho arduo de fundamentacao dateoria das algebras de Lie. A partir daı, com o domınio da linguagem, o leitor podeapreciar os seus valores esteticos. Os capıtulos 6 e 7 apresentam o cerne de uma dasmais belas teorias em voga nos dias de hoje: a teoria de Killing e Cartan de classificacaodas algebras simples. Essa teoria tira o leitor, entre surpreso e atonito, de uma posturaabstrata e geral e o transporta a um mundo habitado por seres especiais como osangulos de 120◦, 135◦ e 150◦ ou os numeros inteiros ±1, ±2 e ±3. Esses capıtulossao complementados pelo capıtulo 8, onde, por um lado, se concluem alguns aspectosformais da classificacao e, por outro, sao apresentadas as algebras simples de formaconcreta. Essas se constituem das algebras classicas, que sao realizadas como algebrasde matrizes, e das algebras excepcionais. O capıtulo 9 e, em princıpio, independentedas algebras de Lie. Sao estudados aı certos grupos de transformacoes lineares geradospor reflexoes, os grupos de Weyl. No entanto, esses grupos proporcionam uma visaopanoramica dos sistemas de raızes, em cima dos quais e feita a classificacao das algebrassimples. Alem do mais, os grupos de Weyl aparecem como uma ferramenta importantenos desenvolvimentos posteriores.

Os nove primeiros capıtulos formam o corpo central da teoria das algebras de Liede dimensao finita. A partir daı existem bifurcacoes e o leitor pode escolher o cami-

Prefacio 13

nho de acordo com seus interesses. Uma possibilidade e a teoria de representacao dasalgebras semi-simples. Uma introducao a essa teoria e feita no capıtulo 11 onde saoapresentados os teoremas sobre as representacoes com pesos maximos e sao caracteri-zadas as representacoes irredutıveis de dimensao finita das algebras semi-simples sobrecorpos algebricamente fechados. Essas representacoes sao dadas por conjuntos finitosde inteiros nao-negativos e dentre elas sao selecionadas algumas – ditas fundamentais– a partir das quais se obtem as demais representacoes via o produto tensorial. As re-presentacoes fundamentais das algebras classicas sao apresentadas com detalhes. Issoexigiu que se fizesse uma discussao sobre as algebras de Clifford, uma vez que algumasdas representacoes das algebras das matrizes anti-simetricas sao spinoriais. A teoriade representacao de algebras semi-simples e imensa, sendo ainda hoje em dia um ob-jeto de pesquisa. Nesse sentido, o conteudo do capıtulo 11 e apenas introdutorio enao discute assuntos relevantes como, por exemplo, os carateres das representacoes dedimensao finita. A leitura do capıtulo 11 requer o teorema de Poincare-Birkhoff-Wittsobre algebras universais envelopantes, que e o objetivo principal do capıtulo 10. Nessecapıtulo foi incluıdo ainda o teorema de Ado sobre representacoes de dimensao finitade algebras de Lie.

Numa outra vertente, os capıtulos 12 a 15 sao dedicados as algebras semi-simplesreais. O capıtulo 12 contem as construcoes basicas tais como a das formas reais com-pactas e a decomposicao de Cartan de uma algebra real nao-compacta. O materialdeste capıtulo e suficiente para a leitura de boa parte dos textos que envolvem algebrassemi-simples reais como, por exemplo, a literatura sobre espacos simetricos ou a es-trutura dos grupos de Lie semi-simples nao-compactos. Independente disso, o capıtulo12 abre caminho para a classificacao das algebras simples reais que e feita nos doiscapıtulos subsequentes. A abordagem adotada aqui para essa classificacao, que nao ea mais comum na literatura do genero, consiste em determinar os diagramas de Sa-take, o que e feito no capıtulo 13, com a classificacao propriamente dita sendo feitano capıtulo 14. Por fim, o capıtulo 15 e dedicado a representacao das algebras semi-simples reais nao-compactas. O que se faz aı nao e uma classificacao detalhada dessasrepresentacoes, mas apenas uma indicacao de como essas representacoes sao extraıdasdas representacoes das algebras complexas correspondentes.

Os capıtulos todos sao acompanhados de listas de exercıcios. A maioria deles saoresolvidos por uma aplicacao direta dos resultados do texto e tem o proposito, comoem qualquer lista de exercıcios, de auxiliar o leitor a desenvolver uma intuicao sobreo assunto. Alguns dos exercıcios, porem, contem resultados relevantes e interessantes,que por uma razao ou outra nao encontraram espaco no texto, mas foram incluıdoscomo exercıcios para efeito de informacao ao leitor. Muitos desses exercıcios tem umademonstracao envolvente e por isso eles aparecem com sugestoes detalhadas ou comuma referencia a literatura.

Ao final de muitos capıtulos foi incluıda uma secao intitulada “Notas”, que contemcomentarios adicionais sobre a teoria, principalmente de carater historico e bibliogra-fico. Essas notas nao tem pretensao a erudicao e servem apenas para dar algumasindicacoes dos caminhos (e descaminhos) percorridos no desenvolvimento da teoria.O fato e que a historia da teoria de Lie e amplamente documentada, com diversos

14 Prefacio

textos acessıveis (veja, por exemplo, Borel [5], Cartan [6], Fritzsche [17], Hawkins [19]e Wussing [52]); torna-se irresistıvel reproduzir algumas de suas passagens.

As referencias bibliograficas procuram fornecer um amplo espectro de textos e ar-tigos de pesquisa sobre a teoria de Lie, nao se restringindo as algebras de Lie especifi-camente. Ao percorre-la o leitor encontrara referencias aos grupos de Lie, aos gruposalgebricos, a teoria de representacao (de dimensao finita ou infinita), a teoria de semi-grupos de Lie e a aplicacoes da teoria de Lie.

Este livro foi escrito ao longo dos ultimos quatro ou cinco anos. Durante esseperıodo tive a oportunidade de utilizar parte do material em cursos de pos-graduacaono Instituto de Matematica (Imecc) da Unicamp, para estudantes de mestrado e dou-torado. Nesses cursos (semestrais) adotava como conteudo mınimo os capıtulos de 1a 7 e parte dos capıtulos 8 (incluindo as algebras classicas) e 9; dependendo das cir-cunstancias, apresentava uma exposicao mais detalhada do capıtulo 9 ou o capıtulo 11(incluindo os pre-requisitos da secao 10.1) ou ainda o capıtulo 12 sobre algebras semi-simples reais. Espero que esta experiencia sirva como sugestao aqueles que pretendamutilizar este texto em algum projeto didatico envolvendo a teoria de Lie.

Por fim, gostaria de expressar meus agradecimentos as diversas pessoas que, de al-guma forma, participaram da confeccao deste livro, apresentando sugestoes, apontandodiversas falhas nas versoes preliminares e manifestando o seu apoio. Em particular,sou grato a todos estudantes que participaram dos cursos de algebras de Lie no Imecc.Agradeco em especial a colaboracao de meus amigos e colegas Carlos Braga Barros,Jose Adonai Seixas, Marco Antonio Fernandes, Marcelo Firer, Osvaldo do Rocio, PauloRuffino e Pedro Catuogno.

Barao Geraldo, fevereiro, 1999Luiz A. B. San Martin

Prefacio da 2a edicao

Para esta edicao o texto original foi revisado e algumas (poucas) modificacoes foramfeitas. As mais significativas estao nos capıtulos 4 (subalgebras de Cartan) e 5 (coho-mologia). A abordagem algebrica da secao 4.2 se iniciava com a demonstracao doteorema da aplicacao aberta da geometria algebrica (e fatos relacionados). Essa de-monstracao foi colocada na nova secao 4.3, como um apendice ao capıtulo 4. Agora asecao 4.2 inclui apenas a demonstracao geral da conjugacao das sugalgebras de Cartan,usando livremente o teorema da aplicacao aberta. Ja no capıtulo 5 a subsecao 5.2.3,sobre representacoes afins, foi reescrita e ampliada. O texto original estava imprecisoe incompleto.

Afora isso foram feitas modificacoes localizadas, tais como a inclusao de uma ououtra proposicao ou corolario para melhor explicitar afirmacoes que poderiam passardesapercebidas. Isso sem contar, e claro, os inevitaveis erros de impressao ou digitacao.Foram incluıdos tambem novos exercıcios ao final dos capıtulos.

Agradeco a todos da comunidade de professores e estudantes que manifestaram oapreco pela primeira edicao, alguns de forma calorosa. Agradeco tambem aos alunose professores que usaram o livro ao longo desses dez anos e apontaram defeitos eapresentaram sugestoes.

Barao Geraldo, setembro de 2009Luiz A. B. San Martin

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Capıtulo 1

Conceitos basicos

Este e um capıtulo introdutorio, formado em sua maior parte pelas definicoes dosconceitos que formam a linguagem basica da teoria das algebras de Lie. Esses con-ceitos sao fartamente ilustrados por exemplos que devem servir de guia na leitura doscapıtulos subsequentes. Os resultados (proposicoes, teoremas etc.) incluıdos aqui naotem um carater profundo e servem, em sua maioria, para dar continuidade a exposicaoe articular entre si os diferentes conceitos.

1.1 Definicao e exemplos

Uma maneira natural de iniciar um texto sobre algebras de Lie e, sem duvida, com adefinicao do que vem a ser uma algebra de Lie. Por isso,

Definicao 1.1 Uma Algebra de Lie consiste de um espaco vetorial g munido de umproduto (colchete ou comutador)

[ , ] : g× g −→ g

com as seguintes propriedades:

1. e bilinear,

2. anti-simetrico, isto e, [X,X] = 0 para todo X ∈ g (o que implica [X,Y ] =−[Y, X] para todo X, Y ∈ g e e equivalente se o corpo de escalares nao e decaracterıstica dois) e

3. satisfaz a identidade de Jacobi , isto e, para todo X, Y, Z ∈ g,

[X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0.

Esta igualdade pode ser reescrita alternativamente de uma das duas formas

(a) [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X, Z]]

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18 Capıtulo 1. Conceitos basicos

(b) [[X, Y ], Z] = [[X, Z], Y ] + [X, [Y, Z]].

Existem razoes especiais para escrever a identidade de Jacobi nestas formas; vejaa seguir representacoes adjuntas e derivacoes de algebras de Lie.

Em geral, uma algebra e um espaco vetorial g munido de um produto, isto e, umaaplicacao de g×g a valores em g. Qualquer aplicacao deste tipo que mereca o nome deproduto deve ser bilinear. A anti-simetria e a identidade de Jacobi sao caracterısticasdas algebras de Lie. Outros tipos de algebras tem outros tipos de propriedades que adefinem. Existem por exemplo as algebras associativas , para as quais a propriedadeadicional e x(yz) = (xy)z. Aqui convem observar que o colchete de Lie nao e, em geral,associativo, pois em qualquer circunstancia [[X,X], Y ] = 0 e no entanto [X, [X, Y ]] nemsempre se anula.

Existe uma grande variedade de exemplos de algebras de Lie, todos eles interessan-tes, desde o ponto de vista da teoria em si como das aplica coes desta teoria aos gruposde Lie. Antes de ver alguns destes exemplos, no entanto, e conveniente introduzir anocao, obvia, de subalgebra de Lie.

Definicao 1.2 Seja g uma algebra de Lie. Uma subalgebra de g e um subespaco veto-rial h de g que e fechado pelo colchete, isto e, [X, Y ] ∈ h se X, Y ∈ h.

Evidentemente, uma subalgebra de Lie e uma algebra de Lie com a estrutura her-dada pela estrutura de g.

Exemplos: A maioria dos exemplos que serao apresentados aqui sao de subalgebrasda algebra de Lie das transformacoes lineares. Por isso, o primeiro exemplo deve ser:

1. gl(n,K) : o espaco de todas as transformacoes lineares de um espaco vetorial dedimensao n sobre o corpo K que e o mesmo que o espaco das matrizes n×n comcoeficientes em K. O colchete e dado por

[X,Y ] = XY − Y X

com X e Y matrizes. Estas algebras aparecerao adiante com bastante frequencia.Muitas vezes elas serao indicadas por gl(n) apenas, sem especificar o corpo quandoeste nao for relevante. Da mesma forma, a algebra das transformacoes linearesde um espaco vetorial V sera denotada por gl(V ).

Este exemplo se estende para espacos de transformacoes lineares de espacos ve-toriais que nao sao de dimensao finita, com o colchete dado da mesma forma pelocomutador. Um exemplo mais geral ainda e formado pela seguinte famılia dealgebras de Lie.

2. Algebras de Lie provenientes de algebras associativas: Seja A uma algebra asso-ciativa e em A defina o colchete pelo comutador

[x, y] = xy − yx x, y ∈ A.

Este colchete define em A uma estrutura de algebra de Lie.

1.1. Definicao e exemplos 19

3. Algebras abelianas : [ , ] = 0. Neste caso, a estrutura de algebra de Lie naoacrescenta nada a estrutura de espaco vetorial.

Exemplos de algebras abelianas

(a) Se dim g = 1, g e abeliana.

(b) Todo subespaco de dimensao 1 de uma algebra de Lie qualquer e uma sub-algebra abeliana.

(c) O espaco das matrizes diagonais e uma subalgebra abeliana de gl(n,K).

(d) O espaco das matrizes da forma

a1 −b1

b1 a1

. . .

ak −bk

bk ak

,

como subalgebra de gl(2k,K), e uma algebra abeliana.

Todo subespaco de uma algebra abeliana e uma subalgebra.

4. Subalgebras de gl(n,K):

(a) so (n,K) = {X ∈ gl (n,K) : X + X t = 0} onde X t indica a transposta damatriz X.

O espaco das matrizes simetricas

{X ∈ gl(n,K : X = X t}nao e subalgebra se n ≥ 2, pois se X e Y sao simetricas, entao [X,Y ] eanti-simetrica.

(b) sl(n,K) = {X ∈ gl(n,K) : tr X = 0}. Como no caso de gl(n), muitas vezesse denotara estas algebras apenas por sl(n).

(c) O subespaco das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal

{X ∈ gl (n,K) : X =

0 ∗. . .

0 0

}

e uma subalgebra.

(d) O subespaco das matrizes triangulares superiores

{X ∈ gl(n,K) : X =

a1 ∗. . .

0 an

}

e uma subalgebra.

20 Capıtulo 1. Conceitos basicos

(e) sp (n,K) = {X ∈ gl(2n,K) : XJ + JX t = 0} onde J e escrito em blocosn× n como

J =

(0 −11 0

)

com 0 representando a matriz nula e 1 a matriz identidade n × n. Paraver que este subespaco e de fato uma subalgebra, observe em primeiro lugarque J2 = −1 e, portanto, X ∈ sp (n,K) se e so se X t = JXJ . Se X, Y ∈sp (n,K), entao

[X, Y ]t = (XY − Y X)t

= −X tY t + Y tX t

= −JXJ2Y J + JY J2XJ= J(XY − Y X)J= J [X, Y ]J,

isto e, [X,Y ] ∈ sp (n,K).

(f) so (p, q,K) = {X ∈ gl (n,K) : XJ + JX t = 0} onde

J =

( −1p×p 00 1q×q

).

Para ver que este subespaco e uma subalgebra, procede-se como no exemploanterior, utilizando o fato de que J2 = 1 e, portanto, que X ∈ so (p, q,K)se e so se X t = −JXJ . Os casos p = 0 ou q = 0 se reduzem a so (n).

(g) u (n) = {X ∈ gl(n,C) : X + Xt= 0} onde X e a matriz obtida de X por

conjugacao de suas entradas.

Este conjunto nao e um subespaco vetorial complexo de gl (n,C) (por exem-

plo, iX + (iX)t

= iX − iXt, que em geral e nao-nulo). Mas e subespaco

vetorial real de gl(n,C) quando este e considerado como espaco vetorial so-bre R. u(n) e algebra de Lie sobre o corpo dos reais (nao e difıcil verificarque e fechado pelo colchete). Ela e denominada de a lgebra unitaria por sera algebra de Lie do grupo das matrizes unitarias.

(h) su(n) = {X ∈ u(n) : tr X = 0}.

5. Algebras de dimensao ≤ 2 :

(a) dim g = 1. Entao, g e abeliana.

(b) dim g = 2. Existem duas possibilidades

i. g e abeliana

ii. Existe uma base {X,Y } de g tal que

[X, Y ] = Y

Álgebras de lie 2010

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